İki Qubit ve Phase Kickback

QBronze — S13

Öğr. Gör. Oktay Cesur

2026-01-01

Geçen Konudan Köprü

• Tek qubit: amplitude, ölçüm, dönme, yansıma
• Bileşik klasik sistemler: tensor çarpımı, korelasyon
• Şimdi: iki qubitli sistemler ve dolanıklık

Tek qubit dilini kuantum sistemlere taşıdık. Şimdi iki qubitli sistemlere geçiyoruz. Klasik iki bit konusundaki tensor çarpımı ve korelasyon kavramları burada da geçerli ama yeni bir olgu giriyor: kuantum dolanıklık.

İki Qubitin Dört Temel Durumu

\[ |00\rangle, \quad |01\rangle, \quad |10\rangle, \quad |11\rangle \]

\[ |00\rangle = |0\rangle \otimes |0\rangle = \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}, \quad |01\rangle = |0\rangle \otimes |1\rangle = \begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix} \]

\[ |10\rangle = |1\rangle \otimes |0\rangle = \begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}, \quad |11\rangle = |1\rangle \otimes |1\rangle = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix} \]

İki qubitli sistemin durum uzayı dört boyutlu. Temel durumlar iki qubitin tensor çarpımı.

Notasyon: \(|ab\rangle\) ilk karakter birinci qubit, ikinci karakter ikinci qubit. \(|10\rangle\): birinci qubit 1, ikinci qubit 0.

Tensor çarpımı hesabı: \([a_1, a_2]^T \otimes [b_1, b_2]^T = [a_1 b_1, a_1 b_2, a_2 b_1, a_2 b_2]^T\).

İki Qubitte Genel Durum

Genel iki-qubit durumu:

\[ |\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle \]

Koşul: \(|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2 + |\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2 = 1\)

Ölçüm sonucu \(|xy\rangle\): \(Pr(xy) = |\alpha_{xy}|^2\)

Note

Tablo eklenecek: dört temel durum, amplitüdleri ve ölçüm olasılıkları örneği.

Dört amplitüd, dört olasılık. Norm koşulu dört amplitüdün karelerinin toplamına genişliyor.

Ölçüm iki sonuç verebilir: ya iki qubit birden ölçülür (dört olası çıktı) ya da bir qubit ölçülür (diğeri süperpozisyonda kalabilir, collapse kısmı). Şimdilik tüm sistemi bir arada ölçüyoruz.

CNOT Kapısı

Controlled-NOT: kontrol qubit 1 ise hedef qubit tersine çevriliyor.

\[ CNOT = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix} \]

Giriş	Çıkış
\(\|00\rangle\)	\(\|00\rangle\)
\(\|01\rangle\)	\(\|01\rangle\)
\(\|10\rangle\)	\(\|11\rangle\)
\(\|11\rangle\)	\(\|10\rangle\)

qc.cx(q[0], q[1])  # q[0] kontrol, q[1] hedef

CNOT tablosunu okuyalım. Giriş 00 ve 01: kontrol qubit=0, hedef değişmez. Giriş 10: kontrol=1, hedef 0→1 (00→11 oldu değil — 10→11: kontrol=1, hedef=0→1). Giriş 11: kontrol=1, hedef 1→0 (11→10).

CNOT tersinir bir kapı: CNOT’u iki kez uygulamak başa döndürüyor. Bu beklenen — kuantum kapıları tersinir olmalı.

Qiskit’te qc.cx(q[0], q[1]): birinci argüman kontrol, ikinci hedef.

Bell Durumu — Dolanıklık

\(H\) + CNOT ile Bell durumu üretmek:

qc.h(q[0])   # birinci qubit süperpozisyona
qc.cx(q[0], q[1])  # CNOT

Hesap: \[ |00\rangle \xrightarrow{H\otimes I} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle) \xrightarrow{CNOT} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle) \]

Sonuç: \(|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)\) — Bell durumu

Bu hesap iki adım:

Adım 1 — \(H \otimes I\): sadece birinci qubit’e H uyguluyoruz. \(H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\). İkinci qubit değişmez: \(|0\rangle\). Tensor çarpımı: \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |10\rangle)\).

Adım 2 — CNOT: \(|00\rangle \to |00\rangle\) (kontrol=0, hedef değişmez). \(|10\rangle \to |11\rangle\) (kontrol=1, hedef 0→1). Sonuç: \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)\).

Bu Bell durumu dolanık: tensor çarpımı olarak yazılamıyor. \(|00\rangle + |11\rangle\): ya ikisi de 0 ya ikisi de 1 — birbiriyle korelasyonlu. Birini ölçünce diğerinin durumu belirleniyor.

Phase Kickback Mekanizması

\(H|1\rangle = |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)\) durumunu hedef alarak CNOT:

\[ CNOT \cdot |0\rangle \otimes |-\rangle = CNOT \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |01\rangle) \]

\[ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |01\rangle) \xrightarrow{\text{kontrol=0, değişmez}} \]

Kontrol qubit \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\) iken:

\[ |+\rangle \otimes |-\rangle \xrightarrow{CNOT} |-\rangle \otimes |-\rangle \]

Faz kontrole “tepti”!

Phase kickback CNOT kapısının çarpıcı bir özelliği. Hedef qubit \(|-\rangle\) durumundayken CNOT uygulamak, hedefi değiştirmiyor ama kontrolün fazını değiştiriyor.

Mekanizma: \(CNOT|+\rangle|-\rangle = |-\rangle|-\rangle\). Kontrol \(|+\rangle \to |-\rangle\) oldu — yani \(Z\) uygulanmış gibi davrandı. Ama hedefte Z uygulanmadı.

Bu mekanizma Grover algoritmasında oracle’ın işleyişinde kritik rol oynuyor. Oracle hedef bit üzerinden fazı geri tepiyor — kontrol qubitinin fazını işaretliyor. Bu, arama probleminde “işaretleme” mekanizması.

Dikkat — Karıştırılabilecek Noktalar

\(|ab\rangle\): birinci karakter birinci qubit
\(|10\rangle\): birinci qubit=1, ikinci qubit=0. Sıra önemli.

CNOT’ta kontrol değişmiyor (genellikle)
CNOT standart durumda kontrol qubit korunur. Phase kickback istisnai bir durum.

Bell durumu tensor çarpımıyla yazılamaz
\(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle) \neq u_1 \otimes u_2\) hiçbir \(u_1, u_2\) için. Bu dolanıklığın tanımı.

Özet

1. İki qubitli sistem: dört temel durum, dört boyutlu uzay
2. CNOT: kontrol 1 ise hedefi çevir — iki qubitli tersinir kapı
3. Bell durumu: \(H + CNOT\) ile üretilir, tensor çarpımı olarak yazılamaz
4. Dolanıklık: iki qubit bağımsız değil, ölçüm sonuçları korelasyonlu
5. Phase kickback: hedef \(|-\rangle\) iken CNOT, faz kontrole “tepiyor”

Bu konu dolanıklık kavramını net ortaya koydu. Sonraki konuda (superdense coding) bu Bell durumunu protokolün kaynağı olarak kullanacağız. Phase kickback ise Grover algoritmasında oracle mekanizmasının temeli.

Sonraki konu: superdense coding — Bell durumu ile iki bit taşımak.