Laplace Dönüşümü: Tanım ve Temel Dönüşümler
Diferansiyel Denklemler
2026-08-22
Fonksiyonu Başka Bir Uzaya Taşımak
\[
y''+3y'+2y=g(t),
\qquad
y(0)=1,\; y'(0)=0
\]
Türev almak yerine, denklemi cebirsel hâle getirebilir miyiz?
Daha Uygun Bir Gösterim
| Çarpma |
Logaritma |
| Çember ve açı |
Kutupsal koordinatlar |
| İki doğrunun kesişimi |
Denklem sistemi |
\[
y(t)\longrightarrow Y(s)
\longrightarrow \text{cebir}
\longrightarrow y(t)
\]
Tanım
\[
\mathcal{L}\{f\}(s)=F(s)=\int_0^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt
\]
- \(t\): özgün değişken
- \(s\): dönüşüm değişkeni
- İntegral yakınsıyorsa dönüşüm tanımlıdır.
İlk Dönüşüm: \(f(t)=1\)
\[
\mathcal{L}\{1\}=\int_0^{\infty}e^{-st}\,dt
=\left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty}
\]
\[
\boxed{\mathcal{L}\{1\}=\frac1s},
\qquad s>0
\]
Üstel Fonksiyon
\[
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\int_0^{\infty}e^{-(s-a)t}\,dt
\]
\[
\boxed{\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}},
\qquad s>a
\]
Lineerlik
\[
\mathcal{L}\{\alpha f+\beta g\}
=\alpha\mathcal{L}\{f\}+\beta\mathcal{L}\{g\}
\]
\[
\int_0^\infty e^{-st}(\alpha f+\beta g)\,dt
=\alpha F(s)+\beta G(s)
\]
\[
\mathcal{L}\{3+2e^{5t}\}=\frac3s+\frac{2}{s-5}
\]
Soru: \(\mathcal{L}\{t\}\)
\[
\mathcal{L}\{t\}=\int_0^\infty te^{-st}\,dt
\]
Kısmi integrasyon seçimi:
\[
u=t,
\qquad
dv=e^{-st}\,dt
\]
Çözüm: Kısmi İntegrasyon
\[
\int_0^\infty te^{-st}\,dt
=\left[-\frac{te^{-st}}s\right]_0^\infty
+\frac1s\int_0^\infty e^{-st}\,dt
\]
\[
\boxed{\mathcal{L}\{t\}=\frac1{s^2}},
\qquad s>0
\]
Kuvvet Fonksiyonları
\[
\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^2},
\qquad
\mathcal{L}\{t^2\}=\frac{2}{s^3}
\]
\[
\boxed{\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}}
\]
Trigonometrik Fonksiyonlar
\[
\mathcal{L}\{\cos bt\}=\frac{s}{s^2+b^2}
\]
\[
\mathcal{L}\{\sin bt\}=\frac{b}{s^2+b^2}
\]
Temel Dönüşüm Tablosu
| \(1\) |
\(1/s\) |
| \(t^n\) |
\(n!/s^{n+1}\) |
| \(e^{at}\) |
\(1/(s-a)\) |
| \(\cos bt\) |
\(s/(s^2+b^2)\) |
| \(\sin bt\) |
\(b/(s^2+b^2)\) |
Her Fonksiyonun Dönüşümü Var mı?
\[
f(t)=e^{t^2}
\]
Hiçbir \(s\) için integral yakınsamaz.
Dönüşümün tanımlı olması için bir büyüme sınırı gerekir.
Varlık Koşulu
\(f\) dönüşümü tanımlıysa:
- \([0,\infty)\) üzerinde parçalı sürekli
- Üstel mertebeden: \(|f(t)|\le Me^{\alpha t}\)
O zaman \(s>\alpha\) için \(F(s)\) vardır.
Soru: Parçalı Girdi
\[
f(t)=
\begin{cases}
2, & 0\le t<3\\
0, & t\ge3
\end{cases}
\]
Çözüm: İntegrali Parçalamak
\[
F(s)=\int_0^{3}2e^{-st}\,dt
=\left[-\frac{2e^{-st}}{s}\right]_0^{3}
\]
\[
\boxed{F(s)=\frac{2(1-e^{-3s})}{s}}
\]
Sık Yapılan Hatalar
- \(\mathcal{L}\{t^n\}\) formülünde \(n!\) çarpanını atlamak
- Kosinüs ve sinüs paylarını karıştırmak
- Geçerlilik aralığını hiç yazmamak
- \(\mathcal{L}\{fg\}=\mathcal{L}\{f\}\mathcal{L}\{g\}\) sanmak
- Alt sınırı \(-\infty\) almak
Karar Soruları
Dönüşümü tanımlı mı? Tanımlıysa hangi \(s\) için?
- \(f(t)=t^{10}\)
- \(f(t)=e^{3t}\sin t\)
- \(f(t)=e^{t^3}\)
Sonraki Adım: Türevin Dönüşümü
\[
\mathcal{L}\{y'\}=?
\]
Denklemi cebirsel yapacak olan bu kural.
Başlangıç koşulları da buradan girecek.
Kaynak Notu
Ana kaynak: Nagle, Saff ve Snider.