Olasılıksal Operatör

QBronze — S03

Öğr. Gör. Oktay Cesur

2026-01-01

Geçen Konudan Köprü

• Probabilistic state: sütun vektörü, toplam=1, negatif olmayan
• GameCoins tablo: başlangıca bağlı dağılım
• Bu konu: tabloyu matrise, hesabı \(v' = Av\) formülüne dönüştürmek

GameCoins’in tablosunu elimizde tutuyoruz. Ama “tabloya bakıp elle hesapla” yerine, bu tabloyu doğrudan bir matrise çevirip matris-vektör çarpımıyla yeni durumu bulmak istiyoruz. Bu, sistemleri ölçeklenebilir şekilde temsil etmenin yolu.

GameCoins’ten Matrise

Tablo gösterimi:

\[ GameCoins = \begin{array}{c|cc} \hookleftarrow & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \hline \mathbf{0} & 0.6 & 0.3 \\ \mathbf{1} & 0.4 & 0.7 \end{array} \]

Matris biçimi:

\[ A = \begin{bmatrix} 0.6 & 0.3 \\ 0.4 & 0.7 \end{bmatrix} \]

• Tablonun girişleri doğrudan matris girdisi olur
• Sütun = başlangıç durumu → matrisin sütunlarına karşılık gelir

Tablodan matrise geçiş mekanik: tablo girdilerini matris girdisi olarak al. Birinci sütun (başlangıç=0): [0.6, 0.4]. İkinci sütun (başlangıç=1): [0.3, 0.7]. Bu iki sütun yan yana geliyor → 2×2 matris.

Bu geçiş neden önemli? Çünkü matris-vektör çarpımı tanımlı bir işlem. Artık “tabloya bakarak elle hesapla” yapmak yerine standart lineer cebir araçları kullanabiliriz.

Sütun toplamları matrise de taşınıyor: birinci sütun toplamı 0.6+0.4=1, ikinci sütun toplamı 0.3+0.7=1.

İlk Evrim: \(v' = A v\)

Başlangıç durumu \(v_0 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\) (kesin Head):

\[ v_1 = \begin{bmatrix} 0.6 & 0.3 \\ 0.4 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \cdot 1 + 0.3 \cdot 0 \\ 0.4 \cdot 1 + 0.7 \cdot 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix} \]

• One euro ile başlanıldı → bir tur sonra Pr(Head)=0.6

Matris-vektör çarpımını adım adım gösterelim. İlk bileşen: matrisin birinci satırı [0.6, 0.3] ile vektör [1, 0]’ın iç çarpımı = 0.6×1 + 0.3×0 = 0.6. İkinci bileşen: [0.4, 0.7] ile [1, 0] iç çarpımı = 0.4×1 + 0.7×0 = 0.4. Sonuç [0.6, 0.4].

Bu [0.6, 0.4] tam olarak one euro (Head) ile başlanıldığında beklediğimiz dağılım — BiasedCoin’in bias’ı 0.6/0.4.

Önemli: başlangıç vektörü deterministik ([1, 0]), sonuç vektörü olasılıksal ([0.6, 0.4]). Tek bir matris-vektör çarpımı bu geçişi yapıyor.

İkinci Evrim: Genel Durumdan Evrim

Başlangıç deterministik olmak zorunda değil. \(v_1 = \begin{bmatrix}0.8\\0.2\end{bmatrix}\) iken:

\[ v_2 = \begin{bmatrix} 0.6 & 0.3 \\ 0.4 & 0.7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.8 \\ 0.2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \cdot 0.8 + 0.3 \cdot 0.2 \\ 0.4 \cdot 0.8 + 0.7 \cdot 0.2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.54 \\ 0.46 \end{bmatrix} \]

• Operatör yalnızca kesin durumlar için değil, her probabilistic state için çalışır

Bu örnek kritik bir kavramsal noktayı pekiştiriyor: \(A\) operatörünü deterministik durumlara değil, genel probabilistic state’lere de uygulayabiliriz. [0.8, 0.2] olasılıksal bir başlangıç — bit 0.8 olasılıkla 0, 0.2 olasılıkla 1.

Hesap aynı mekanizma: satır × sütun iç çarpımı. Sonuç [0.54, 0.46] de geçerli bir probabilistic state: 0.54+0.46=1, her ikisi de ≥0.

Bu genellik, olasılıksal sistemlerin temel özelliği. Operatör, giriş bir baz vektör bile olsa, genel bir dağılım üzerinde de çalışıyor.

Stochastic Matrix — Formal Tanım

Bir stochastic matrix (olasılıksal operatör):

• Kare matris
• Tüm girişler \(\geq 0\)
• Her sütunun toplamı \(= 1\)

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \qquad a_{ij} \geq 0, \quad a_{1j} + a_{2j} = 1 \; \forall j \]

Stochastic matrix × stochastic vector = stochastic vector

Formal tanım: sütun toplamları 1 olan negatif olmayan kare matris. Dikkat: satır toplamları 1 değil, sütun toplamları. (Bu, “sütun stochastic matrix” adını da alır. Kimi kaynaklarda “satır stochastic matrix” görebilirsiniz — buradaki anlatımda sütun toplamları 1 olan versiyon kullanılıyor.)

Neden sütun toplamları 1? Çünkü bir başlangıç durumundan sistemin bir yere gitmesi gerekiyor, ve tüm olası geçiş olasılıklarının toplamı 1 olmalı.

“Stochastic matrix × stochastic vector = stochastic vector” ifadesi önemli. Bu, operatörün geçerli probabilistic state’i geçerli bir başka probabilistic state’e götürdüğünü garanti ediyor. Sistem tutarlı kalıyor.

Ana Formül

\[ \boxed{v' = A v} \]

• \(v\): şimdiki probabilistic state (sütun vektörü)
• \(A\): stochastic matrix (olasılıksal operatör)
• \(v'\): bir adım sonraki probabilistic state

Sistem evrimi = matris-vektör çarpımı

Bu formül tüm klasik olasılıksal lineer sistem dilini tek satırda topluyor: - Durum = vektör - İşlem = matris - Evrim = matris-vektör çarpımı

Bu yapı ilerleyen konularda kuantum sistemlere taşınacak. Tek fark: kuantum sistemlerde vektör bileşenleri olasılık değil amplitude (genlik) olacak, matris stochastic değil unitary olacak. Ama formül aynı: yeni durum = matris × eski durum.

Bu soyut yapıyı yerleştirmek, kuantum hesaplama matrislerini “nereden geldi?” sorgulamadan okumayı sağlıyor.

Art Arda Evrim

Aynı operatörü \(k\) kez uygulamak:

\[ v_k = A^k v_0 \]

Adım	Başlangıç \(v_0 = [1, 0]\)
\(v_0\)	\([1.000,\ 0.000]\)
\(v_1\)	\([0.600,\ 0.400]\)
\(v_2\)	\([0.480,\ 0.520]\)
\(v_3\)	\([0.444,\ 0.556]\)
\(v_{10}\)	\(\approx [0.429,\ 0.571]\)
\(v_\infty\)	\([0.429,\ 0.571]\)

• Sistem uzun vadede başlangıçtan bağımsız bir dağılıma yakınsıyor

Bu tablo önemli bir gözlemi gösteriyor: art arda aynı operatörü uygulamak, sistemi belli bir “limit dağılım”a götürüyor. Bu dağılım, başlangıç durumundan bağımsız.

GameCoins için bu limit dağılım \([3/7, 4/7] \approx [0.429, 0.571]\). Neden? \(A v^* = v^*\) denkleminin çözümü bu. Sistemi “sabit noktası” — bir kez bu noktaya ulaşıldığında operatör uygulamak durumu değiştirmiyor.

Bu Markov zinciri kavramıyla bağlantılı ama burada adı verilmeden, hesap üzerinden sezdirildi. Öğrencilerin görmesi gereken: bazı sistemler uzun vadede düzene giriyor.

Dikkat — Karıştırılabilecek Noktalar

Satır toplamı değil, sütun toplamı = 1
Stochastic matrix tanımında sütun toplamları 1. Satır toplamları rastgele olabilir.

\(v' = Av\) hesabında satır × sütun sırası
\(A\) solda, \(v\) sağda. Yer değiştirilemez: \(Av \neq vA\) (matris çarpımı genel olarak değişmeli değil).

Tablo ile matris aynı yapıda
Tablodaki her sütun, matrisin ilgili sütunu. Geçiş şöyle: tablodaki \((i, j)\) girişi, matrisin \(i\). satırı \(j\). sütunundaki girişidir.

Özet

1. Stochastic matrix: sütun toplamları 1, tüm girişler ≥0
2. Evrim formülü: \(v' = Av\)
3. Operatör yalnızca deterministik değil, her probabilistic state’e uygulanabilir
4. Art arda evrimde sistem bir limit dağılıma yakınsayabilir
5. Bu dil kuantum sistemlerin lineer cebir altyapısına köprü

Üç konuluk klasik sistemler bloğu burada tamamlandı (Bit, Olasılıksal Durum, Olasılıksal Operatör). Bir sonraki adım iki konuda: iki bitten oluşan sistemler ve Qiskit girişi. İki bit konusunda tensor çarpımı kavramı ortaya çıkacak — bu, ilerideki iki qubit ve dolanıklık konusunun doğrudan tabanı.

Sonraki konu: iki probabilistic bit, tensor çarpımı ve bağımsız sistemlerin birleşimi.