Koordinatlar ve Taban Değişimi
MATE 213 — Lineer Cebir
2026-08-11
Bir Vektörü Nasıl Tarif Ederiz?
Önceki konuda:
- Taban uzayı gerer.
- Taban lineer bağımsızdır.
Belirli bir vektör nasıl tarif edilir?
Temsil Neden Benzersizdir?
\[
v=c_1b_1+\cdots+c_nb_n
=d_1b_1+\cdots+d_nb_n
\]
\[
(c_1-d_1)b_1+\cdots+(c_n-d_n)b_n=0
\]
\[
\boxed{c_i=d_i\quad(i=1,\ldots,n)}
\]
Koordinat Vektörü
\(B=(b_1,\ldots,b_n)\) sıralı taban olsun.
\[
v=c_1b_1+\cdots+c_nb_n
\]
\[
\boxed{[v]_B=
\begin{bmatrix}
c_1\\ \vdots\\ c_n
\end{bmatrix}}
\]
Vektör ve Koordinatları
\[
v\in V
\]
\[
[v]_B\in\mathbb{R}^n
\]
| \(v\) |
polinom, matris, fonksiyon |
| \([v]_B\) |
sayı sütunu |
Hızlı Kontrol
\(B=(b_1,b_2,b_3)\) sıralı taban olsun.
\[
w=-b_1+4b_3
\]
\[
[w]_B=?
\]
Koordinat Bulma Sorusu
\[
B=\left(
\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}
\right),\qquad
v=\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}
\]
Çözüm: Katsayıları Bul
\[
\begin{aligned}
c_1+c_2&=5,\\
c_1-c_2&=1
\end{aligned}
\]
\[
2c_1=6\Rightarrow c_1=3,\qquad c_2=2
\]
\[
\boxed{[v]_B=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}}
\]
Aynı Vektör, İki Sütun
\(E=(e_1,e_2)\) standart taban olsun.
| \(B\) |
\([v]_B=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\) |
| \(E\) |
\([v]_E=\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}\) |
\[
v=3b_1+2b_2=5e_1+e_2
\]
Koordinatları Geri Kurmak
\(V=\mathbb{R}^n\) için:
\[
S_B=\begin{bmatrix}b_1&\cdots&b_n\end{bmatrix}
\]
\[
S_B[v]_B=v
\]
\[
\boxed{[v]_B=S_B^{-1}v}
\]
Taban Değişimi Ne Yapar?
\[
[v]_B\longmapsto[v]_C
\]
\[
\boxed{P_{C\leftarrow B}[v]_B=[v]_C}
\]
Alt indis: \(B\)’den \(C\)’ye.
Sütunlar Nereden Gelir?
\(B=(b_1,\ldots,b_n)\) olsun.
\[
\boxed{P_{C\leftarrow B}=
\begin{bmatrix}
[b_1]_C&\cdots&[b_n]_C
\end{bmatrix}}
\]
Her sütun: bir \(B\) vektörü.
Somut Taban Değişimi
Örnekteki \(B\) ve \(E\) tabanları:
\[
P_{E\leftarrow B}=
\begin{bmatrix}[b_1]_E&[b_2]_E\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}
\]
\[
P_{E\leftarrow B}\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}
\]
Ters Yön, Farklı Matris
\[
P_{B\leftarrow E}=P_{E\leftarrow B}^{-1}
=\frac12\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}
\]
\[
P_{B\leftarrow E}\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}
\]
\[
P_{B\leftarrow E}P_{E\leftarrow B}=I
\]
Polinomlarda Koordinat Sorusu
\(P_2\) üzerinde iki taban:
\[
E=(1,t,t^2),\qquad
D=(1+t,t,1+t^2)
\]
\[
p(t)=3+2t-t^2
\]
\[
[p]_D=?
\]
Çözüm: Polinomu Üret
\[
a(1+t)+bt+c(1+t^2)
=(a+c)+(a+b)t+ct^2
\]
\[
a+c=3,\qquad a+b=2,\qquad c=-1
\]
\[
\boxed{[p]_D=
\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}
\]
Polinomlarda Taban Değişimi
\[
P_{E\leftarrow D}=
\begin{bmatrix}
1&0&1\\
1&1&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}
\]
\[
P_{E\leftarrow D}
\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}3\\2\\-1\end{bmatrix}
\]
Koordinatlar İşlemleri Korur
\[
[u+v]_B=[u]_B+[v]_B
\]
\[
[\alpha v]_B=\alpha[v]_B
\]
İşlemler sayı sütunlarına taşınır.
Sık Yapılan Hatalar
- \(v\) ile \([v]_B\)’yi özdeş saymak.
- Taban sırasını göz ardı etmek.
- Matris yönünü ters okumak.
- Sütunlara yanlış koordinatları yerleştirmek.
- Farklı taban koordinatlarını toplamak.
Karar Soruları
- Aynı sütun, farklı vektör olabilir mi?
- Taban sırası değişirse ne olur?
- \(P_{C\leftarrow B}\) ne zaman vardır?
- Ters dönüşüm hangi matristir?
Bazı Tabanlar Neden Kullanışlıdır?
- Temsil her tabanda benzersizdir.
- Hesap yükü tabana bağlıdır.
- Dik yönlerde katsayılar ayrışır.
- Öz vektörler işlemleri sadeleştirebilir.
Sıradaki Soru
Vektör uzayı şunları verdi:
Uzunluk, açı ve diklik nereden gelir?