Bileşik Klasik Sistemler

QBronze — S04

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

1 Ocak 2026

Geçen Konudan Köprü

Tek bir probabilistic bit: $[p_0, p_1]$ sütun vektörü
Operatör: stochastic matrix, $v' = Av$
Şimdi: iki bit bir arada — durum uzayı nasıl genişliyor?

İki bit bir araya geldiğinde ne değişiyor? Yalnızca boyut büyümüyor — yeni kavramlar giriyor: tensor çarpımı, bağımsızlık ve korelasyon. Bu kavramlar ilerideki iki qubit ve dolanıklık konusunun doğrudan öncülü.

İki Bitin Ortak Durum Uzayı

İki bit birleşince dört temel durum var:

\[ 00, \quad 01, \quad 10, \quad 11 \]

İlk sembol: birinci bitin durumu
İkinci sembol: ikinci bitin durumu

Deterministik bileşik durumlar: $[1,0,0,0]$, $[0,1,0,0]$, $[0,0,1,0]$, $[0,0,0,1]$

Not

Tablo eklenecek: iki bitin tüm kombinasyonları ve vektör karşılıkları.

İki bitten oluşan bir sistem için durum uzayı, her bitin kendi durum uzayının “kartezyen çarpımı”: {0,1} × {0,1} = {00, 01, 10, 11}.

Dört temel durum var. Bunları standart baz vektörleri olarak yazıyoruz: $|00\rangle = [1,0,0,0]$, $|01\rangle = [0,1,0,0]$, $|10\rangle = [0,0,1,0]$, $|11\rangle = [0,0,0,1]$.

Genel probabilistic state bu dört üzerindeki bir dağılım: $[p_{00}, p_{01}, p_{10}, p_{11}]$, toplamı 1.

Tensor Çarpımı — Bağımsız Sistemlerin Birleşimi

İki bağımsız bitten bileşik durum:

\[ \begin{bmatrix}p_0\\p_1\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}q_0\\q_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}p_0 q_0\\p_0 q_1\\p_1 q_0\\p_1 q_1\end{bmatrix} \]

Örnek: Bit-1’de $[0.2, 0.8]$, Bit-2’de $[0.6, 0.4]$:

\[ \begin{bmatrix}0.2\\0.8\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}0.6\\0.4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.12\\0.08\\0.48\\0.32\end{bmatrix} \]

Tensor çarpımı iki vektörü bir araya getirmenin standart yolu. İlk vektörün her bileşenini ikinci vektörün tüm bileşenleriyle çarpıyoruz.

Neden bu formül? Çünkü bağımsız olaylar için $Pr(A \cap B) = Pr(A) \cdot Pr(B)$. $Pr(00) = Pr(\text{Bit-1}=0) \cdot Pr(\text{Bit-2}=0) = 0.2 \times 0.6 = 0.12$.

Notasyon: $\otimes$ sembolü tensor çarpımını gösteriyor. Bu sembol ilerideki iki qubit anlatımında da aynı anlamda kullanılacak.

Toplam kontrol: $0.12+0.08+0.48+0.32 = 1.00$ ✓. Geçerli probabilistic state.

Bağımsız vs. Korelasyonlu Durum

Bağımsız: Aşağıdaki vektörün tensor çarpımı olarak yazılabilen durum:

\[ v = u_1 \otimes u_2 \]

Korelasyonlu: Tensor çarpımı olarak yazılamayan durum:

\[ \begin{bmatrix}0.5\\0\\0\\0.5\end{bmatrix} \neq u_1 \otimes u_2 \quad \text{hiçbir } u_1, u_2 \text{ için} \]

Bu ayrım çok önemli ve sıklıkla karıştırılıyor.

Bağımsız durum: iki bitin durumları birbirinden bağımsız. Bir bitin durumunu bilmek, diğeri hakkında ekstra bilgi vermiyor. Bu durum, iki vektörün tensor çarpımı olarak yazılabilir.

Korelasyonlu durum: $[0.5, 0, 0, 0.5]$ örneğine bakın. Bu “ya ikisi de 0, ya ikisi de 1” demek. $Pr(00)=0.5$, $Pr(11)=0.5$, diğerleri 0. Bu durum tensor çarpımı olarak yazılamıyor: eğer $Pr(\text{Bit-1}=0)=p$ ise $Pr(00)=p \cdot q_0$ ve $Pr(11)=(1-p)(1-q_0)$. Bu ikisini eşzamanlı 0.5 yapmak mümkün değil $Pr(01)$ ve $Pr(10)$ aynı anda 0 kalmak zorundaysa.

Kuantum mekaniğindeki dolanıklık (entanglement) bu korelasyon kavramının kuantum analogu. Kuantum dolanıklık klasik korelasyondan daha güçlü ama yapısal benzerlik var.

Tek Bir Bite Operatör — Bileşik Sistemde

Bileşik bir sistemde yalnızca birinci bite NOT uygulamak:

\[ NOT \otimes I = \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix} \]

Tek bitin operatörü → bileşik sistemde daha büyük bir matris

Tek bir bite operatör uygulamak, bileşik sistemi temsil eden büyük matris ile bu operatörün tensor çarpımını almayı gerektiriyor.

$NOT \otimes I$: birinci bite NOT, ikinciye Identity. Sonuç 4×4 matris. Bu matrisin her sütunu, ilgili başlangıç durumunun NOT uygulandıktan sonra nereye gittiğini gösteriyor.

İkinci bite NOT uygulamak için: $I \otimes NOT$. Sıra değişiyor.

Bu yapı ilerideki CNOT kapısı anlatımında doğrudan kullanılacak: CNOT bir bitin durumuna bağlı olarak diğer biti çeviriyor.

CNOT — Klasik Koşullu NOT

Klasik CNOT (Controlled-NOT): - Kontrol bit değişmez - Hedef bit: kontrol=1 ise NOT, kontrol=0 ise Identity

\[ CNOT = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix} \]

Not

Tablo eklenecek: CNOT’un dört temel durum üzerindeki etkisi (00→00, 01→01, 10→11, 11→10).

CNOT’u satır satır okuyalım. Birinci ve ikinci sütun (kontrol=0): Identity uygular. Üçüncü sütun (giriş=10, kontrol=1): 11’e gidiyor — hedef bit çevriliyor. Dördüncü sütun (giriş=11, kontrol=1): 10’a gidiyor — hedef bit çevriliyor.

CNOT tersinir bir operatör. Tablodan okuyun: her sütunda tam bir tane 1. Ters işlemi de CNOT: CNOT’u iki kez uygulamak başa döndürüyor.

Bu yapı, kuantum CNOT kapısının doğrudan klasik analogu. Kuantum CNOT da aynı matrisle temsil ediliyor — tek fark, girişlerin ve çıkışların kuantum state olması.

Özet

İki bit → dört durum, tensor çarpımıyla birleştirilen sütun vektörü
Bağımsız durum: iki bitin tensor çarpımı olarak yazılabilir
Korelasyonlu durum: tensor çarpımı olarak yazılamaz
Tek bite operatör → tensor çarpımıyla büyük sisteme yükseltilir
CNOT klasik düzeyde koşullu tersinir operatöre örnek

Bu konu kuantum bilgisine üç önemli köprü kuruyor: tensor çarpımı (iki qubit dilinin temeli), korelasyon kavramı (dolanıklığın öncülü) ve CNOT (en temel iki qubit kapısı). Bu kavramlar ilerleyen konularda doğrudan aynı adlarla ve aynı matematikle karşımıza çıkacak.

Sonraki konu: foton deneyleri ve klasik modelin sınırları.

--- title: "Bileşik Klasik Sistemler" subtitle: QBronze — S04 type: presentation author: Öğr. Gör. Oktay Cesur date: 2026-01-01 execute: echo: false --- ## Geçen Konudan Köprü - Tek bir probabilistic bit: $[p_0, p_1]$ sütun vektörü - Operatör: stochastic matrix, $v' = Av$ - Şimdi: **iki bit** bir arada — durum uzayı nasıl genişliyor? ::: {.notes} İki bit bir araya geldiğinde ne değişiyor? Yalnızca boyut büyümüyor — yeni kavramlar giriyor: tensor çarpımı, bağımsızlık ve korelasyon. Bu kavramlar ilerideki iki qubit ve dolanıklık konusunun doğrudan öncülü. ::: --- ## İki Bitin Ortak Durum Uzayı İki bit birleşince dört temel durum var: $$ 00, \quad 01, \quad 10, \quad 11 $$ - İlk sembol: birinci bitin durumu - İkinci sembol: ikinci bitin durumu Deterministik bileşik durumlar: $[1,0,0,0]$, $[0,1,0,0]$, $[0,0,1,0]$, $[0,0,0,1]$ ::: {.callout-note} Tablo eklenecek: iki bitin tüm kombinasyonları ve vektör karşılıkları. ::: ::: {.notes} İki bitten oluşan bir sistem için durum uzayı, her bitin kendi durum uzayının "kartezyen çarpımı": {0,1} × {0,1} = {00, 01, 10, 11}. Dört temel durum var. Bunları standart baz vektörleri olarak yazıyoruz: $|00\rangle = [1,0,0,0]$, $|01\rangle = [0,1,0,0]$, $|10\rangle = [0,0,1,0]$, $|11\rangle = [0,0,0,1]$. Genel probabilistic state bu dört üzerindeki bir dağılım: $[p_{00}, p_{01}, p_{10}, p_{11}]$, toplamı 1. ::: --- ## Tensor Çarpımı — Bağımsız Sistemlerin Birleşimi İki **bağımsız** bitten bileşik durum: $$ \begin{bmatrix}p_0\\p_1\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}q_0\\q_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}p_0 q_0\\p_0 q_1\\p_1 q_0\\p_1 q_1\end{bmatrix} $$ Örnek: Bit-1'de $[0.2, 0.8]$, Bit-2'de $[0.6, 0.4]$: $$ \begin{bmatrix}0.2\\0.8\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}0.6\\0.4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.12\\0.08\\0.48\\0.32\end{bmatrix} $$ ::: {.notes} Tensor çarpımı iki vektörü bir araya getirmenin standart yolu. İlk vektörün her bileşenini ikinci vektörün tüm bileşenleriyle çarpıyoruz. Neden bu formül? Çünkü bağımsız olaylar için $Pr(A \cap B) = Pr(A) \cdot Pr(B)$. $Pr(00) = Pr(\text{Bit-1}=0) \cdot Pr(\text{Bit-2}=0) = 0.2 \times 0.6 = 0.12$. Notasyon: $\otimes$ sembolü tensor çarpımını gösteriyor. Bu sembol ilerideki iki qubit anlatımında da aynı anlamda kullanılacak. Toplam kontrol: $0.12+0.08+0.48+0.32 = 1.00$ ✓. Geçerli probabilistic state. ::: --- ## Bağımsız vs. Korelasyonlu Durum **Bağımsız:** Aşağıdaki vektörün tensor çarpımı olarak yazılabilen durum: $$ v = u_1 \otimes u_2 $$ **Korelasyonlu:** Tensor çarpımı olarak **yazılamayan** durum: $$ \begin{bmatrix}0.5\\0\\0\\0.5\end{bmatrix} \neq u_1 \otimes u_2 \quad \text{hiçbir } u_1, u_2 \text{ için} $$ ::: {.notes} Bu ayrım çok önemli ve sıklıkla karıştırılıyor. Bağımsız durum: iki bitin durumları birbirinden bağımsız. Bir bitin durumunu bilmek, diğeri hakkında ekstra bilgi vermiyor. Bu durum, iki vektörün tensor çarpımı olarak yazılabilir. Korelasyonlu durum: $[0.5, 0, 0, 0.5]$ örneğine bakın. Bu "ya ikisi de 0, ya ikisi de 1" demek. $Pr(00)=0.5$, $Pr(11)=0.5$, diğerleri 0. Bu durum tensor çarpımı olarak yazılamıyor: eğer $Pr(\text{Bit-1}=0)=p$ ise $Pr(00)=p \cdot q_0$ ve $Pr(11)=(1-p)(1-q_0)$. Bu ikisini eşzamanlı 0.5 yapmak mümkün değil $Pr(01)$ ve $Pr(10)$ aynı anda 0 kalmak zorundaysa. Kuantum mekaniğindeki dolanıklık (entanglement) bu korelasyon kavramının kuantum analogu. Kuantum dolanıklık klasik korelasyondan daha güçlü ama yapısal benzerlik var. ::: --- ## Tek Bir Bite Operatör — Bileşik Sistemde Bileşik bir sistemde yalnızca **birinci bite** NOT uygulamak: $$ NOT \otimes I = \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix} $$ - Tek bitin operatörü → bileşik sistemde daha büyük bir matris ::: {.notes} Tek bir bite operatör uygulamak, bileşik sistemi temsil eden büyük matris ile bu operatörün tensor çarpımını almayı gerektiriyor. $NOT \otimes I$: birinci bite NOT, ikinciye Identity. Sonuç 4×4 matris. Bu matrisin her sütunu, ilgili başlangıç durumunun NOT uygulandıktan sonra nereye gittiğini gösteriyor. İkinci bite NOT uygulamak için: $I \otimes NOT$. Sıra değişiyor. Bu yapı ilerideki CNOT kapısı anlatımında doğrudan kullanılacak: CNOT bir bitin durumuna bağlı olarak diğer biti çeviriyor. ::: --- ## CNOT — Klasik Koşullu NOT Klasik CNOT (Controlled-NOT): - **Kontrol bit** değişmez - **Hedef bit**: kontrol=1 ise NOT, kontrol=0 ise Identity $$ CNOT = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix} $$ ::: {.callout-note} Tablo eklenecek: CNOT'un dört temel durum üzerindeki etkisi (00→00, 01→01, 10→11, 11→10). ::: ::: {.notes} CNOT'u satır satır okuyalım. Birinci ve ikinci sütun (kontrol=0): Identity uygular. Üçüncü sütun (giriş=10, kontrol=1): 11'e gidiyor — hedef bit çevriliyor. Dördüncü sütun (giriş=11, kontrol=1): 10'a gidiyor — hedef bit çevriliyor. CNOT tersinir bir operatör. Tablodan okuyun: her sütunda tam bir tane 1. Ters işlemi de CNOT: CNOT'u iki kez uygulamak başa döndürüyor. Bu yapı, kuantum CNOT kapısının doğrudan klasik analogu. Kuantum CNOT da aynı matrisle temsil ediliyor — tek fark, girişlerin ve çıkışların kuantum state olması. ::: --- ## Özet 1. İki bit → dört durum, tensor çarpımıyla birleştirilen sütun vektörü 2. **Bağımsız durum**: iki bitin tensor çarpımı olarak yazılabilir 3. **Korelasyonlu durum**: tensor çarpımı olarak yazılamaz 4. Tek bite operatör → tensor çarpımıyla büyük sisteme yükseltilir 5. CNOT klasik düzeyde koşullu tersinir operatöre örnek ::: {.notes} Bu konu kuantum bilgisine üç önemli köprü kuruyor: tensor çarpımı (iki qubit dilinin temeli), korelasyon kavramı (dolanıklığın öncülü) ve CNOT (en temel iki qubit kapısı). Bu kavramlar ilerleyen konularda doğrudan aynı adlarla ve aynı matematikle karşımıza çıkacak. ::: --- *Sonraki konu: foton deneyleri ve klasik modelin sınırları.*