Matris Çarpımları
MATE 213 — Lineer Cebir
2026-07-26
Etkinlik Örneğine Dönelim
Tanıdık bir ortaokul–lise problemi:
| 1 |
20 |
15 |
10 |
| 2 |
30 |
25 |
12 |
| 3 |
15 |
10 |
8 |
| 4 |
40 |
30 |
20 |
Birim fiyatlar:
- Sandviç: \(120\) TL
- İçecek: \(40\) TL
- Tatlı: \(75\) TL
Bildiğimiz Hesap Dört Kez
\[
\begin{aligned}
1.\ \text{etkinlik:}\quad&20(120)+15(40)+10(75)=3750\\
2.\ \text{etkinlik:}\quad&30(120)+25(40)+12(75)=5500\\
3.\ \text{etkinlik:}\quad&15(120)+10(40)+8(75)=2800\\
4.\ \text{etkinlik:}\quad&40(120)+30(40)+20(75)=7500
\end{aligned}
\]
İki Tabloyu Yan Yana Koymak
| 1 |
20 |
15 |
10 |
| 2 |
30 |
25 |
12 |
| 3 |
15 |
10 |
8 |
| 4 |
40 |
30 |
20 |
| Sandviç |
120 |
| İçecek |
40 |
| Tatlı |
75 |
Soldaki sütun sırası, sağdaki satır sırasıdır.
Hesabı Tablolar Üzerinde Okumak
Sol sütun \(\to\) sağ satır:
\[
\text{sandviç}\to120,
\quad
\text{içecek}\to40,
\quad
\text{tatlı}\to75
\]
\[
20(120)+15(40)+10(75)=3750
\]
- Her sütunun bir katsayısı var
- Katsayılar dört etkinlikte de aynı
- Değişen, satırdaki değerler
Hesabı Matrisle Yazmak
\[
A=
\begin{bmatrix}
20&15&10\\
30&25&12\\
15&10&8\\
40&30&20
\end{bmatrix},
\qquad
p=\begin{bmatrix}120\\40\\75\end{bmatrix}
\]
\[
(4\times3)(3\times1)\longrightarrow4\times1
\]
Çarpımı Açık Yazmak
\[
Ap=
\begin{bmatrix}
20(120)+15(40)+10(75)\\
30(120)+25(40)+12(75)\\
15(120)+10(40)+8(75)\\
40(120)+30(40)+20(75)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3750\\5500\\2800\\7500
\end{bmatrix}
\]
Satır Okuması: Her Satır Bir Çıktı
\[
A=[a_{ij}]\in\mathbb{R}^{m\times n},
\qquad
x\in\mathbb{R}^n
\]
\[
\boxed{
(Ax)_i
=a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n
=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j
}
\]
Sonuç vektörünün \(i\). bileşeni, matrisin \(i\). satırından gelir.
Sütun Okuması: Katsayılarla Birleştir
\[
A=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}
\]
\[
\boxed{Ax=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n}
\]
\(x\)’in bileşenleri, \(A\)’nın sütunlarının katsayılarıdır.
İki Okuma, Tek İşlem
| Bir sonuç bileşeni nasıl hesaplanır? |
Sonuç vektörünün tamamı nasıl üretilir? |
| Her satır \(x\) ile çarp-topla yapar |
\(x_j\), \(a_j\) sütununun katsayısıdır |
| \(m\) satır \(\to m\) çıktı |
\(n\) sütun \(\to n\) katsayı |
Mekanizma Örneği
\[
A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&0&-1\end{bmatrix},
\qquad
x=\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix}
\]
\[
Ax=
\begin{bmatrix}
1(2)+2(-1)+3(3)\\
4(2)+0(-1)-1(3)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}9\\5\end{bmatrix}
\]
Tanımlı Fakat Yanlış Eşleşmiş
Matris sütun sırası:
\[
(\text{sandviç},\text{içecek},\text{tatlı})
\]
Yanlış fiyat sırası:
\[
(\text{tatlı},\text{sandviç},\text{içecek})^T
\]
Boyutlar uyumludur; sonuç yine de yanlış anlam taşır.
Sık Yapılan Hatalar: \(Ax\)
- Boyutları kontrol etmeden çarpmaya başlamak.
- Çarpımı eleman eleman yapmak.
- Sonucun skaler olduğunu düşünmek.
- Sütun sırasını göz ardı etmek.
Tek Çıktıdan Çoklu Çıktıya
Tek katsayı sütunu tek sonuç verir:
\[
p=\begin{bmatrix}120\\40\\75\end{bmatrix}
\Longrightarrow Ap=\text{toplam fiyatlar}
\]
Şimdi dört ölçüyü izleyelim:
\[
B=
\begin{bmatrix}
120&70&3&450\\
40&20&1&120\\
75&45&2&300
\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{array}{c|cccc}
&b_1&b_2&b_3&b_4\\ \hline
\text{ölçü}&\text{fiyat}&\text{maliyet}&\text{emek}&\text{enerji}
\end{array}
\]
Bir Etkinlikten Dört Sonuç
Birinci etkinliğin miktarları:
\[
r_1=\begin{bmatrix}20&15&10\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{aligned}
r_1b_1&=20(120)+15(40)+10(75)=3750\\
r_1b_2&=20(70)+15(20)+10(45)=2150\\
r_1b_3&=20(3)+15(1)+10(2)=95\\
r_1b_4&=20(450)+15(120)+10(300)=13800
\end{aligned}
\]
\[
r_1B=\begin{bmatrix}3750&2150&95&13800\end{bmatrix}
\]
Bütün Etkinliklerin Sonuçları
\[
AB=
\begin{bmatrix}
3750&2150&95&13800\\
5500&3140&139&20100\\
2800&1610&71&10350\\
7500&4300&190&27600
\end{bmatrix}
\]
\[
\boxed{
(\text{etkinlik}\times\text{ürün})
(\text{ürün}\times\text{ölçü})
\longrightarrow
(\text{etkinlik}\times\text{ölçü})
}
\]
Boyut Uyumu Mekanizmadan Çıkar
\[
A:m\times n,
\qquad
B:n\times p
\]
Her \(b_j\) vektörü \(n\) bileşenlidir; bu nedenle her \(Ab_j\) tanımlıdır.
\[
\boxed{(m\times n)(n\times p)\longrightarrow m\times p}
\]
Çarpımın Satırlarını Birleştirmek
\(r_i(C)\), \(C\)’nin \(i\). satırıdır.
\[
\boxed{r_i(AB)=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\,r_k(B)}
\]
Örneğin birinci satırı:
\[
\begin{aligned}
r_1B
&=20\,r_1(B)+15\,r_2(B)+10\,r_3(B)\\
&=\begin{bmatrix}3750&2150&95&13800\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
Çarpım Sırası Neden Önemli?
\[
A:2\times3,
\qquad
B:3\times4
\]
\[
AB:(2\times3)(3\times4)\to2\times4
\]
\[
BA:(3\times4)(2\times3)\quad\text{tanımsız}
\]
Genel olarak:
\[
\boxed{AB\ne BA}
\]
Her İki Çarpım Tanımlı Olsa Bile
\[
A:2\times3,\qquad B:3\times2
\quad\Longrightarrow\quad
AB:2\times2,\qquad BA:3\times3
\]
Kare matrislerde boyutlar aynı; sonuçlar yine farklı:
\[
A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},
\qquad
B=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}
\]
\[
AB=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix},
\qquad
BA=\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}
\]
Kısa Uygulama
\[
A:3\times4,
\quad
B:4\times2,
\quad
C:2\times4,
\quad
x\in\mathbb{R}^4
\]
Karar verin; hesap yapmayın:
- \(Ax\)
- \(AB\)
- \(BA\)
- \(AC\)
- \(B+C\)
Sık Yapılan Hatalar: \(AB\)
- Sonuç boyutunu iç boyutlardan almak.
- \(AB\) tanımlıysa \(BA\) da tanımlıdır sanmak.
- Çarpımı eleman eleman yapmak.
- Ortak eksenin anlamını göz ardı etmek.
Sonraki Adım: Kuralları Yazmak
Mekanizma kuruldu:
\[
(Ax)_i=\sum_{j}a_{ij}x_j,
\qquad
(AB)_{ij}=\sum_{k}a_{ik}b_{kj}
\]
- Satır okuması, sütun okuması, boyut uyumu
- Açık kalan: hangi cebirsel kurallar geçerli?