Elementer İşlem = Matrisle Çarpım

MATE 213 — Lineer Cebir

Öğr. Gör. Oktay Cesur

2026-07-26

Kanıtlanmamış Bir İddia

Denklem sistemleri notunda üç elementer satır işlemi tanımlandı ve her biri için bir \(E\) matrisi olduğu söylendi:

\[ \boxed{\text{her elementer satır işlemi, uygun bir }E\text{ ile soldan çarpmadır}} \]

Bu kutu o notta iddia olarak verildi, kanıtlanmadı.

Bu notun tek işi bu kutuyu kanıtlamak. Tek bir iddiayı ele alıyoruz: her elementer satır işlemi, uygun bir \(E\) matrisiyle soldan çarpmadır. Üç işlemin tanımı ve \(E_i\) notasyonu daha önce kuruldu; burada yalnız aradaki denkliği gösteriyoruz.

Üç işlemin tanımını, \(\lambda\neq0\) koşulunun gerekçesini, \(E\)’nin tersinir olduğunu burada tekrar kurmuyoruz — hepsi zaten var. Yalnız denkliğin kendisini gösteriyoruz.

Gözlem: Üç Örnekte de Aynı Şey Oluyor

\[ A=\begin{bmatrix}1&2&-1\\3&0&4\\-2&5&1\end{bmatrix} \]

\(R_2\leftarrow 3R_2\) için, \(R_1\leftrightarrow R_3\) için, \(R_3\leftarrow R_3-3R_1\) için sırasıyla:

\[ E_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}, \quad E_2=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}, \quad E_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-3&0&1\end{bmatrix} \]

Her üçünde \(E_iA\) hesabı, elle yapılan satır işlemiyle aynı sonucu veriyor.

Üç matriste de birim matristen sapan girdiler işlemin kendisini taşıyor: \(E_1\)’de \((2,2)\) konumundaki \(3\), \(E_2\)’de birinci ve üçüncü satırların yer değiştirmesini sağlayan dört girdi, \(E_3\)’te \((3,1)\) konumundaki \(-3\).

\(E_1A\): ikinci satır \(3\cdot[3\ 0\ 4]=[9\ 0\ 12]\), gerisi aynı. \(E_2A\): birinci ve üçüncü satır yer değiştirir. \(E_3A\): üçüncü satır \([-2\ 5\ 1]-3[1\ 2\ -1]=[-5\ -1\ 4]\) olur.

Üçü de doğrulanabilir ama üçü de ayrı ayrı doğrulanmış olması genel bir kanıt vermiyor — yalnız bu üç \(E\) için, bu tek \(A\) için çalıştığını gösteriyor. Bunu kontrol edip geçiyoruz; asıl soru neden olduğu.

Mekanizma: Satır Birleşimi Okuması

Çarpım notunda kurulan kimliği hatırlayalım: \(r_i(B)\), \(B\)’nin \(i\). satırı olsun.

\[ \boxed{(CA)\text{'nın }i\text{. satırı}=\sum_{k}c_{ik}\;r_k(A)} \]

Soldaki matrisin bir satırı, sağdaki matrisin satırlarının hangi ağırlıklarla toplanacağını söylüyor.

Bu, çarpım notundaki \(r_1B\) örneğinin genelleştirilmiş hâli. Orada \(r_1B\)’yi dört ayrı nokta çarpımıyla hesaplamıştık; aynı sayı, \(B\)’nin (orada \(A\)’nın) satırlarının \(20,15,10\) ağırlıklı toplamı olarak da okunabiliyordu.

Burada kullandığımız tek araç bu. Yeni bir kural değil, çarpımın satır tarafından okunuşu.

Adım 1: Katsayılar \(A\)’dan Bağımsız

Üç elementer işlemin her biri, çıktı satırlarını belirli bir kuralla yazar:

• Ölçekleme: \(i\). satır \(\to \lambda\, r_i(A)\)
• Yer değiştirme: \(i\). satır \(\to r_j(A)\)
• Satır ekleme: \(i\). satır \(\to r_i(A)+\lambda\, r_j(A)\)

Üçünde de: hangi satırların hangi katsayıyla toplanacağı, \(A\)’nın içindeki sayılara bakılmadan önceden bellidir. Kuralı yazmak için matrisin girdilerine bakmaya hiç gerek duymuyoruz; yalnız işlemin adı yeterli.

Adım 2: Bu, Bir \(C\) Matrisi Demektir

\(\varepsilon\) elementer işlemi, \(c_{ik}\) katsayı tablosu olsun:

\[ \varepsilon(A)\text{'nın }i\text{. satırı}=\sum_k c_{ik}\,r_k(A) \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon(A)=CA \]

Bölüm 3’teki kimlik gereği, Adım 1’de gördüğümüz sabit katsayıları bir tabloya yazabiliriz. Tablonun \(i\). satırı, çıktının \(i\). satırını üretmek için kullanılan ağırlıkları taşır; bu da tam olarak bir matrisin satırıdır.

Bu eşitlik her \(A\) için geçerli, çünkü \(c_{ik}\)’lar \(A\)’dan hiç etkilenmedi.

Adım 3: \(A=I\) Koymak

Eşitlik her \(A\) için geçerliyse, özel olarak \(A=I\) için de geçerli:

\[ \varepsilon(I)=CI=C \]

\(C=\varepsilon(I)\). Yani aradığımız matris tam olarak \(E:=\varepsilon(I)\)’dir ve \(\varepsilon(A)=EA\) her \(A\) için doğrudur.

Bölüm 1’deki kutu böylece kanıtlanmış oldu.

Sıra önemli: önce böyle bir \(C\)’nin var olduğunu (Adım 2), sonra ne olduğunu (Adım 3) gösterdik. \(A=I\)’yi baştan koymak, henüz \(\varepsilon(A)=CA\) kurulmadan bir şey ispatlamaz.

“Her \(A\) için” şartı düşürülemez. Tek bir \(A\) üzerinde \(\varepsilon(A)=CA\) eşitliğini sağlayan \(C\) genellikle tek değildir — mesela \(A\)’nın satırları bağımlıysa iki farklı \(C\) aynı sonucu verebilir. \(A=I\) seçimi bu belirsizliği ortadan kaldırır çünkü \(I\)’nın satırları bağımsızdır.

Kontrol: Bölüm 2’deki Üç Örnek

\[ E_1=\varepsilon_1(I),\qquad E_2=\varepsilon_2(I),\qquad E_3=\varepsilon_3(I) \]

Her biri birim matrise ilgili işlemin uygulanmış hâli.

Bunu doğrudan görebiliriz: \(I\)’ya \(R_2\leftarrow 3R_2\) uygulanınca \(E_1\), \(R_1\leftrightarrow R_3\) uygulanınca \(E_2\), \(R_3\leftarrow R_3-3R_1\) uygulanınca \(E_3\) çıkar. Bölüm 2’deki üç matris tam olarak bunlar.

Boyut Notu

\[ A\in\mathbb{R}^{m\times n} \quad\Longrightarrow\quad E\in\mathbb{R}^{m\times m} \]

Bu neden önemli. Denklik “her \(A\) için tek bir \(E\)” iddiası.

Kanıtın hiçbir adımında \(A\)’nın sütun sayısı ya da girdileri kullanılmadı — yalnız satır sayısı \(m\) ve işlemin kendisi.

\(A\)’ya özel bir \(E\) bulmak (örneğin denklem çözerek) denkliği göstermez; kanıtın Adım 2’si tam olarak bu genelliği sağlıyor.

Sonuç

\[ \boxed{\varepsilon(A)=EA,\qquad E=\varepsilon(I)} \]

Denklik kanıtlandı.

Tersinirlik, bileşim sırası, \([A\mid I]\) yöntemi, rank ve determinant bağlantıları başka notlarda zaten kurulu — hepsi bu denkliği veri olarak kullanıyor.

Bu not tek bir taşı yerine koydu: “elementer işlem” ile “matrisle çarpım” aynı nesne. Diğer notlardaki \(E_i\) kullanımı artık tanım gereği değil, bu kanıt gereği geçerli.