Tek Qubit Operatörleri — Dönmeler

QBronze — S11

Öğr. Gör. Oktay Cesur

2026-01-01

Geçen Konudan Köprü

• Süperpozisyon, girişim, ölçüm
• Quantum state → birim çemberde bir vektör
• Şimdi: operatörleri birim çember üzerindeki hareket olarak okumak

Birim çember modeli artık operatörleri görselleştirmek için kullanılıyor. Bir operatör, çemberdeki bir vektörü başka bir vektöre taşıyan bir harekete karşılık geliyor. Dönme = belirli bir açı kadar döndürmek.

Birim Çember Üzerinde İşlem

Quantum state \(|v\rangle = (\cos\theta, \sin\theta)^T\) bir noktayı temsil ediyor.

Bir operatör: - \(|0\rangle = (1,0)\)’ı \(|+\rangle = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})\)’ye götürmüşse - Aynı operatörü \(|+\rangle\)’a uygularsak nereye gideriz?

Bu soru, operatörün birim çember üzerindeki hareketi sistematik hale getiriyor.

Note

Görsel eklenecek: birim çemberde |0⟩ → |+⟩ geçişi, ardından |+⟩ → ? sorusu.

Q40 notebook’u tam bu soruyla başlıyor. Belirli bir başlangıç ve bitiş bilinen operatörü inşa etmek, operatörleri hareket olarak anlamayı gerektiriyor.

İki senaryo veriliyor: (1) \(|0\rangle \to |+\rangle\) ve (2) \(|1\rangle \to |-\rangle\). Her ikisi de 45° dönme. Bunu fark ettikten sonra dönme operatörü tanımlanabilir.

Keyfi State Hazırlama

Bilinmeyen herhangi bir \(\theta\) açısındaki state’e ulaşmak:

\[ \begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix} = R(\theta)|0\rangle \]

Başlangıç hep \(|0\rangle\) — hedef \(\theta\) açısındaki state.

ry kapısı bu dönmeyi gerçekleştiriyor:

qc.ry(2*theta, q[0])  # Qiskit'te açı parametresi 2θ

Note

Görsel eklenecek: |0⟩’dan θ açısındaki state’e birim çember üzerinde dönme yayı.

ry kapısının Qiskit’te \(2\theta\) almasının nedeni: tam Bloch küresi formalizminde \(ry(\varphi)\) kapısı \(\varphi/2\) açılı dönmeye karşılık geliyor. Gerçek-değerli qubit modelinde bu \(\theta\) ile eşleşmek için \(2\theta\) gönderilmesi gerekiyor.

Pratikte öğrencinin bilmesi gereken: “istenen state \(\theta\) açısında ise Qiskit’te \(2\theta\) yaz”. Bu detay kafa karıştırabilir — dikkat.

Keyfi state hazırlama Grover algoritmasında önemli: algoritma başında tüm olası durumların süperpozisyonunu hazırlamak gerekiyor. Bu ry zinciriyle (veya Hadamard ile) yapılıyor.

Dönme Operatörü Matrisi

\[ R(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix} \]

Etkisi:

\[ R(\theta)\begin{bmatrix}\cos\phi\\\sin\phi\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos(\phi+\theta)\\\sin(\phi+\theta)\end{bmatrix} \]

• Açıyı \(\theta\) kadar artırıyor — birim çemberde saat tersi yönde dönme

Dönme matrisi standart bir lineer cebir objesi. \(R(\theta)\) açıyı \(\theta\) artırıyor. \(R(\theta_1) \cdot R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)\) — açılar toplanıyor.

Özellikleri: - \(R(0) = I\) (sıfır dönme = Identity) - \(R(-\theta) = R(\theta)^{-1}\) (tersi, ters yönde dönme) - \(R(360°) = R(0°) = I\) (tam tur, başa dönüş) - Determinant = 1, unitary ✓

Bu matrisin özel bir önemi var: quantum operatörlerin unitary olma zorunluluğunu görsel olarak karşılıyor. Birim çemberdeki nokta yeni bir birim çember noktasına gidiyor — norm korunuyor.

Dönme Özellikleri

Özellik	İfade
Kimlik	\(R(0) = I\)
Ters	\(R(\theta)^{-1} = R(-\theta)\)
Bileşim	\(R(\theta_1) R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)\)
Norm korunumu	\(\|R(\theta)|\psi\rangle\| = \||\psi\rangle\|\)

Hadamard dönme mi? Hayır — Hadamard yansıma kategorisinde (sonraki konu).

Bu tablo dönme operatörünün cebirsel özelliklerini özetliyor. Bileşim özelliği özellikle kullanışlı: art arda iki dönme, tek büyük dönmeye eşdeğer.

Hadamard dönme değil — bu sık bir hata. Hadamard \(H^2 = I\) sağlıyor (kendi tersi kendisi). Dönmede \(R(\theta)^{-1} = R(-\theta)\), sadece \(\theta = 180°\) için \(R(180°)^{-1} = R(-180°) = R(180°)\) olur. Ama Hadamard başka özelliklere sahip — aslında yansıma kategorisinde.

Dikkat — Karıştırılabilecek Noktalar

ry parametresi: Qiskit’te \(2\theta\), formülde \(\theta\)
Birim çember modelinde \(\theta\) açı, Qiskit’e \(2\theta\) gönderilir. Dikkat.

\(R(\theta)\)’nın normu koruması ≠ “state değişmedi”
Norm 1’de kalıyor ama vektörün yönü değişiyor. Norm korunumu = geçerli state → geçerli state.

Dönme ile yansıma karıştırılmamalı
\(R(\theta)^2 = R(2\theta) \neq I\) (genel \(\theta\) için). Yansıma ise her zaman \(F^2 = I\).

Qiskit ile State Hazırlama

import numpy as np
from qiskit import QuantumRegister, ClassicalRegister, QuantumCircuit
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit.quantum_info import Statevector

theta = np.pi / 3  # 60°

q = QuantumRegister(1)
qc = QuantumCircuit(q)
qc.ry(2 * theta, q[0])  # θ açısındaki state'e git

sv = Statevector(qc)
print(sv)  # [cos(θ), sin(θ)]

• Statevector simülatörü ölçüm yapmadan state’i veriyor
• Ölçüm ile AerSimulator → olasılıksal sonuç

Statevector simülatörü ölçüm olmadan quantum state’i döndürüyor. Bu, araştırma ve doğrulama için kullanışlı — gerçek kuantum bilgisayarda bunu yapamazsınız, ama simülatörde eğitim amaçlı kullanılıyor.

AerSimulator ise ölçümlü devrelerle kullanılıyor. Sonuç rastgele shots — ölçüm olasılıklarını gözlemleyebilirsiniz.

Egzersiz: ry ile \(\theta = 0, 45°, 90°\) deneyin. Ölçüm sonuçlarının nasıl değiştiğini gözlemleyin.

Özet

1. Gerçek-değerli qubit operatörleri birim çember üzerinde hareket
2. Dönme \(R(\theta)\): açıyı \(\theta\) kadar artırır
3. ry kapısı: Qiskit’te dönme operatörü (\(2\theta\) parametresi dikkat)
4. Dönme unitary: normu koruyor, geçerli state → geçerli state
5. Açılar toplandığı için art arda dönme bileşim kolaylaştırıyor

Dönme operatörleri birim çember geometrisiyle tamamen örtüşüyor. Sonraki konuda yansıma operatörlerini göreceğiz. Hadamard yansıma sınıfında — bu onu özel kılıyor: \(H^2=I\), yani iki kez uygulamak geri döndürüyor.

Sonraki konu: yansıma operatörleri ve Hadamard’ın yansıma olarak okunması.