Temel Lineer Cebir: İç Çarpım

Lineer Cebir — 2

Öğr. Gör. Oktay Cesur

2026-01-01

Geçen Konudan Köprü

• Vektörleri sıralı sayılar olarak tanımladık
• Toplama, skaler çarpma ve uzunluk fikrini gördük
• Şimdi iki vektörden tek sayı üreten önemli bir işlem kuracağız

\[ \text{vektör} \times \text{vektör} \longrightarrow \text{sayı} \]

Bu işleme iç çarpım denir.

Önceki derste vektörler üzerinde iki işlem gördük: toplama ve skaler çarpma. Her ikisinin de sonucu yine bir vektördür — aynı boyutta, aynı türde bir nesne elde ederiz. İç çarpım bu düzeni bozar: girdi olarak iki vektör alır, ama çıktı olarak tek bir sayı (skaler) üretir. Bu, iç çarpımı toplama ve skaler çarpmadan kavramsal olarak ayıran temel özelliktir.

Bu fark önemlidir çünkü karıştırılabilir: \(u+v\) bir vektördür, \(\alpha u\) bir vektördür, ama \(\langle u,v\rangle\) bir sayıdır. İki vektörden bir sayı üretmenin ne işe yaradığı az sonra netleşecek — uzunluk, açı ve dikliğin hepsi bu tek işlemden türetilecektir.

İç Çarpımın Algoritması

Aynı boyutlu iki vektör:

\[ u= \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3 \end{bmatrix}, \qquad v= \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{bmatrix} \]

İç çarpım:

\[ \langle u,v\rangle = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 \]

Kural:

1. Aynı konumdaki bileşenleri çarp
2. Sonuçları topla

İç çarpımın kuralı iki adımdan oluşur: önce aynı konumdaki bileşenler birbiriyle çarpılır (\(u_1v_1\), \(u_2v_2\), \(u_3v_3\)), sonra bu üç çarpım toplanır. Bu, vektör toplamasındaki “aynı hizadaki bileşenleri eşle” mantığının bir devamıdır; fark, burada eşleşen bileşenlerin toplanması değil çarpılması, sonra bu çarpımların toplanmasıdır.

İç çarpım için \(\langle u,v\rangle\) ve \(u\cdot v\) notasyonlarının ikisi de yaygın kullanılır; ikisi de aynı işlemi ifade eder. \(\langle \cdot,\cdot\rangle\) gösterimi ilerleyen derslerde kuantum hesaplamadaki bra-ket notasyonuyla (\(\langle\psi|\phi\rangle\)) doğrudan örtüşeceği için bu derste tercih edilecektir.

Örnek: Adım Adım

\[ u= \begin{bmatrix} 2\\ -1\\ 4 \end{bmatrix}, \qquad v= \begin{bmatrix} 3\\ 5\\ -2 \end{bmatrix} \]

\[ \langle u,v\rangle = 2\cdot3+(-1)\cdot5+4\cdot(-2) \]

\[ = 6-5-8 = -7 \]

Sonuç:

\[ \langle u,v\rangle=-7 \]

Bu örnek, “aynı hizadaki bileşenleri çarp, sonra topla” kalıbının somut uygulamasıdır. \(u=\begin{bmatrix}2\\-1\\4\end{bmatrix}\) ve \(v=\begin{bmatrix}3\\5\\-2\end{bmatrix}\) için önce üç çarpım hesaplanır: \(2\cdot3=6\), \(-1\cdot5=-5\), \(4\cdot(-2)=-8\). Ardından bu üç sayı toplanır: \(6-5-8=-7\).

Sonucun negatif çıkması dikkat çekicidir — iç çarpımın işareti daha sonra göreceğimiz açı yorumuyla doğrudan ilişkilidir. Şimdilik yalnızca mekanik: her adımda bir çarpma, sonunda bir toplama.

Boyutlar Aynı Olmalı

Tanımlı:

\[ \left\langle \begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix} \right\rangle = 1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6 \]

Tanımlı değil:

\[ \left\langle \begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}4\\5\end{bmatrix} \right\rangle \]

Çünkü eşleşmeyen bileşen kalır.

Dikkat

İç çarpım için vektörlerin boyutları aynı olmalıdır.

İç çarpımın tanımı, her bileşenin karşı vektördeki kendi hizasındaki bileşenle eşleşmesine dayanır. Boyutlar farklıysa bir kısım bileşenin eşleneceği karşılık kalmaz; \(\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\) ile \(\begin{bmatrix}4\\5\end{bmatrix}\) çarpılmaya çalışıldığında üçüncü bileşen (\(3\)) eşsiz kalır ve işlem tanımsız olur.

Bu kısıt vektör toplamasındaki boyut uyumu kuralıyla aynı köktendir: her iki işlem de bileşen bazlı eşleşmeye dayanır, bu yüzden ikisi de yalnızca aynı boyutlu vektörler arasında tanımlıdır.

Kendisiyle İç Çarpım

\[ u= \begin{bmatrix} 3\\ 4 \end{bmatrix} \]

\[ \langle u,u\rangle = 3\cdot3+4\cdot4 = 9+16 = 25 \]

Bu değer uzunluğun karesidir:

\[ \|u\|^2=\langle u,u\rangle \]

Dolayısıyla:

\[ \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}=5 \]

Bir vektörü kendisiyle iç çarpınca ortaya çıkan sonuç, önceki derste gördüğümüz norm karesiyle tam olarak örtüşür. \(u=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\) için \(\langle u,u\rangle=3\cdot3+4\cdot4=9+16=25\) bulunur; bu da \(\|u\|^2=25\), yani \(\|u\|=5\) değerine karşılık gelir — önceki derste Pisagor’dan doğrudan hesapladığımız aynı sonuç.

Bu örtüşme rastlantı değildir: norm zaten \(\|u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+\cdots}\) olarak tanımlanmıştı, ve \(\langle u,u\rangle=u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2+\cdots=u_1^2+u_2^2+\cdots\) ifadesi tam olarak bu toplamdır. Bu ilişki, iç çarpımı yalnızca yeni bir işlem olarak değil, norm kavramının genellemesi olarak görmemizi sağlar.

Norm Karesi

Bir vektör:

\[ u= \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\ \vdots \\u_n \end{bmatrix} \]

Norm karesi:

\[ \|u\|^2 = \langle u,u\rangle = u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2 \]

Norm:

\[ \|u\| = \sqrt{u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2} \]

Norm karesi, vektörün kendisiyle iç çarpımının genel \(n\) boyutlu ifadesidir: \(\|u\|^2=\langle u,u\rangle=u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2\). Karekök alma işlemi bu toplamdan gerçek uzunluğu (\(\|u\|\)) çıkarır, ama karekök almadan önceki hâl — norm karesi — birçok kontrolde başlı başına yeterlidir.

Örneğin bir vektörün birim vektör olup olmadığını denetlerken \(\|u\|=1\) yerine \(\|u\|^2=1\) kontrolü yapılabilir; sonuç aynıdır ama karekök işlemi atlanmış olur. Bu kısayol, özellikle kesirli bileşenlerle çalışırken işlemi sadeleştirir.

Birim Vektör Kontrolü

Bir vektörün birim vektör olması:

\[ \|u\|=1 \]

Eşdeğer olarak:

\[ \langle u,u\rangle=1 \]

Örnek:

\[ u= \begin{bmatrix} \frac{3}{5}\\ \frac{4}{5} \end{bmatrix} \]

\[ \langle u,u\rangle = \left(\frac{3}{5}\right)^2+ \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}+\frac{16}{25} =1 \]

Bir vektörün birim vektör olması, normunun tam olarak \(1\) olması demektir; bu da kendisiyle iç çarpımının \(1\)’e eşit olmasına eşdeğerdir. Örnekte \(u=\begin{bmatrix}3/5\\4/5\end{bmatrix}\) için \(\langle u,u\rangle=(3/5)^2+(4/5)^2=9/25+16/25=25/25=1\) bulunur, dolayısıyla bu vektör birim vektördür.

Bu kontrol yöntemi, önceki derste norm karesiyle yapılan kontrolün iç çarpım diliyle yeniden ifadesidir: \(\|u\|=1 \Leftrightarrow \langle u,u\rangle=1\). İki ifade aynı bilgiyi taşır; iç çarpım gösterimi ilerleyen konularda ortogonallik ve normalize etme ile birlikte kullanıldığında daha pratik hale gelir.

Ortogonallik

İki vektörün iç çarpımı sıfırsa, bu vektörler ortogonaldir.

\[ \langle u,v\rangle=0 \]

İki boyutta bu genellikle “dik” anlamına gelir.

Örnek:

\[ u= \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}, \qquad v= \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} \]

\[ \langle u,v\rangle = 1\cdot0+0\cdot1 =0 \]

İki vektörün iç çarpımı sıfır çıkıyorsa, bu vektörlere ortogonal denir. İki ve üç boyutta ortogonallik doğrudan geometrik dikliğe karşılık gelir; ancak tanım cebirsel olduğu için dört, beş ya da daha yüksek boyutlu vektörler için de aynı şekilde çalışır — orada artık göz ile “dik” olduklarını göremesek de iç çarpımları sıfırsa ortogonaldirler.

Standart baz vektörleri bu fikrin en temiz örneğidir: \(u=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\) ve \(v=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\) için \(\langle u,v\rangle=1\cdot0+0\cdot1=0\) bulunur. Bu sonuç şaşırtıcı değildir çünkü \(e_1\) ve \(e_2\) zaten düzlemde birbirine dik eksenleri temsil ediyordu; iç çarpım bu geometrik gerçeği cebirsel olarak doğrular.

Başka Bir Ortogonal Çift

\[ u= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad v= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} \]

\[ \langle u,v\rangle = 1\cdot1+1\cdot(-1) = 1-1 =0 \]

Bu iki vektör ortogonaldir.

Normalize edilmiş halleri:

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \]

\(u=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\) ve \(v=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\) için \(\langle u,v\rangle=1\cdot1+1\cdot(-1)=1-1=0\) bulunur; bu iki vektör de standart baz vektörleri gibi eksenlere hizalı olmasa da ortogonaldir. Bu, ortogonalliğin yalnızca \(e_1\)-\(e_2\) gibi özel çiftlere değil, birbirine dik olan herhangi bir vektör çiftine uygulandığını gösterir.

Bu iki vektörün normu ise \(1\) değildir: \(\|u\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). Normalize etmek için her vektör kendi normuna bölünür, sonuçta \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\) ve \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\) elde edilir. Bu iki normalize vektör hem ortogonaldir hem de birim uzunluktadır — bu kombinasyona ortonormal çift denir ve ilerleyen konularda kuantum durumlarının temel bazlarını oluşturacaktır.

Normalize Etme

Birim olmayan bir vektörü birim hale getirebiliriz.

\[ u= \begin{bmatrix} 3\\ 4 \end{bmatrix}, \qquad \|u\|=5 \]

Normalize edilmiş vektör:

\[ \frac{1}{\|u\|}u = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5}\\ \frac{4}{5} \end{bmatrix} \]

Kontrol:

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2+ \left(\frac{4}{5}\right)^2=1 \]

Normalize etme, bir vektörü kendi normuna bölerek uzunluğunu \(1\)’e indirgeme işlemidir; yön değişmez, yalnızca ölçek değişir. \(u=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\) için \(\|u\|=5\) olduğundan, normalize edilmiş vektör \(\frac{1}{5}\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3/5\\4/5\end{bmatrix}\) olur.

Bunun neden bir birim vektör olduğu doğrudan kontrol edilebilir: \((3/5)^2+(4/5)^2=9/25+16/25=1\). Bu işlem daha önceki bir dersteki “her vektör, skalerle çarpılarak istenen uzunluğa ölçeklenebilir” fikrinin özel bir uygulamasıdır — burada seçilen skaler \(1/\|u\|\)’dir ve sonuç her zaman birim vektör olur.

İç Çarpımın Geometrik Yorumu

İki boyutta:

\[ \langle u,v\rangle = \|u\|\|v\|\cos\theta \]

Burada \(\theta\), iki vektör arasındaki açıdır.

Sonuçlar:

• \(\langle u,v\rangle>0\): açı dar
• \(\langle u,v\rangle=0\): açı dik
• \(\langle u,v\rangle<0\): açı geniş

İki boyutta iç çarpım, iki vektörün normları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir: \(\langle u,v\rangle=\|u\|\|v\|\cos\theta\). Bu formül, iç çarpımın işaretinin neden açı hakkında bilgi taşıdığını açıklar: \(\cos\theta\) dar açılarda (\(\theta<90°\)) pozitif, dik açıda (\(\theta=90°\)) sıfır, geniş açılarda (\(\theta>90°\)) negatiftir; normlar ise her zaman pozitif olduğundan işaret tamamen \(\cos\theta\)’dan gelir.

Bu ilişki, ortogonalliğin neden iç çarpımın sıfır olmasıyla tanımlandığını da netleştirir: \(\theta=90°\) olduğunda \(\cos\theta=0\) olur ve formül otomatik olarak \(\langle u,v\rangle=0\) verir. Böylece daha önce cebirsel olarak tanımladığımız ortogonallik, burada geometrik açıklamasına kavuşur.

Projeksiyon Fikri

İç çarpım, bir vektörün başka bir yöndeki bileşenini ölçmek için kullanılır.

Birim vektör \(e\) yönünde:

\[ \text{u'nun e yönündeki skaler bileşeni} = \langle u,e\rangle \]

Örnek:

\[ u= \begin{bmatrix} 3\\ 4 \end{bmatrix}, \qquad e_1= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \]

\[ \langle u,e_1\rangle = 3\cdot1+4\cdot0 =3 \]

İç çarpımın bir başka kullanımı, bir vektörün belirli bir yöndeki bileşenini ölçmektir. \(u\) vektörünün birim vektör \(e\) yönündeki skaler bileşeni \(\langle u,e\rangle\) olarak tanımlanır; bu değer, \(u\)’nun \(e\) doğrultusunda ne kadar “ilerlediğini” ölçer.

Örnekte \(u=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\) ve \(e_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\) için \(\langle u,e_1\rangle=3\cdot1+4\cdot0=3\) bulunur — bu, \(u\)’nun yatay eksendeki bileşeninin zaten \(3\) olduğu gerçeğiyle örtüşür. Yani iç çarpım burada yeni bir sonuç üretmiyor, önceden bildiğimiz bileşen değerini genel bir formülle yeniden elde ediyor; bu formülün gücü, \(e\) eksenlere hizalı olmadığında da aynı mantıkla çalışmasıdır.

Mini Kontrol

Hangi çiftler ortogonaldir?

\[ a= \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}, \quad b= \begin{bmatrix} 1\\-2 \end{bmatrix} \]

\[ c= \begin{bmatrix} 3\\4 \end{bmatrix}, \quad d= \begin{bmatrix} 4\\3 \end{bmatrix} \]

Kontrol:

\[ \langle a,b\rangle=2\cdot1+1\cdot(-2)=0 \]

\[ \langle c,d\rangle=3\cdot4+4\cdot3=24 \]

\(a=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\) ve \(b=\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}\) için \(\langle a,b\rangle=2\cdot1+1\cdot(-2)=2-2=0\) bulunur; bu iki vektör ortogonaldir. Buna karşılık \(c=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\) ve \(d=\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}\) için \(\langle c,d\rangle=3\cdot4+4\cdot3=12+12=24\) çıkar, sıfırdan uzak olduğu için bu çift ortogonal değildir.

Bu iki sonuç arasındaki fark, bileşenlerin yalnızca aynı sayıları içermesinin ortogonallik için yeterli olmadığını gösterir: \(c\) ve \(d\) de \(a\) ve \(b\) gibi birbirinin bileşenleri yer değiştirilmiş hâli olsa da, işaret farkı olmadığı için iç çarpımları sıfırlanmaz.

Özet

1. İç çarpım, iki vektörden bir sayı üretir
2. Aynı konumdaki bileşenler çarpılır ve sonuçlar toplanır
3. \(\langle u,u\rangle=\|u\|^2\)
4. Birim vektör için \(\langle u,u\rangle=1\)
5. İç çarpımı sıfır olan vektörler ortogonaldir
6. Normalize etme, vektörün yönünü koruyup uzunluğunu 1 yapar

Bu bölümde iki vektörden tek bir sayı üreten iç çarpım işlemini kurduk: aynı konumdaki bileşenleri çarpıp topladık. Bu tek işlemden üç önemli kavram türedi — bir vektörün kendisiyle iç çarpımı norm karesini verdi, iç çarpımın sıfır olması ortogonalliği (dikliği) tanımladı, ve normla bölme normalize etme işlemini oluşturdu. Son olarak \(\langle u,v\rangle=\|u\|\|v\|\cos\theta\) formülüyle iç çarpımın işaretinin açı hakkında bilgi taşıdığını gördük.

Sonraki derse köprü: Vektörler üzerinde işlem yapan yapılar matrislerdir. Bir matrisin bir vektörle çarpımında, matrisin her satırı vektörle ayrı ayrı iç çarpım yapar; yani matris-vektör çarpımı, burada kurduğumuz iç çarpım fikrinin satır satır tekrarlanmasıdır.