Alpha-Beta Budama ve Modern Oyun Yapay Zekası

BİM444 — Hafta 5 · Ders 3

Öğr. Gör. Oktay Cesur

2026-03-23

Minimax Neden Ölçeklenmiyor?

Önceki derste minimax kararı nasıl verdiğini gördük.

Sorun: tüm ağacı geziyor.

• Satranç: b≈35, m≈100 → 10^120 durum → fiziksel olarak imkânsız

İki temel çözüm:

1. Bazı dalları hiç açmadan kesmek — karar değişmeden
2. Terminale gitmeden yaklaşık değerleme yapmak

Geçen derste minimax mekanizmasını anladık: değerler yapraktan köke taşınıyor, MAX büyüğü seçiyor, MIN küçüğü. Küçük ağaçlarda mükemmel çalışıyor.

Ama sayılara bakın: satranç için 10^120 durum. Evrendeki atom sayısı ~10^80. Tam minimax uygulanabilir değil. Deep Blue bile tam minimax yapmıyordu — yaklaşık bir versiyonunu çalıştırıyordu.

Bugünkü ders bu iki çözüm fikrinin üzerine kurulu. Birincisi alpha-beta budaması: sonucu değiştirmeyen dalları hiç incelememek. İkincisi değerlendirme fonksiyonu: terminale kadar gitmek yerine belli bir derinlikte durarak pozisyonu yaklaşık puanlamak.

Alpha-Beta Fikri

Bazı dalların sonucu kesinlikle etkilemeyeceği önceden bilinebilir.

Bu dalları hiç açmadan kes → aynı karar, daha az hesap

Sezgi şu: minimax bir dalı incelerken, başka bir daldan zaten daha iyi bir seçenek bulunmuşsa bu dalı daha ileri götürmeye gerek yok. MAX zaten daha iyisini biliyor; MIN zaten daha kötüsünü biliyor.

Alpha-beta budaması minimax kararını değiştirmiyor. Hangi hamlenin seçileceği değişmiyor; sadece gereksiz alt ağaçlar hiç gezilmiyor. Bu çok önemli bir nokta: budama sonucu bozmaz, sadece hesabı kısaltır.

Budama Örneği

Adım adım:

1. Sol dal incelenir → MIN sol = min(3,5) = 3 → α = 3
2. Orta dal incelenir → MIN orta = min(6,9) = 6 → α = 6
3. Sağ dal: ilk yaprak = 1 → MIN sağ ≤ 1 < α=6 → MAX bu dalı seçmez
4. 7 yaprağı incelenmeden kesildi

Geçen dersteki ağacı kullanıyoruz. Sol dalı inceliyoruz: MIN 3 ve 5 arasından 3’ü seçer. MAX sol daldan 3 biliyor; α=3 güncellendi. Orta dala geçiyoruz: MIN 6 ve 9 arasından 6’yı seçer. α=6’ya yükseldi — MAX artık en az 6 garantileyebilir.

Şimdi sağ dala geliyoruz. İlk yaprağı görüyoruz: 1. MIN bu düğümde en iyi ihtimalle 1 değerini verebilir — çünkü MIN küçüğü seçiyor ve zaten 1 görüldü. MAX şunu biliyor: “Bu daldan gelen değer ≤1, ama ben zaten 6 garantiledim.” MAX bu dalı seçmez. Dolayısıyla 7 yaprağını açmaya gerek yok — sonucu değiştirmiyor.

Bu kesme kararı α değeri sayesinde alındı: α=6 olan bir MAX için ≤1 değer üreten dal ilgisiz.

Alpha ve Beta Sınırları

• α (alpha): MAX’ın bulduğu en iyi değer — alt sınır
• β (beta): MIN’in bulduğu en iyi değer — üst sınır

Budama koşulları:

• MIN düğümünde v ≤ α → dal kesilir — MAX bu yolu zaten seçmez
• MAX düğümünde v ≥ β → dal kesilir — MIN bu yolu zaten seçmez

Alpha ve beta iki izleme değeri; arama boyunca sürekli güncelleniyor. Alpha MAX’ın garanti edebildiği alt sınırı tutuyor: “Buraya kadar gördüğümde en az bu kadarı alabilirim.” Beta MIN’in garanti edebildiği üst sınırı tutuyor: “Buraya kadar gördüğümde en fazla bunu veririm.”

Budama koşuluna bakın: MIN düğümünde bir değer α’dan küçük eşit bulunursa dal kesilir. Çünkü MAX zaten α kadarını garantilemiş; MIN’in bu dalda vereceği değer α’dan düşük olacak — MAX bu dalı seçmez. Simetrik olarak MAX düğümünde β’dan büyük eşit değer bulunursa dal kesilir: MIN zaten β kadarını garantilemiş; bu daldan daha yüksek bir değer gelse bile MIN seçmez.

Bu iki koşul birlikte hem MAX hem MIN tarafında gereksiz alanı kesiyor.

Sıralama Neden Önemli?

Alpha-beta’nın kazancı doğrudan inceleme sırasına bağlı:

Hamle sıralaması	Zaman karmaşıklığı
Mükemmel (en iyi hamleler önce)	O(b^(m/2))
Rastgele	O(b^(3m/4))
En kötü (en kötü hamleler önce)	O(b^m) — budama yok

Mükemmel sıralamada: satranç b=35 → etkin b≈6 · aynı sürede iki kat daha derin

Mükemmel sıralama ne demek? En iyi hamlelerin önce incelenmesi. MAX için en yüksek değeri veren hamle ilk açılırsa α hızlı yükseliyor ve sonraki dallarda daha agresif budama yapılabiliyor. MIN için simetrik: en düşük değeri veren hamle ilk açılırsa β hızlı düşüyor.

Pratikte mükemmel sıralamayı önceden bilemeyiz — bunu bilseydik zaten cevabı bilirdik. Ama iyi tahminlerle yaklaşabiliriz. Killer heuristic bunun bir örneği: aynı derinlik seviyesinde daha önce iyi kesme sağlamış hamleyi tekrar dene. Iterative deepening ile sıralama da kullanılıyor: önceki daha yüzeysel aramada iyi bulunan hamleler bir sonraki aramada önce inceleniyor.

Tabloya bakın: mükemmel sıralamada O(b^(m/2)). Satranç için bu b=35’ten etkin b≈6’ya düşmek demek — aynı sürede ağacın iki kat daha derine bakılabilmesi.

Kesme ve Değerlendirme Fonksiyonu

Alpha-beta sonrasında da ağaç büyük — başka araç gerekiyor:

• Kesme testi CUTOFF(s, d): belli derinlikte dur
• Değerlendirme fonksiyonu EVAL(s): terminal olmayan duruma sayısal değer ver

H-Minimax = Minimax + kesme testi + eval

Alpha-beta budaması teorik sınırı O(b^(m/2))’ye indiriyor ama satranç için bu bile yetersiz. O zaman ikinci araç devreye giriyor: terminale kadar gitmek yerine belli bir derinlikte dur, o noktadaki konumu eval fonksiyonuyla puan.

H-Minimax’ta yapraktan köke yayılım mantığı aynı kalıyor; fark şu: “yapraklar” artık gerçek terminal durumlar değil, kesme derinliğindeki pozisyonlar. Ve bu pozisyonların değerleri gerçek fayda değil, eval’in tahmini.

Eval fonksiyonu ne kadar iyi ise o kadar iyi karar veriliyor. Ama eval hesaplamak hızlı olmalı — derin aramada binlerce pozisyon puanlanacak. Hız ve kalite arasındaki bu denge eval tasarımının çekirdeği.

Satrançta Eval Fonksiyonu

Taş	Değer
Vezir	9
Kale	5
Fil / At	3
Piyon	1

Üzerine eklenen: merkez kontrolü · kale açıklığı · şah güvenliği · piyon yapısı

Satranç eval fonksiyonunun temelinde madde sayısı var. Her taşın sayısal değeri toplanıyor ve pozisyon puanlanıyor. Ama bu kaba bir başlangıç; iyi bir eval üzerine konum değerleri ekliyor. Örneğin merkezi kontrol eden piyonlar köşedekilerden daha değerli; açık sütundaki kale kapalı sütundakinden daha tehlikeli.

İyi bir eval üç koşulu sağlar: terminal durumlarda gerçek fayda değeriyle aynı sıralamayı vermeli; hesaplaması hızlı olmalı; gerçek kazanma olasılığıyla güçlü korelasyonu olmalı. Deep Blue’da 8.000’den fazla elle yazılmış özellik vardı. AlphaZero’da bu özelliklerin tamamı sinir ağı tarafından öğrenildi — elle hiçbir şey yazılmadı. Bu dönüşümün anlamına dersin sonunda döneceğiz.

Yataysallık Etkisi (Horizon Effect)

Sabit derinlikte kesince: tehlikeli durum kesim noktasının hemen ötesinde kalabilir

	Ajan ne görüyor	Gerçekte
d=4’te kes	Pozisyon dengeli	d=5’te vezir kaybı var

• Ajan tehlikeyi görmüyor → sahte iyi değerlendirme
• Çözüm: quiescence search — taktiksel açıdan sakin olmayan pozisyonları daha derine tara

Horizon effect sabit derinlikte kesmenin doğal bir sonucu. Tehlikeli bir hamle tam kesim noktasının hemen ötesindeyse ajan bunu göremez; pozisyonu olduğundan iyi değerlendirir ve yanlış karar verir.

Klasik örnek: satranç’ta ele geçirme dizisi. d=4’te kesiyorsunuz; pozisyon dengeli görünüyor. Ama d=5’te bir vezir kaybı var ve bunu önlemenin yolu yok. Quiescence search bunu kısmen çözüyor: yakalama, şah, tehdit gibi taktiksel durumlar varsa aramayı otomatik olarak biraz daha derine taşı. Horizon etkisini tamamen çözmez ama pratikte önemli ölçüde azaltır; modern satranç motorlarında standart bir bileşen.

Kısa Ufuk: Stochastic Games

Tavla gibi oyunlarda şans unsuru var: zar atışı

Oyun ağacına şans düğümleri ekleniyor:

MAX → chance → MIN → chance → MAX → …

ExpectiMinimax: Şans düğümünün değeri = çocukların olasılık-ağırlıklı ortalaması

Bugüne kadar deterministik oyunlarda çalıştık: bir hamlenin sonucu kesin. Ama tavlada zarı attıktan sonra mevcut hamleler değişiyor. Bu rastgeleliği modellemek için oyun ağacına şans düğümleri ekliyoruz: MAX ve MIN katmanlarının arasına olasılık dağılımlı bir katman giriyor.

Şans düğümünün değeri beklenen değerle hesaplanıyor: her sonucun olasılığıyla ağırlıklı ortalaması. Buna ExpectiMinimax diyoruz.

Önemli bir fark: şans düğümleri varlığında eval fonksiyonunun doğrusal dönüşümlere karşı sabit olması gerekiyor. Satrançta işe yarayan bir eval tavlada çalışmayabilir — sayısal ölçek burada anlam kazanıyor.

Kısa Ufuk: Deep Blue’dan AlphaZero’ya

Sistem	Eval Kaynağı	Arama
Deep Blue (1997)	Elle yazılmış ~8.000 kural	Minimax + α-β
AlphaGo (2016)	Policy + value ağı (insan verisi)	MCTS
AlphaZero (2017)	Tek ağ — self-play ile öğrenilmiş	MCTS

Büyük fikir: Problem değişmedi — büyük uzayda iyi karar. Değişen: eval’in kaynağı.

Deep Blue’dan AlphaZero’ya giderken minimax’ın özü değişmedi: hâlâ ileriye bakıyoruz, hâlâ pozisyonları değerlendiriyoruz. Değişen şey eval fonksiyonunun kaynağı.

Deep Blue’da bu fonksiyon elle yazılmıştı: satranç ustalarının bilgisi binlerce kural olarak kodlanmıştı. AlphaGo’da policy ve value ağları insan oyunlarından öğrendi; arama için Monte Carlo Tree Search kullandı — minimax’ın istatistiksel bir versiyonu. AlphaZero ise daha radikal: insan verisi yok, sadece self-play. Kendi kendine milyonlarca oyun oynayarak hem eval fonksiyonunu hem politikayı öğrendi.

Bu köprü önemli: minimax mekanizması hâlâ merkezde ama değerlendirme artık elle tasarlanmıyor — öğreniliyor. Bu, derin öğrenme ile klasik arama arasındaki bağı gösteren en net örnek.

Kapanış: Bu Hafta Neyi Gördük?

İki sınır vakası:

• Yerel arama: yolun değil varış noktasının önemli olduğu durumlar
• Düşmanca arama: çevrenin bize karşı oynadığı durumlar

Ortak kısıt: Tam arama ağacı oluşturmak imkânsız — her biri farklı biçimde başa çıkıyor

Bilgisiz aramadan A*’a, minimax’a, AlphaZero’ya — hepsinin özünde aynı soru: çok büyük uzaylarda nasıl iyi karar alınır?

Bu hafta iki farklı varsayım kırılmasını işledik. Yerel aramada yol-tabanlı arama varsayımı kırıldı: artık yol değil son durum önemli. Düşmanca aramada pasif ortam varsayımı kırıldı: artık ortam bize karşı oynuyor.

Her iki kırılmada da aynı temel sorunla karşılaştık: tam arama ağacı oluşturmak imkânsız. Yerel arama bunu hill climbing ve simulated annealing ile aştı — tam arama yerine akıllı yerel hareket. Düşmanca arama bunu alpha-beta ve eval ile aştı — tam minimax yerine budamalı, yaklaşık minimax.

Sonraki haftalarda bu düşünce biçimini farklı ortamlara taşıyacağız. Ama temel soru değişmiyor: büyük uzaylarda nasıl iyi karar alınır?