Temel Lineer Cebir: Vektörler
Lineer Cebir — 1
2026-01-01
Bu Derste Ne Kuruyoruz?
- Birden fazla sayıyı tek matematiksel nesne olarak yazacağız
- Bu nesneye vektör diyeceğiz
- Vektörlerde toplama, skaler çarpma ve uzunluk fikrini kuracağız
- Çok bileşenli nicelikleri düzenli biçimde temsil etmeyi öğreneceğiz
Neden Vektör?
Bazı bilgileri tek sayı ile anlatmak yeterli değildir.
Bir noktanın düzlemdeki konumu:
\[
(3,2)
\]
Bir ürünün üç özelliği:
\[
\text{fiyat}=40,\qquad \text{ağırlık}=2,\qquad \text{stok}=15
\]
Bu değerleri tek nesne olarak yazabiliriz:
\[
v=
\begin{bmatrix}
40\\2\\15
\end{bmatrix}
\]
Vektör: Sıralı Sayılar
Bir vektör, sıralı sayılardan oluşan bir nesnedir.
\[
u=
\begin{bmatrix}
2\\
-1\\
4
\end{bmatrix}
\]
Bileşenler:
\[
u_1=2,\qquad u_2=-1,\qquad u_3=4
\]
Sıra önemlidir:
\[
\begin{bmatrix}2\\-1\\4\end{bmatrix}
\neq
\begin{bmatrix}-1\\2\\4\end{bmatrix}
\]
Tanıtım: Bilgiyi Sıralı Yazmak
| Ad |
Oktay |
| Soyad |
Cesur |
| Görev |
Eğitmen |
| Ad |
Eğitmen |
| Soyad |
Oktay |
| Görev |
Cesur |
Boyut
Bir vektörde kaç bileşen varsa, vektörün boyutu odur.
\[
\begin{bmatrix}
3\\-2
\end{bmatrix}
\quad \text{2 boyutlu}
\]
\[
\begin{bmatrix}
1\\0\\4\\-3
\end{bmatrix}
\quad \text{4 boyutlu}
\]
Genel gösterim:
\[
v=
\begin{bmatrix}
v_1\\v_2\\ \vdots \\ v_n
\end{bmatrix}
\in \mathbb{R}^n
\]
Satır ve Sütun Vektörü
Aynı değerler satır veya sütun olarak yazılabilir.
Satır vektörü:
\[
\begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \end{bmatrix}
\]
Sütun vektörü:
\[
\begin{bmatrix}
2\\
-1\\
4
\end{bmatrix}
\]
Bu derste işlemleri çoğunlukla sütun vektörleri ile göstereceğiz.
Geometrik Yorum
İki boyutlu bir vektör düzlemde bir ok olarak düşünülebilir.
\[
v=
\begin{bmatrix}
3\\
2
\end{bmatrix}
\]
Bu vektör:
- Başlangıç noktası: \((0,0)\)
- Bitiş noktası: \((3,2)\)
- Yatay bileşen: 3
- Dikey bileşen: 2
Örnek: Eğitime Katılan Gruplar
Bir eğitime 4 grup halinde katılım var.
Sabah katılımcı sayıları:
Öğleden sonra her gruba yeni katılımcılar ekleniyor:
Soru: Her grubun gün sonundaki toplam katılımcı sayısı nedir?
\[
12+3=15,\qquad 8+6=14,\qquad 15+2=17,\qquad 5+4=9
\]
Aynı Problemi Vektörle İfade Etmek
Sabah katılımcı sayılarını bir vektör olarak yazalım:
\[
g=
\begin{bmatrix}
12\\8\\15\\5
\end{bmatrix}
\]
Öğleden sonra eklenen katılımcıları da bir vektör olarak yazalım:
\[
e=
\begin{bmatrix}
3\\6\\2\\4
\end{bmatrix}
\]
Gün sonu toplam:
\[
g+e=
\begin{bmatrix}
12+3\\8+6\\15+2\\5+4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
15\\14\\17\\9
\end{bmatrix}
\]
Vektör Toplamanın Geometrik Yorumu
Grup örneği 4 boyutlu olduğu için çizilemez; ama aynı toplama kuralı 2 boyutta görselleştirilebilir.
\[
u=
\begin{bmatrix}
3\\2
\end{bmatrix},
\qquad
v=
\begin{bmatrix}
1\\3
\end{bmatrix},
\qquad
u+v=
\begin{bmatrix}
4\\5
\end{bmatrix}
\]
- \(u\) okunu orijinden çiz
- \(v\) okunun başlangıcını \(u\)’nun ucuna taşı
- Orijinden \(v\)’nin yeni ucuna çizilen ok, \(u+v\)’dir
Standart Baz Vektörleri
İki boyutta standart baz vektörleri:
\[
e_1=
\begin{bmatrix}
1\\0
\end{bmatrix},
\qquad
e_2=
\begin{bmatrix}
0\\1
\end{bmatrix}
\]
Yorum:
- \(e_1\): yatay yönde bir birim
- \(e_2\): dikey yönde bir birim
Her iki boyutlu vektör bu iki temel vektörle yazılabilir.
Baz Vektörleriyle Yazmak
\[
\begin{bmatrix}
a\\
b
\end{bmatrix}
=
a
\begin{bmatrix}
1\\0
\end{bmatrix}
+
b
\begin{bmatrix}
0\\1
\end{bmatrix}
\]
Örnek:
\[
\begin{bmatrix}
3\\
-2
\end{bmatrix}
=
3e_1-2e_2
\]
Yani:
\[
\begin{bmatrix}
3\\
-2
\end{bmatrix}
=
3
\begin{bmatrix}
1\\0
\end{bmatrix}
-2
\begin{bmatrix}
0\\1
\end{bmatrix}
\]
Vektör Toplama
Aynı boyutlu vektörler bileşen bileşen toplanır.
\[
u=
\begin{bmatrix}
2\\
-1\\
4
\end{bmatrix},
\qquad
v=
\begin{bmatrix}
3\\
5\\
-2
\end{bmatrix}
\]
\[
u+v=
\begin{bmatrix}
2+3\\
-1+5\\
4+(-2)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5\\
4\\
2
\end{bmatrix}
\]
Toplama İçin Boyut Uyumu
Şu işlem tanımlıdır:
\[
\begin{bmatrix}
1\\2\\3
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
4\\5\\6
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5\\7\\9
\end{bmatrix}
\]
Şu işlem tanımlı değildir:
\[
\begin{bmatrix}
1\\2\\3
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
4\\5
\end{bmatrix}
\]
Çünkü bileşenler eşleşmez.
Vektör toplama yalnızca aynı boyutlu vektörler arasında yapılır.
Skaler ile Çarpma
Bir vektörü bir sayıyla çarpmak, her bileşeni o sayıyla çarpmaktır.
\[
3
\begin{bmatrix}
2\\
-1\\
4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3\cdot2\\
3\cdot(-1)\\
3\cdot4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
6\\
-3\\
12
\end{bmatrix}
\]
Bu sayıya skaler denir.
Negatif Skaler
Negatif skaler, bileşenlerin işaretini de etkiler.
\[
-2
\begin{bmatrix}
1\\
-3\\
2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2\\
6\\
-4
\end{bmatrix}
\]
Geometrik yorum:
- Mutlak değer büyüklüğü ölçekler
- Negatif işaret yönü tersine çevirir
Lineer Birleşim
Vektörleri skalerlerle çarpıp toplayabiliriz.
\[
2u-3v
\]
Örnek:
\[
u=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix},
\qquad
v=\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}
\]
\[
2u-3v
=
2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}
-3\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}9\\-3\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}-7\\7\end{bmatrix}
\]
Vektörün Uzunluğu
İki boyutta uzunluk Pisagor’dan gelir.
\[
u=
\begin{bmatrix}
3\\
4
\end{bmatrix}
\]
\[
\|u\|
=
\sqrt{3^2+4^2}
=
\sqrt{9+16}
=
5
\]
Genel formül:
\[
\left\|
\begin{bmatrix}
x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n
\end{bmatrix}
\right\|
=
\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}
\]
Birim Vektör
Uzunluğu 1 olan vektöre birim vektör denir.
\[
\begin{bmatrix}
1\\0
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\sqrt{1^2+0^2}=1
\]
\[
\begin{bmatrix}
\frac{3}{5}\\
\frac{4}{5}
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\sqrt{
\left(\frac{3}{5}\right)^2+
\left(\frac{4}{5}\right)^2}
=1
\]
Mini Kontrol
Aşağıdakilerden hangileri birim vektördür?
\[
a=
\begin{bmatrix}
1\\0
\end{bmatrix}
\qquad
b=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
\qquad
c=
\begin{bmatrix}
\frac{3}{5}\\
\frac{4}{5}
\end{bmatrix}
\]
Kontrol:
\[
\|a\|^2=1,\qquad
\|b\|^2=\frac{1}{2},\qquad
\|c\|^2=1
\]
Özet
- Vektör, sıralı sayılardan oluşan matematiksel bir nesnedir
- Boyut, bileşen sayısıdır
- Standart baz vektörleri temel yönleri verir
- Toplama ve skaler çarpma bileşen bileşen yapılır
- Lineer birleşim, skaler çarpımların toplamıdır
- Vektör uzunluğu kareler toplamının kareköküyle hesaplanır
