Kuantum Durumu ve Görselleştirme

QBronze — S09

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

1 Ocak 2026

Geçen Konudan Köprü

Quantum state: norm=1 vektör, amplitude bileşenleri
Ölçüm olasılığı = amplitüdün karesi
Şimdi: bu vektörü geometrik olarak görmek

Soyut vektör dilini geometrik bir resme bağlamak hem sezgiyi güçlendiriyor hem de operatörleri hareket olarak okumayı mümkün kılıyor. Sonraki iki konuda (dönmeler ve yansımalar) bu görsel dil merkeze alınacak.

Birim Çember ve Temel Durumlar

Gerçek sayılı tek qubit durumları — birim çember üzerindeki noktalar:

\[ |\psi\rangle = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}, \quad a^2+b^2=1 \quad \Leftrightarrow \quad (a,b) \text{ birim çemberde} \]

Temel durumlar birim çemberde özel yönler:

\[ |0\rangle = (1,0) \quad |1\rangle = (0,1) \quad -|0\rangle = (-1,0) \quad -|1\rangle = (0,-1) \]

Not

Görsel eklenecek: koordinat düzleminde birim çember, |0⟩, |1⟩, |+⟩, |-⟩ vektörleri işaretli.

Neden birim çember? $a^2+b^2=1$ koşulunun geometrik anlamı: $(a,b)$ noktası birim çember üzerinde. Tüm geçerli gerçek-değerli tek qubit durumları bu çemberin üzerindeki noktalara karşılık geliyor.

$|0\rangle$ çemberin sağ ucunda (1,0). $|1\rangle$ üstünde (0,1). Hadamard durumları: $|+\rangle = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ — 45° açıda. $|-\rangle = (1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ — -45°’de.

Bu görsel, operatörlerin ne yaptığını “hareket” olarak okumayı sağlıyor: bir operatör qubit’in vektörünü çember üzerinde başka bir noktaya taşıyor.

Açı Dili

Birim çember üzerindeki her noktayı açıyla tanımlayabiliriz:

\[ |\psi\rangle = \begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix} \]

$\theta = 0$: $|0\rangle$ durumu
$\theta = 90°$: $|1\rangle$ durumu
$\theta = 45°$: $|+\rangle$ durumu
$\theta = -45°$: $|-\rangle$ durumu

Herhangi bir açı → geçerli bir quantum state

Trigonometrik parametrizasyon: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ — norm koşulu otomatik sağlanıyor. Rastgele geçerli quantum state üretmek için rastgele $\theta$ seç ve $(\cos\theta, \sin\theta)$ al.

Bu parametrizasyonun avantajı: sonsuz sayıda quantum state var ve hepsini tek bir parametre ile temsil edebiliyoruz. Klasik bit iki nokta iken (0 veya 1), qubit birim çember üzerinde sonsuz nokta.

Dikkat: bu “gerçek-değerli qubit” modeli. Gerçek kuantum mekaniğinde kompleks amplitüdler var ve Bloch küresi üç boyutlu. Şimdilik gerçek sayılarla kalmak geometrik sezgiyi korumak için bilinçli bir seçim.

Olasılıkları Açıyla Okumak

\[ |\psi\rangle = \begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}: \quad Pr(0) = \cos^2\theta, \quad Pr(1) = \sin^2\theta \]

Örnek: $\theta$ ile $\cos\theta = 3/5$, $\sin\theta = 4/5$:

\[ |\psi\rangle = \begin{bmatrix}3/5\\4/5\end{bmatrix}: \quad Pr(0) = 9/25, \quad Pr(1) = 16/25 \]

Trigonometrik kimlik: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ → toplam olasılık = 1 ✓

Not

Görsel eklenecek: birim çemberde (3/5, 4/5) noktası ve Pr(0), Pr(1) gösterimi.

Bu örnek (3/5, 4/5) kaynak notebook’ta özellikle seçilmiş: Pisagor üçgeni köşegenleri. $(3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1$ — güzel bir sayı.

Ölçüm olasılıklarını okuma: vektörü çemberde buluyorsunuz, yatay bileşenini (kos) karıyorsunuz → $Pr(0)$; dikey bileşenini (sin) karıyorsunuz → $Pr(1)$.

Geometrik sezgi: vektör ne kadar $|0\rangle$ eksenine (yatay) yakınsa $Pr(0)$ o kadar büyük. $|0\rangle$ yönünde tam olarak: $Pr(0)=1$, $Pr(1)=0$. $|1\rangle$ yönünde tam olarak: $Pr(0)=0$, $Pr(1)=1$.

Rastgele Geçerli Quantum State Üretmek

import numpy as np

theta = np.random.uniform(0, 2*np.pi)  # rastgele açı
state = np.array([np.cos(theta), np.sin(theta)])

print(f"Durum: [{state[0]:.4f}, {state[1]:.4f}]")
print(f"Norm: {np.linalg.norm(state):.4f}")  # her zaman 1
print(f"Pr(0) = {state[0]**2:.4f}")
print(f"Pr(1) = {state[1]**2:.4f}")

Her $\theta$ değeri geçerli bir state verir — ekstra doğrulama gereksiz

Bu kod parçası “rastgele quantum state üret” görevinin standart çözümü. Rastgele açı seç, trigonometrik fonksiyonlar norm koşulunu otomatik sağlıyor.

Alternatif: rastgele iki sayı seç ve normalleştir. Bu da işe yarıyor ama açı yöntemi daha temiz çünkü normalizasyon adımını atlıyor.

Öğrencilere göstermek için yararlı: norm kontrolü her zaman 1 çıkıyor. Bu, “birim çember üzerindeyiz” garantisi.

Özet

Gerçek-değerli tek qubit → birim çember üzerinde bir vektör
Açı parametrizasyonu: $|\psi\rangle = (\cos\theta, \sin\theta)^T$
Ölçüm olasılıkları: $Pr(0)=\cos^2\theta$, $Pr(1)=\sin^2\theta$
Sonsuz geçerli quantum state var — hepsi birim çemberin üzerinde
Operatörler birim çember üzerinde hareket olarak okunacak (sonraki konu)

Bu görsel dil bir sonraki konuda (süperpozisyon ve ölçüm) bağlam sağlamaya devam edecek. Dönmeler ve yansımalar konusunda ise tam olarak kullanılacak: operatörlerin etkisini “vektörü çevirmek” veya “eksen üzerinden yansıtmak” olarak okuyacağız.

Sonraki konu: süperpozisyon, girişim ve ölçümün collapse etkisi.

--- title: "Kuantum Durumu ve Görselleştirme" subtitle: QBronze — S09 type: presentation author: Öğr. Gör. Oktay Cesur date: 2026-01-01 execute: echo: false --- ## Geçen Konudan Köprü - Quantum state: norm=1 vektör, amplitude bileşenleri - Ölçüm olasılığı = amplitüdün karesi - Şimdi: bu vektörü **geometrik olarak görmek** ::: {.notes} Soyut vektör dilini geometrik bir resme bağlamak hem sezgiyi güçlendiriyor hem de operatörleri hareket olarak okumayı mümkün kılıyor. Sonraki iki konuda (dönmeler ve yansımalar) bu görsel dil merkeze alınacak. ::: --- ## Birim Çember ve Temel Durumlar Gerçek sayılı tek qubit durumları — birim çember üzerindeki noktalar: $$ |\psi\rangle = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}, \quad a^2+b^2=1 \quad \Leftrightarrow \quad (a,b) \text{ birim çemberde} $$ Temel durumlar birim çemberde özel yönler: $$ |0\rangle = (1,0) \quad |1\rangle = (0,1) \quad -|0\rangle = (-1,0) \quad -|1\rangle = (0,-1) $$ ::: {.callout-note} Görsel eklenecek: koordinat düzleminde birim çember, |0⟩, |1⟩, |+⟩, |-⟩ vektörleri işaretli. ::: ::: {.notes} Neden birim çember? $a^2+b^2=1$ koşulunun geometrik anlamı: $(a,b)$ noktası birim çember üzerinde. Tüm geçerli gerçek-değerli tek qubit durumları bu çemberin üzerindeki noktalara karşılık geliyor. $|0\rangle$ çemberin sağ ucunda (1,0). $|1\rangle$ üstünde (0,1). Hadamard durumları: $|+\rangle = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ — 45° açıda. $|-\rangle = (1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ — -45°'de. Bu görsel, operatörlerin ne yaptığını "hareket" olarak okumayı sağlıyor: bir operatör qubit'in vektörünü çember üzerinde başka bir noktaya taşıyor. ::: --- ## Açı Dili Birim çember üzerindeki her noktayı açıyla tanımlayabiliriz: $$ |\psi\rangle = \begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix} $$ - $\theta = 0$: $|0\rangle$ durumu - $\theta = 90°$: $|1\rangle$ durumu - $\theta = 45°$: $|+\rangle$ durumu - $\theta = -45°$: $|-\rangle$ durumu Herhangi bir açı → geçerli bir quantum state ::: {.notes} Trigonometrik parametrizasyon: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ — norm koşulu otomatik sağlanıyor. Rastgele geçerli quantum state üretmek için rastgele $\theta$ seç ve $(\cos\theta, \sin\theta)$ al. Bu parametrizasyonun avantajı: sonsuz sayıda quantum state var ve hepsini tek bir parametre ile temsil edebiliyoruz. Klasik bit iki nokta iken (0 veya 1), qubit birim çember üzerinde sonsuz nokta. Dikkat: bu "gerçek-değerli qubit" modeli. Gerçek kuantum mekaniğinde kompleks amplitüdler var ve Bloch küresi üç boyutlu. Şimdilik gerçek sayılarla kalmak geometrik sezgiyi korumak için bilinçli bir seçim. ::: --- ## Olasılıkları Açıyla Okumak $$ |\psi\rangle = \begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}: \quad Pr(0) = \cos^2\theta, \quad Pr(1) = \sin^2\theta $$ Örnek: $\theta$ ile $\cos\theta = 3/5$, $\sin\theta = 4/5$: $$ |\psi\rangle = \begin{bmatrix}3/5\\4/5\end{bmatrix}: \quad Pr(0) = 9/25, \quad Pr(1) = 16/25 $$ Trigonometrik kimlik: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ → toplam olasılık = 1 ✓ ::: {.callout-note} Görsel eklenecek: birim çemberde (3/5, 4/5) noktası ve Pr(0), Pr(1) gösterimi. ::: ::: {.notes} Bu örnek (3/5, 4/5) kaynak notebook'ta özellikle seçilmiş: Pisagor üçgeni köşegenleri. $(3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1$ — güzel bir sayı. Ölçüm olasılıklarını okuma: vektörü çemberde buluyorsunuz, yatay bileşenini (kos) karıyorsunuz → $Pr(0)$; dikey bileşenini (sin) karıyorsunuz → $Pr(1)$. Geometrik sezgi: vektör ne kadar $|0\rangle$ eksenine (yatay) yakınsa $Pr(0)$ o kadar büyük. $|0\rangle$ yönünde tam olarak: $Pr(0)=1$, $Pr(1)=0$. $|1\rangle$ yönünde tam olarak: $Pr(0)=0$, $Pr(1)=1$. ::: --- ## Rastgele Geçerli Quantum State Üretmek ```python import numpy as np theta = np.random.uniform(0, 2*np.pi) # rastgele açı state = np.array([np.cos(theta), np.sin(theta)]) print(f"Durum: [{state[0]:.4f}, {state[1]:.4f}]") print(f"Norm: {np.linalg.norm(state):.4f}") # her zaman 1 print(f"Pr(0) = {state[0]**2:.4f}") print(f"Pr(1) = {state[1]**2:.4f}") ``` - Her $\theta$ değeri geçerli bir state verir — ekstra doğrulama gereksiz ::: {.notes} Bu kod parçası "rastgele quantum state üret" görevinin standart çözümü. Rastgele açı seç, trigonometrik fonksiyonlar norm koşulunu otomatik sağlıyor. Alternatif: rastgele iki sayı seç ve normalleştir. Bu da işe yarıyor ama açı yöntemi daha temiz çünkü normalizasyon adımını atlıyor. Öğrencilere göstermek için yararlı: norm kontrolü her zaman 1 çıkıyor. Bu, "birim çember üzerindeyiz" garantisi. ::: --- ## Özet 1. Gerçek-değerli tek qubit → birim çember üzerinde bir vektör 2. **Açı parametrizasyonu**: $|\psi\rangle = (\cos\theta, \sin\theta)^T$ 3. Ölçüm olasılıkları: $Pr(0)=\cos^2\theta$, $Pr(1)=\sin^2\theta$ 4. Sonsuz geçerli quantum state var — hepsi birim çemberin üzerinde 5. Operatörler birim çember üzerinde **hareket** olarak okunacak (sonraki konu) ::: {.notes} Bu görsel dil bir sonraki konuda (süperpozisyon ve ölçüm) bağlam sağlamaya devam edecek. Dönmeler ve yansımalar konusunda ise tam olarak kullanılacak: operatörlerin etkisini "vektörü çevirmek" veya "eksen üzerinden yansıtmak" olarak okuyacağız. ::: --- *Sonraki konu: süperpozisyon, girişim ve ölçümün collapse etkisi.*