Öz Değerler ve Öz Vektörler

MATE 213 — Lineer Cebir

Öğr. Gör. Oktay Cesur

2026-08-11

Dönüşümün Özel Doğrultuları

Matris-vektör çarpımını \(Ax\) genel biçimde incelemiştik: bir matris, girdi \(x\)’i alıp çıktı \(Ax\)’i üreten bir dönüşüm olarak da okunabilir.

\[ x \longmapsto Ax \]

Şimdi soru: hangi \(x\) için bu etki yalnızca bir ölçeklemeye iner?

Matris-vektör çarpımı \(Ax\) ele alınırken bir matrisin aynı zamanda bir dönüşüm olarak okunabileceğini görmüştük: \(x\) girdisini alıp \(Ax\) çıktısını üreten bir kural. Genel bir \(x\) için \(Ax\)’in yönü de büyüklüğü de \(x\)’den farklı olabilir; dönüşüm vektörü döndürebilir, uzatabilir, kısaltabilir ya da bunların bir bileşimini yapabilir.

Özel soru şudur: Hangi \(x\) doğrultuları için \(A\)’nın etkisi yalnızca bir ölçeklemeye iner, yani \(Ax\) hâlâ \(x\) ile aynı ya da tam ters doğrultuda kalır? Bu doğrultular matrisin davranışını en yalın biçimde gösterir ve öz değer, öz vektör kavramlarının çıkış noktasıdır.

Bir Vektör Yön Değiştirir, Öbürü Değiştirmez

\[ A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} \]

\[ A\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix} \]

\[ A\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}=5\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \]

Elimizde \(A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix}\) olsun. \(x=(1,0)^T\) alınırsa \(Ax=(4,2)^T\) çıkar; bu vektör \(x\) ile aynı doğrultuda değildir, dönüşüm burada hem yönü hem uzunluğu değiştirmiştir.

\(x=(1,1)^T\) seçilirse sonuç \(Ax=(5,5)^T\)’dir ve bu tam olarak \(5\cdot(1,1)^T\)’dir: yön aynı kalmış, yalnızca uzunluk beş katına çıkmıştır. Bu ikinci vektör rastgele seçilmedi; \(A\)’nın böyle davrandığı özel bir doğrultudur. Sıradaki hedef, böyle doğrultuların rastgele deneme yapmadan nasıl bulunacağını kurmaktır.

Öz Değer ve Öz Vektör Tanımı

\[ Av=\lambda v,\qquad v\neq0 \]

• \(\lambda\): öz değer
• \(v\): \(\lambda\)’ya karşılık gelen öz vektör
• İki koşul birlikte

\(Av=\lambda v\) eşitliği, \(v\) üzerinde \(A\)’nın etkisinin yalnızca \(\lambda\) ile çarpmaktan ibaret kaldığını söyler: \(v\)’nin doğrultusu korunur, yalnızca uzunluğu (ve \(\lambda<0\) ise yönü) ölçeklenir. Bu eşitliği sağlayan \(\lambda\) skalerine öz değer, \(v\) vektörüne de o öz değere karşılık gelen öz vektör denir.

Tanımda \(v\neq0\) koşulu ayrıca yazılır, çünkü sıfır vektörü her \(\lambda\) için \(A0=\lambda0=0\) eşitliğini sağlar. Bu eşitlik hiçbir doğrultu bilgisi taşımaz; sıfır vektörünün kendisi zaten bir yön belirtmez. Öz vektör tanımı bu nedenle yalnızca sıfırdan farklı vektörler için anlamlıdır.

Neden Kare Matris?

\(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\), \(v\in\mathbb{R}^n\) olsun.

\[ Av\in\mathbb{R}^m,\qquad \lambda v\in\mathbb{R}^n \]

\(Av=\lambda v\) ancak \(m=n\) olursa boyutça anlamlı.

\(A\) boyutu \(m\times n\) ise \(Av\) vektörü \(\mathbb{R}^m\)’de, \(\lambda v\) vektörü ise \(\mathbb{R}^n\)’de yaşar. İki vektörün eşit olabilmesi için aynı uzayda bulunmaları gerekir; bu da \(m=n\)’i zorunlu kılar. Dolayısıyla öz değer problemi yalnızca kare matrisler için tanımlıdır. Bu bir sözleşme değildir; eşitliğin boyutça anlamlı olmasının doğrudan sonucudur.

Öz değer problemi \(Av=\lambda v\) eşitliğinin iki tarafının da aynı uzayda bulunmasını gerektirir; bu nedenle burada yalnız kare matrisler ele alınır.

Hızlı Kontrol

\[ A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix},\qquad v=\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix} \]

\(Av=2v\) sağlanıyor mu?

Tanımı bir adayda sınamak, elde \(\lambda\) ve \(v\) için \(Av\)’yi hesaplayıp \(\lambda v\) ile karşılaştırmaktan ibarettir; iki taraf eşitse aday gerçekten bir öz değer-öz vektör çiftidir, eşit değilse aday reddedilir. Burada sınanacak aday \(\lambda=2\) ve \(v=(1,-2)^T\) olarak veriliyor.

Bu tür bir kontrol yalnızca elde hazır bir adayı test eder; adayın nereden geldiği bu aşamada sorulmuyor. Amaç yalnızca tanımı uygulamaktır: \(Av\) hesaplanacak, \(2v\) ile karşılaştırılacak. Eşitlik çıkarsa \(\lambda=2\) gerçekten bir öz değer olacaktır.

Hızlı Kontrol: Doğrulama

\[ Av=\begin{bmatrix}4\cdot1+1\cdot(-2)\\2\cdot1+3\cdot(-2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix} \]

\[ 2v=\begin{bmatrix}2\\-4\end{bmatrix} \]

\[ \boxed{Av=2v} \]

Hesap \(Av=(4\cdot1+1\cdot(-2),\ 2\cdot1+3\cdot(-2))^T=(2,-4)^T\) verir. Bu sonuç \(2\cdot(1,-2)^T=(2,-4)^T\) ile aynıdır, dolayısıyla \(Av=2v\) gerçekten sağlanıyor; \(\lambda=2\) bu \(A\) için bir öz değer, \(v=(1,-2)^T\) ise ona karşılık gelen bir öz vektördür.

Bu kontrol yalnızca verilen adayı doğrular; \(\lambda=2\)’nin ya da başka öz değerlerin nasıl bulunacağını göstermez. Bir \(A\) için sonsuz sayıda vektör denenip hangisinin işe yaradığına bakmak pratik bir yöntem değildir; sıradaki adım şansa bağlı olmayan, sistematik bir arama kurmaktır.

\((A-\lambda I)v=0\)’a Geçiş

\[ Av=\lambda v \quad\Longleftrightarrow\quad Av-\lambda v=0 \]

\[ \Longleftrightarrow\quad (A-\lambda I)v=0 \]

\(I\): \(A\) ile aynı boyutta birim matris.

Adım \(Av-\lambda v=0\) cebirsel olarak doğrudan gelir. Sonraki adımda \(v\)’yi ortak çarpan olarak parantezine almak için \(\lambda v\) ifadesi \(\lambda(Iv)\) olarak yazılır; \(I\) birim matris olduğundan \(Iv=v\)’dir ve bu adım eşitliği bozmaz. Böylece \(Av-\lambda Iv=(A-\lambda I)v\) elde edilir. \(A-\lambda I\) ifadesindeki çıkarma artık matris-matris çıkarmasıdır; matristen doğrudan bir skaler çıkarmak tanımsız kalırdı.

\((A-\lambda I)v=0\) eşitliği tanıdık bir yapıdadır: \(A-\lambda I\) adlı bir matrisin, sıfırdan farklı bir \(v\) vektörünü sıfıra gönderdiğini söyler. Bu tam olarak homojen sistemlerin trivial olmayan çözüm sorusudur; farkı yalnızca katsayı matrisinin artık \(A-\lambda I\) olmasıdır.

Trivial Olmayan Çözüm Ne Gerektirir?

\[ (A-\lambda I)v=0,\qquad v\neq0 \]

• Pivot sayısı \(n\)’den az
• \(\operatorname{rank}(A-\lambda I)<n\)
• \(A-\lambda I\) tersinir değil

Homojen sistemlerde kurulan bilgiye göre, kare bir \(B\) matrisi için \(Bv=0\)’ın \(v\neq0\) olan trivial olmayan bir çözümü varsa, bu \(B\)’nin bütün sütunlarında pivot bulunmadığını, yani \(\operatorname{rank}(B)<n\) olduğunu gösterir; bu da \(B\)’nin tersinir olmadığı anlamına gelir.

Burada \(B=A-\lambda I\) alınırsa aynı sonuç geçerli olur: \((A-\lambda I)v=0\) denkleminin \(v\neq0\) çözümü olması, \(A-\lambda I\)’nin tersinir olmamasını gerektirir. Tersinir olmama koşulu henüz sayısal bir teste dönüşmedi; bunun için determinantla kurulan bağlantı gerekiyor.

Tersinirlik ve Determinant

\[ B \text{ tersinir} \iff \det(B)\neq0 \]

\[ \det(A-\lambda I)=0 \]

• Önceden kurulan denklik
• Yeni bir formül değil

Kare bir matrisin tersinir olmamasının determinantla eşdeğerliği önceden kurulmuştu: \(B\) tersinir \(\iff \det(B)\neq0\). Önceki adımda \(A-\lambda I\)’nin tersinir olmadığı gösterildiğinden, bu denklik doğrudan \(\det(A-\lambda I)=0\) sonucunu verir.

Bu geçiş, homojen sistemlerde ve determinantta kurulan denkliklerin \(A-\lambda I\) matrisine uygulanmasıdır; ayrı, ezberlenecek yeni bir formül değildir. \(\det(A-\lambda I)=0\) eşitliği artık \(\lambda\)’ya bağlı somut bir denklem olarak elde edildi; sıradaki adım bu denklemin yapısını incelemektir.

Karakteristik Polinom

\[ \det(A-\lambda I)=0 \]

• \(\lambda\)’da bir polinom denklemi
• Kökleri: öz değerler
• \(\det(A-\lambda I)\): karakteristik polinom

\(A-\lambda I\) matrisinin her girdisi \(\lambda\)’da en fazla birinci derecedendir; determinant hesabı bu girdilerin çarpım ve toplamlarından oluştuğu için \(\det(A-\lambda I)\) ifadesi \(\lambda\)’da bir polinom, yani karakteristik polinom olarak ortaya çıkar. \(n\times n\) boyutlu bir matris için bu polinomun derecesi \(n\)’dir. Polinomun kökleri, tanımı gereği \(\det(A-\lambda I)=0\) eşitliğini sağlayan \(\lambda\) değerleridir, yani tam olarak öz değerlerdir.

Karakteristik polinom yalnızca öz değerleri verir, öz vektörleri değil. Her kök bulunduktan sonra o \(\lambda\) değeri \((A-\lambda I)v=0\) denklemine geri konur ve bu homojen sistem ayrıca çözülür; öz vektörler bu ikinci adımdan çıkar.

Özuzay

Bir \(\lambda\) öz değeri için:

\[ E_\lambda=\{v: (A-\lambda I)v=0\} \]

• \((A-\lambda I)v=0\)’ın çözüm kümesi
• Sıfır vektörünü de içerir
• Öz vektörler: \(E_\lambda\)’nın sıfırdan farklı elemanları

\(E_\lambda\), sabit bir \(\lambda\) için \((A-\lambda I)v=0\) homojen sisteminin bütün çözümlerinden oluşur. Homojen sistemlerin çözüm kümelerinin toplama ve skalerle çarpmaya kapalı olduğu, dolayısıyla bir altuzay oluşturduğu daha önce kurulmuştu; aynı yapı burada \(A-\lambda I\) katsayı matrisiyle yeniden karşımıza çıkar. Bu nedenle \(E_\lambda\)’ya özuzay denir.

\(E_\lambda\) tanım gereği sıfır vektörünü içerir, çünkü her homojen sistem trivial çözüme sahiptir. Ancak öz vektör tanımı \(v\neq0\) şartını taşıdığından sıfır vektörünün kendisi bir öz vektör sayılmaz; öz vektörler \(E_\lambda\)’nın sıfırdan farklı elemanlarıdır.

Sonraki Adım

• Tanım: \(Av=\lambda v\)
• Denklem: \(\det(A-\lambda I)=0\)
• Küme: özuzay \(E_\lambda\)
• Sırada: somut matrislerde işletmek

Öz değer hesabında bir \(\lambda\) adayı \(Av=\lambda v\)’yi \((A-\lambda I)v=0\)’a taşır. Trivial olmayan çözüm \(A-\lambda I\)’nin tersinir olmamasını, bu da \(\det(A-\lambda I)=0\)’ı gerektirir. Bu denklemin kökleri öz değerlerdir ve her kök için \((A-\lambda I)v=0\) çözülerek özuzay \(E_\lambda\) bulunur.

Aynı adımlar somut matrislerde de uygulanır: üçgensel bir matriste öz değerler doğrudan okunabilir, genel bir \(2\times2\) matriste karakteristik polinom açılıp çözülür ve tekrarlı bir öz değerin özuzaya etkisi ayrıca incelenir.