QTEA26 — Perşembe Oturum
2026-03-12
\(\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}\)
Tek kubitte: \(H\), \(X\), \(Z\)
İki kubitte: tensör çarpım, CNOT
Önceki kritik fikir: faz bilgisi ölçümde doğrudan görünmez ama girişimde görünür
Bugün bu faz bilgisinin iki kubitli bir protokolde nasıl “mesaja” dönüştüğünü göreceğiz
qc.x(q[0])\[ X\ket{0} = \ket{1} \qquad X\ket{1} = \ket{0} \]
\[ X = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \]
\[ Z = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \]
\[ Z\ket{0} = \ket{0} \qquad Z\ket{1} = -\ket{1} \]
qc.z(q[0])qc.h(q[0])\[ H\ket{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}+\ket{1}) = \ket{+} \qquad H\ket{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}-\ket{1}) = \ket{-} \]
\[ H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \]
qc.cx(q[0], q[1])| Giriş | Çıkış |
|---|---|
| \(\ket{00}\) | \(\ket{00}\) |
| \(\ket{01}\) | \(\ket{01}\) |
| \(\ket{10}\) | \(\ket{11}\) |
| \(\ket{11}\) | \(\ket{10}\) |
\[ \mathrm{CNOT} = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix} \]
Hedef kubit \(\ket{-}\) durumundayken CNOT uygulanırsa:
\[ \mathrm{CNOT}\ket{+}\ket{-} = \ket{-}\ket{-} \]
\[ \mathrm{CNOT}\bigl(\alpha\ket{0}+\beta\ket{1}\bigr)\ket{-} = \alpha\ket{0}\ket{-} - \beta\ket{1}\ket{-} \]
Klasik dünyada 1 fiziksel taşıyıcı gönderirseniz en fazla 1 klasik bit taşırsınız
Burada soru şu:
Önceden paylaşılmış dolanıklık varsa, tek kubit göndererek 2 klasik bit iletebilir miyiz?
Cevap: Evet
Başlangıç:
\[ \ket{00} \]
Adım 1: Birinci kubite Hadamard:
\[ \ket{00} \xrightarrow{H \otimes I} \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{10}) \]
Adım 2: CNOT:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{10}) \xrightarrow{\mathrm{CNOT}} \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{11}) \]
\[ \ket{\Phi^+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{11}) \]
Bu durum iki ayrı tek-kubit durumunun çarpımı olarak yazılamaz
Yani
\[ \ket{\Phi^+} \neq \ket{u} \otimes \ket{v} \]
Ölçüm yapıldığında sonuçlar korelasyonludur
Ama bu sadece “önceden belirlenmiş iki gizli bit” anlamına gelmez
Klasik korelasyon: iki zarfa önceden aynı renk kâğıt koymak
Kuantum dolanıklık: ölçümden önce tek tek sonuçlar belirli değildir
Ölçüm bazı bazlarda korelasyon verir; bazı bazlarda klasik gizli değişken modeli yetersiz kalır
Bu fark Bell testleriyle deneysel olarak doğrulanmıştır
Asja ve Balvis başlangıçta şu durumu paylaşsın:
\[ \ket{\Phi^+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{11}) \]
Asja ilk kubiti alır
Balvis ikinci kubiti alır
Bu hazırlık mesajdan önce yapılır
Mesaj anında Asja yalnızca kendi kubitine dokunur
Asja göndermek istediği iki bitte, kendi kubitine sadece yerel kapılar uygular:
| Mesaj | İşlem | Oluşan Bell durumu |
|---|---|---|
| \(00\) | \(I\) | \(\ket{\Phi^+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{11})\) |
| \(01\) | \(X\) | \(\ket{\Psi^+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01}+\ket{10})\) |
| \(10\) | \(Z\) | \(\ket{\Phi^-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}-\ket{11})\) |
| \(11\) | \(XZ\) (veya \(ZX\), global faz farkıyla) | \(\ket{\Psi^-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01}-\ket{10})\) |
\(X\) bit bilgisini değiştirir: \(\ket0 \leftrightarrow \ket1\)
\(Z\) faz bilgisini değiştirir: \(\ket1\) bileşenine eksi koyar
Bell çifti üzerinde bu iki işlem birlikte dört farklı, ortogonal durum üretir
Yani iki klasik bit için tam dört ayırt edilebilir kuantum durumumuz vardır
Asja iki biti doğrudan “bit dizisi” olarak göndermiyor
Kendi kubitini, mesaja karşılık gelen Bell durumunun parçası hâline getirip gönderiyor
Gönderilen tek kubit, ancak Balvis’in elindeki diğer kubitle birlikte anlam kazanıyor
Asja kubitini gönderince Balvis artık iki kubiti de elinde tutar.
Uyguladığı devre:
CNOT(Asja, Balvis)
H(Asja)
Ölçüm
Bu devre Bell bazını standart baza çevirir:
\[ \ket{\Phi^+} \to \ket{00},\quad \ket{\Psi^+} \to \ket{01},\quad \ket{\Phi^-} \to \ket{10},\quad \ket{\Psi^-} \to \ket{11} \]
Başlangıç:
\[ \ket{\Phi^+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{11}) \]
Asja, \(10\) göndermek için \(Z\) uygular:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{11}) \xrightarrow{Z \otimes I} \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}-\ket{11}) \]
Balvis çözme devresini uygular:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}-\ket{11}) \xrightarrow{\mathrm{CNOT}} \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}-\ket{10}) \xrightarrow{H \otimes I} \ket{10} \]
from qiskit import QuantumRegister, ClassicalRegister, QuantumCircuit
from qiskit_aer import AerSimulator
all_pairs = ['00', '01', '10', '11']
for pair in all_pairs:
a, b = int(pair[0]), int(pair[1])
q = QuantumRegister(2, "q")
c = ClassicalRegister(2, "c")
qc = QuantumCircuit(q, c)
# Paylaşılan Bell çifti
qc.h(q[0])
qc.cx(q[0], q[1])
# Asja'nın kodlaması
if a == 1:
qc.z(q[0])
if b == 1:
qc.x(q[0])
qc.barrier()
# Balvis'in çözmesi
qc.cx(q[0], q[1])
qc.h(q[0])
qc.measure(q, c)
counts = AerSimulator().run(qc, shots=256).result().get_counts(qc)
print(pair, counts)| Gönderilen mesaj | Beklenen ölçüm |
|---|---|
00 |
00 |
01 |
01 |
10 |
10 |
11 |
11 |
Simülatörde her mesaj tek bir sonuca çöküyor
Çünkü kullandığımız dört Bell durumu ortogonal
Ortogonal durumlar uygun bazda hatasız ayırt edilebilir
İletişim anında sadece 1 kubit gönderildi
Ama karşı taraf 2 klasik bit elde etti
Kazanç, önceden paylaşılmış dolanıklığın iletişim kaynağı olarak kullanılmasından geliyor
Yani superdense coding, dolanıklık + tek kubit iletim kombinasyonudur
Bu protokol ışıktan hızlı iletişim sağlamaz
Dolanıklık tek başına mesaj taşımaz
Asja’nın kubiti fiziksel olarak Balvis’e gitmeden Balvis mesajı çıkaramaz
Yani klasik nedensellik ihlal edilmiyor
İkisi de Bell çifti kullanır
Superdense coding: 1 kubit gönder, 2 klasik bit elde et
Teleportation: 2 klasik bit gönder, 1 bilinmeyen kubit durumu aktar
İkisi birbirinin yapısal “tersi” gibi düşünülebilir
Bell durumu, yerel X ve Z işlemleriyle dört farklı Bell durumuna dönüştürülebilir
Bu dört durum iki klasik bitlik mesaj uzayına karşılık gelir
Balvis CNOT + H ile Bell bazını standart baza çevirip mesajı okur
Protokolün gücü, önceden paylaşılmış dolanıklığın iletişim kaynağı olarak kullanılmasından gelir