Tek Qubit

QBronze — S08

Öğr. Gör. Oktay Cesur

2026-01-01

Geçen Konudan Köprü

• Hadamard: negatif genlik → girişim → \(HH = I\)
• İlk Qiskit deneyimi: x-gate, ölçüm, AerSimulator
• Şimdi: qubitin formal tanımı ve amplitude kavramı

Hadamard kapısını gördük, Qiskit’te devreleri yazdık. Şimdi bu operatörlerin üzerinde çalıştığı nesneyi — qubit’i — daha sistematik tanımlıyoruz. Amplitüd nedir? Ket notasyonu ne anlama geliyor? Geçerli quantum state hangi koşulu sağlamalı?

Qubitin İki Temel Durumu

\[ |0\rangle = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \qquad |1\rangle = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} \]

• \(|\cdot\rangle\) : ket notasyonu — sütun vektörü için Dirac gösterimi
• \(|0\rangle\) ve \(|1\rangle\) birim uzunluklu ortogonal vektörler
• Klasik bitin kuantum analogu

Ket notasyonu Dirac’ın 1939’da önerdiği gösterim. “\(|0\rangle\)” okunuşu: “ket sıfır”. Matematiksel anlamı: sütun vektörü \((1, 0)^T\).

Kuantum sistemler lineer sistemler: durumlar vektörle, operatörler matrislerle temsil ediliyor. Bu, olasılıksal sistemlerin dilinin birebir devamı — tek fark bileşenlerin özellikleri.

Klasik bit ile karşılaştırın: klasik 0 durumu \([1, 0]\) ile, klasik 1 durumu \([0, 1]\) ile temsil ediliyor. Qubit de aynı temel durumlara sahip ama bunların süperpozisyonuna izin veriyor.

X Operatörü — Kuantum NOT

\[ X = \begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix} \]

Etkisi:

\[ X|0\rangle = \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = |1\rangle \qquad X|1\rangle = |0\rangle \]

• Klasik NOT’un kuantum karşılığı
• Tersinir: \(X^2 = I\)

X kapısını “x-gate” olarak da biliyoruz — Qiskit’te qc.x(q[0]) ile uygulanıyor. Matris çarpımını elle göstermek öğrencilerin vektör-matris dilini yerleştirmesine yardımcı oluyor.

Neden “X” adı? Bloch küresi geometrisinde X kapısı, qubitin \(x\) ekseni etrafında \(180°\) döndürülmesine karşılık geliyor. Bu açıklama şimdi önemli değil ama terminolojinin kaynağı bu.

\(X^2 = I\) ilişkisi tersinirliğin doğal sonucu: X’i iki kez uygulamak başa döndürüyor. Klasik NOT gibi.

Hadamard Matrisini Hatırlayalım

\[ H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{bmatrix} \]

\[ H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \qquad H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \]

Bu iki özel duruma isim veriyoruz:

\[ |+\rangle = H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) \qquad |-\rangle = H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle) \]

\(|+\rangle\) ve \(|-\rangle\) isimleri standart notasyon. Sonraki konularda çok sık karşılaşacağız — özellikle phase kickback ve Grover algoritmalarında.

\(|+\rangle\): iki temel durumun eşit ağırlıklı, aynı işaretli süperpozisyonu. \(|-\rangle\): eşit ağırlıklı ama \(|1\rangle\) bileşeninin işareti eksi.

Bu iki durumun ölçüm olasılıkları aynı: her ikisinde de %50/%50. Ama kuantum bilgi içerikleri farklı — faz bilgisi farklı. Bu fark ilerleyen konularda girişim ve phase kickback hesaplarında belirleyici oluyor.

Amplitude Kavramı

Quantum state’in bir duruma karşılık gelen bileşenine amplitude denir.

\[ |\psi\rangle = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}: \quad a = |0\rangle \text{ amplitüdü}, \quad b = |1\rangle \text{ amplitüdü} \]

Ölçüm olasılığı = amplitüdün karesi:

\[ Pr(0) = a^2, \qquad Pr(1) = b^2 \]

Amplitüd negatif olabilir; olasılık her zaman ≥ 0:

\[ a = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow Pr = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \]

“Amplitude” ve “olasılık” kavramları karıştırılmamalı. Olasılıksal sistemde sütun vektörünün bileşenleri doğrudan olasılıktı — negatif olamazlardı. Quantum state’de bileşenler amplitude; bunlar negatif (hatta kompleks) olabilir. Ölçüm olasılığını almak için kare alıyoruz.

Neden kare? Kuantum mekaniğinin Born kuralı: \(Pr(i) = |\langle i | \psi \rangle|^2\). Gerçek sayılı durumda bu \(a_i^2\).

Pratik sonuç: iki farklı işaretli amplitude, aynı ölçüm olasılığı verebilir. \(1/\sqrt{2}\) ve \(-1/\sqrt{2}\): ölçüm olasılıkları aynı (\(1/2\)). Ama gelecekteki bir kapı uygulamasında işaret farkı girişim yaratabilir.

Geçerli Quantum State Koşulu

\[ |\psi\rangle = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} \text{ geçerli} \iff a^2 + b^2 = 1 \]

Eşdeğer ifadeler: - Vektörün normu 1 olmalı: \(\||\psi\rangle\| = 1\) - \(\langle\psi|\psi\rangle = 1\)

Geçersiz örnekler:

\[ \begin{bmatrix}1/2\\1/2\end{bmatrix}: \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \neq 1 \qquad \begin{bmatrix}\sqrt{3}/2\\1/\sqrt{2}\end{bmatrix}: \frac{3}{4}+\frac{1}{2} = \frac{5}{4} \neq 1 \]

Norm koşulu: \(a^2 + b^2 = 1\). Bu, tüm olasılıkların toplamının 1 olması zorunluluğundan geliyor. Ölçüm sonucu 0 veya 1 çıkmalı; toplam olasılık \(a^2 + b^2 = 1\) olmalı.

İlk geçersiz örnek: \([1/2, 1/2]\). Bu olasılıksal sistemde geçerli bir durum olurdu (toplam 1). Ama quantum state dilinde bu bir amplitude vektörü. \((1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/2 \neq 1\). Geçersiz.

İkinci örnek: \([\sqrt{3}/2, 1/\sqrt{2}]\). Kare toplamı \(3/4 + 1/2 = 5/4 \neq 1\). Geçersiz.

Sık karışıklık: “\([1/2, 1/2]\)’nin toplamı 1, neden geçersiz?” Çünkü quantum state’de kareler toplanıyor, bileşenler değil.

Dikkat — Karıştırılabilecek Noktalar

Amplitude ≠ olasılık
\(a = -3/5\) geçerli amplitude. \(Pr(0) = (3/5)^2 = 9/25\).

Norm koşulu: kareler toplamı = 1, bileşenler toplamı değil
\([0.6, 0.8]\) geçerli quantum state: \(0.36+0.64=1\). \([0.5, 0.5]\) geçersiz: \(0.25+0.25=0.5\).

\(|+\rangle\) ile \(|-\rangle\) ölçümde aynı görünür
Her ikisi de %50/%50 ölçüm olasılığı verir. Ama ikinci bir kapı uygulandığında faz farkı belirleyici olur.

Özet

1. Qubitin iki temel durumu: \(|0\rangle = [1,0]^T\), \(|1\rangle = [0,1]^T\)
2. X kapısı: \(X|0\rangle = |1\rangle\), \(X|1\rangle = |0\rangle\) — kuantum NOT
3. Amplitude: quantum state’in bileşeni; negatif olabilir
4. Ölçüm olasılığı: amplitüdün karesi
5. Geçerli quantum state: \(a^2 + b^2 = 1\) (norm = 1)
6. \(|+\rangle = H|0\rangle\), \(|-\rangle = H|1\rangle\) — ileride çok kullanılacak

Bu sunum quantum state dilinin temelini kuruyor. Sonraki konuda (Q32) bu state’leri birim çember üzerinde geometrik olarak göreceğiz. Q36’da ise ölçüm ve collapse mekanizmasını daha detaylı işleyeceğiz.

Sonraki konu: qubit durumlarını birim çember üzerinde görselleştirme, açı dili.