Öz Değer ve Öz Vektör Örnekleri

MATE 213 — Lineer Cebir

Öğr. Gör. Oktay Cesur

2026-08-11

Üç Adımı Uygulamak

1. \(\det(A-\lambda I)=0\) kur
2. Kökleri bul: öz değerler
3. Her kök için \((A-\lambda I)v=0\) çöz

Dört örnek, dört farklı davranış.

Öz değer hesabı üç adımdan oluşur: bir \(\lambda\) adayı \((A-\lambda I)v=0\)’a taşınır; trivial olmayan çözüm \(A-\lambda I\)’nin tersinir olmamasını, bu da \(\det(A-\lambda I)=0\)’ı gerektirir. Bu denklemin kökleri öz değerleri, her kök için \((A-\lambda I)v=0\)’ın çözüm kümesi ise özuzay \(E_\lambda\)’yı verir. Somut matrislerde karakteristik polinom kurulur, kökleri bulunur ve her kök için özuzay hesaplanır.

Dört örnek dört farklı durumu gösterecek: üçgensel bir matriste öz değerlerin köşegenden doğrudan okunması, genel bir \(2\times2\) matriste karakteristik polinomun açılıp çarpanlarına ayrılması, tekrarlı bir öz değerin özuzay boyutuyla ilişkisi ve reel öz değeri olmayan bir dönme matrisi. İlk örnek en basit durumdan, üçgensel matristen başlıyor.

Örnek: Üçgensel Matris

\[ T=\begin{bmatrix}5&3\\0&-1\end{bmatrix} \]

\[ \det(T-\lambda I)=(5-\lambda)(-1-\lambda) \]

\[ \boxed{\lambda_1=5,\quad \lambda_2=-1} \]

\(T-\lambda I=\begin{bmatrix}5-\lambda&3\\0&-1-\lambda\end{bmatrix}\) hâlâ üst üçgenseldir, çünkü yalnızca köşegen elemanlardan \(\lambda\) çıkarılmıştır. Üçgensel bir matrisin determinantı köşegen çarpımı olduğundan \(\det(T-\lambda I)=(5-\lambda)(-1-\lambda)\) doğrudan yazılabilir; kofaktör açılımına gerek kalmaz.

Bu gözlem genelleşir: köşegen ya da üçgensel her matriste öz değerler doğrudan köşegen elemanlardır, çünkü \(A-\lambda I\) işlemi yalnızca köşegeni değiştirir ve üçgensel yapıyı bozmaz. \(T\) örneğinde köşegen elemanlar zaten \(5\) ve \(-1\) olduğundan öz değerler gözle görülür; hesaplama burada yalnızca bu gözlemin doğrulanmasıdır.

Örnek: Genel Bir \(2\times2\) Matris

\[ A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} \]

\[ \det(A-\lambda I)=\det\begin{bmatrix}4-\lambda&1\\2&3-\lambda\end{bmatrix} \]

Öz değerler?

\(A\) artık üçgensel değildir, dolayısıyla öz değerler köşegenden doğrudan okunamaz; \(\det(A-\lambda I)\) ifadesinin açık biçimde hesaplanması gerekir. \(2\times2\) bir matriste bu determinant \(ad-bc\) formülüyle doğrudan yazılabilir; \(a=4-\lambda\), \(b=1\), \(c=2\), \(d=3-\lambda\) karşılıklarıyla ifade genişletilecektir.

Bu \(A\) matrisi için \((1,1)^T\) vektörü yönünü koruyup uzunluğunu beşe katlar; \((1,-2)^T\) için de \(Av=2v\) eşitliği sağlanır. Karakteristik polinom bu iki gözlemi tesadüfe bırakmadan yeniden üretmeli ve varsa başka öz değer bırakmamalıdır.

Karakteristik Polinom: Çözüm

\[ \det(A-\lambda I)=(4-\lambda)(3-\lambda)-2 \]

\[ =\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-5)(\lambda-2) \]

\[ \boxed{\lambda_1=5,\quad\lambda_2=2} \]

Açılım \((4-\lambda)(3-\lambda)=\lambda^2-7\lambda+12\) verir; \(bc=1\cdot2=2\) çıkarılınca \(\lambda^2-7\lambda+10\) elde edilir. Bu ifade \((\lambda-5)(\lambda-2)\) olarak çarpanlarına ayrılır, dolayısıyla kökler \(\lambda=5\) ve \(\lambda=2\)’dir.

Bu iki değer, önceki gözlemlerde rastlantıyla bulunan öz değerlerle örtüşür; karakteristik polinom aynı sonucu şansa bağlı olmadan üretmiştir. Derece iki bir polinomun en fazla iki kökü olabileceğinden, \(A\)’nın taşıdığı bütün öz değerler bunlardır; üçüncü bir öz değer aranmaz.

Öz Vektörleri Bulmak: \(\lambda=5\)

\[ A-5I=\begin{bmatrix}-1&1\\2&-2\end{bmatrix} \]

\[ (A-5I)v=0 \;\Rightarrow\; v=t\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \]

\[ E_5=\operatorname{span}\{(1,1)^T\} \]

\(A-5I=\begin{bmatrix}-1&1\\2&-2\end{bmatrix}\) olur; ikinci satır birincinin \(-2\) katıdır, dolayısıyla tek bağımsız denklem \(-v_1+v_2=0\)’dır, yani \(v_2=v_1\). Serbest parametre \(t\) ile öz vektörler \(v=t(1,1)^T\) biçiminde yazılır; \(E_5=\operatorname{span}\{(1,1)^T\}\).

Bu sonuç, \((1,1)^T\) vektörünün \(A\) altında yönünü neden koruduğunu açıklar. Aynı hesap \(\lambda=2\) için de tekrarlanır.

Öz Vektörleri Bulmak: \(\lambda=2\)

\[ A-2I=\begin{bmatrix}2&1\\2&1\end{bmatrix} \]

\[ (A-2I)v=0 \;\Rightarrow\; v=t\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix} \]

\[ E_2=\operatorname{span}\{(1,-2)^T\} \]

\(A-2I=\begin{bmatrix}2&1\\2&1\end{bmatrix}\) olur, tek bağımsız denklem \(2v_1+v_2=0\)’dır, yani \(v_2=-2v_1\); öz vektörler \(v=t(1,-2)^T\) biçimindedir.

Bu iki sonuç, \((1,1)^T\) ile \((1,-2)^T\) vektörlerinin neden çalıştığını tam olarak açıklar: bu vektörler ilgili özuzayların üreteçleridir.

Örnek: Tekrarlı Öz Değer

\[ B=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix} \]

\[ \det(B-\lambda I)=(2-\lambda)^2 \]

\[ \boxed{\lambda=2\ \text{(katlılık }2\text{)}} \]

\(B\) üst üçgensel olduğundan \(\det(B-\lambda I)=(2-\lambda)^2\) köşegenden doğrudan yazılır. Bu polinomun tek kökü \(\lambda=2\)’dir, fakat kök iki kez tekrarlanır; bu tekrar sayısına \(\lambda=2\)’nin cebirsel katlılığı denir ve burada \(2\)’dir.

Önceki örnekte iki farklı öz değerin her biri kendi bir boyutlu özuzayını üretmişti. \(\lambda=2\)’nin katlılığı iki olduğu için burada özuzayın da iki boyutlu olup olmadığı ayrıca kontrol edilmelidir; bu, karakteristik polinomdan otomatik olarak çıkan bir sonuç değildir.

\(\lambda=2\)’nin Özuzayı

\[ B-2I=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix} \]

\[ (B-2I)v=0 \;\Rightarrow\; v_2=0,\ v_1\ \text{serbest} \]

\[ \boxed{E_2=\operatorname{span}\{(1,0)^T\}} \]

\((B-2I)v=0\) denklemi \(\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}v=0\) biçimindedir; tek bağımsız denklem \(v_2=0\)’dır, \(v_1\) tamamen serbest kalır. Öz vektörler \(v=t(1,0)^T\) biçimindedir ve \(E_2=\operatorname{span}\{(1,0)^T\}\) tek boyutludur.

Burada dikkat çeken nokta şu: \(\lambda=2\)’nin cebirsel katlılığı \(2\) olduğu hâlde özuzayın boyutu yalnızca \(1\)’dir. Bu iki sayı — katlılık ve özuzay boyutu — her zaman eşit çıkmaz ve ayrı yapısal bilgiler taşır.

Örnek: Gerçek Öz Değeri Olmayan Matris

\[ R=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} \]

\[ \det(R-\lambda I)=\lambda^2+1 \]

\[ \boxed{\lambda=\pm i} \]

\(R\), düzlemde \(90°\)’lik bir döndürme uygular. Geometrik olarak bir döndürme hiçbir sıfırdan farklı reel vektörün doğrultusunu korumaz; her vektör bir miktar döner. Bu gözlem, karakteristik polinom \(\lambda^2+1=0\)’ın reel bir kökünün bulunmamasıyla örtüşür: \(\lambda=\pm i\) yalnızca kompleks sayılarda tanımlıdır.

Bu, öz değerin her zaman var olduğu anlamına gelmez; reel sayılar üzerinde çalışan bir matrisin reel öz değeri olmayabilir. Kompleks öz değerler ve öz vektörler ayrı bir konudur; burada yalnız reel öz değerler ele alınır.

Sık Yapılan Hatalar: Öz Değer ve Öz Vektör

1. Sıfır vektörünü öz vektör saymak.
2. Kare olmayan matriste öz değer aramak.
3. Öz değeri bulunca işin bittiğini sanmak.
4. Öz vektör ararken \(A-\lambda I\) yerine \(A\)’yı kullanmak.
5. Katlı öz değerin o kadar bağımsız öz vektör garantilediğini sanmak.

Birinci ve ikinci hata tanımın sınırlarıyla ilgilidir. Sıfır vektörü her \(\lambda\) için \(A0=\lambda0\)’ı sağladığından anlamsızdır ve tanımdan dışlanır; buna karşılık \(\lambda=0\)’ın kendisi gayet geçerli bir öz değer olabilir, \(Av=0\) eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı bir \(v\) varsa bu durum \(A\)’nın tersinir olmadığını gösterir. Kare olmayan bir matriste ise \(Av=\lambda v\) eşitliği boyutça anlamsız kaldığından öz değer sorusu hiç sorulamaz.

Üçüncü ve dördüncü hata hesabın iki adımını karıştırır. Karakteristik polinom yalnızca \(\lambda\) değerlerini verir; öz vektörü bulmak için o \(\lambda\)’nın \((A-\lambda I)v=0\) denklemine geri konması ayrıca gerekir. Bu adımda \(A-\lambda I\) yerine yanlışlıkla \(A\)’nın kendisiyle işlem yapmak, bulunan vektörün öz vektör koşulunu sağlamamasına yol açar.

Beşinci hata, tekrarlı öz değerli \(B\) matrisi örneğinde görüldüğü gibi, cebirsel katlılığı özuzay boyutuyla özdeşleştirir. İki sayı bağımsızdır; katlılık karakteristik polinomdan, özuzay boyutu ise ayrı bir homojen sistem çözümünden gelir ve birbirine eşit olmak zorunda değildir.

Karar Soruları

1. \(A\) üçgensel, köşegende bir \(0\) var.
2. Karakteristik polinom \(\lambda^2+4\).
3. \(Av=0\), \(v\neq0\).

Her durumda öz değer hakkında ne söylenebilir?

Birinci durumda \(A\) üçgensel olduğu için öz değerler doğrudan köşegen elemanlarıdır; köşegende bir \(0\) varsa \(\lambda=0\) bir öz değerdir ve \(\det(A)\) köşegen çarpımı olduğundan sıfır çıkar, yani \(A\) tersinir değildir.

İkinci durumda \(\lambda^2+4=0\) denkleminin kökleri \(\lambda=\pm2i\)’dir; reel sayılar içinde çözüm yoktur, bu matrisin reel öz değeri bulunmaz.

Üçüncü durumda \(Av=0\) eşitliği \(Av=0\cdot v\) olarak okunabilir; \(v\neq0\) olduğundan bu tam olarak öz değer tanımını \(\lambda=0\) ile sağlar. \(\lambda=0\)’ın öz değer olması, \(A\)’nın sıfırdan farklı bir vektörü sıfıra gönderdiği, yani tersinir olmadığı anlamına gelir.

Sonraki Adım: Katlılık ve Özuzay Boyutu

Tekrarlı öz değerde özuzay boyutu katlılıktan küçük kalabilir.

\[ \dim(E_\lambda) \le \text{cebirsel katlılık} \]

Bu farkın matrisin davranışını nasıl etkilediği köşegenleştirme konusunun sorusu.

Tekrarlı öz değerli \(B\) matrisinde \(\lambda=2\)’nin katlılığı \(2\) olduğu hâlde özuzay yalnızca bir boyutludur. Bu her öz değerde görülmez, ama mümkün bir durumdur: bir öz değerin özuzay boyutu, o öz değerin karakteristik polinomdaki katlılığını hiçbir zaman aşamaz, fakat ondan küçük kalabilir.

Bu boyut farkının matrisin genel davranışı için ne anlama geldiği köşegenleştirme konusunun sorusudur: hangi matrisler öz vektörler kullanılarak daha basit bir biçimde yeniden yazılabilir, hangileri yazılamaz?