Tek Qubit Operatörleri — Dönmeler

QBronze — S11

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

1 Ocak 2026

Geçen Konudan Köprü

Süperpozisyon, girişim, ölçüm
Quantum state → birim çemberde bir vektör
Şimdi: operatörleri birim çember üzerindeki hareket olarak okumak

Birim çember modeli artık operatörleri görselleştirmek için kullanılıyor. Bir operatör, çemberdeki bir vektörü başka bir vektöre taşıyan bir harekete karşılık geliyor. Dönme = belirli bir açı kadar döndürmek.

Birim Çember Üzerinde İşlem

Quantum state $|v\rangle = (\cos\theta, \sin\theta)^T$ bir noktayı temsil ediyor.

Bir operatör: - $|0\rangle = (1,0)$’ı $|+\rangle = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$’ye götürmüşse - Aynı operatörü $|+\rangle$’a uygularsak nereye gideriz?

Bu soru, operatörün birim çember üzerindeki hareketi sistematik hale getiriyor.

Not

Görsel eklenecek: birim çemberde |0⟩ → |+⟩ geçişi, ardından |+⟩ → ? sorusu.

Q40 notebook’u tam bu soruyla başlıyor. Belirli bir başlangıç ve bitiş bilinen operatörü inşa etmek, operatörleri hareket olarak anlamayı gerektiriyor.

İki senaryo veriliyor: (1) $|0\rangle \to |+\rangle$ ve (2) $|1\rangle \to |-\rangle$. Her ikisi de 45° dönme. Bunu fark ettikten sonra dönme operatörü tanımlanabilir.

Keyfi State Hazırlama

Bilinmeyen herhangi bir $\theta$ açısındaki state’e ulaşmak:

\[ \begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix} = R(\theta)|0\rangle \]

Başlangıç hep $|0\rangle$ — hedef $\theta$ açısındaki state.

ry kapısı bu dönmeyi gerçekleştiriyor:

qc.ry(2*theta, q[0])  # Qiskit'te açı parametresi 2θ

Not

Görsel eklenecek: |0⟩’dan θ açısındaki state’e birim çember üzerinde dönme yayı.

ry kapısının Qiskit’te $2\theta$ almasının nedeni: tam Bloch küresi formalizminde $ry(\varphi)$ kapısı $\varphi/2$ açılı dönmeye karşılık geliyor. Gerçek-değerli qubit modelinde bu $\theta$ ile eşleşmek için $2\theta$ gönderilmesi gerekiyor.

Pratikte öğrencinin bilmesi gereken: “istenen state $\theta$ açısında ise Qiskit’te $2\theta$ yaz”. Bu detay kafa karıştırabilir — dikkat.

Keyfi state hazırlama Grover algoritmasında önemli: algoritma başında tüm olası durumların süperpozisyonunu hazırlamak gerekiyor. Bu ry zinciriyle (veya Hadamard ile) yapılıyor.

Dönme Operatörü Matrisi

\[ R(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix} \]

Etkisi:

\[ R(\theta)\begin{bmatrix}\cos\phi\\\sin\phi\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos(\phi+\theta)\\\sin(\phi+\theta)\end{bmatrix} \]

Açıyı $\theta$ kadar artırıyor — birim çemberde saat tersi yönde dönme

Dönme matrisi standart bir lineer cebir objesi. $R(\theta)$ açıyı $\theta$ artırıyor. $R(\theta_1) \cdot R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)$ — açılar toplanıyor.

Özellikleri: - $R(0) = I$ (sıfır dönme = Identity) - $R(-\theta) = R(\theta)^{-1}$ (tersi, ters yönde dönme) - $R(360°) = R(0°) = I$ (tam tur, başa dönüş) - Determinant = 1, unitary ✓

Bu matrisin özel bir önemi var: quantum operatörlerin unitary olma zorunluluğunu görsel olarak karşılıyor. Birim çemberdeki nokta yeni bir birim çember noktasına gidiyor — norm korunuyor.

Dönme Özellikleri

Özellik	İfade
Kimlik	$R(0) = I$
Ters	$R(\theta)^{-1} = R(-\theta)$
Bileşim	$R(\theta_1) R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)$
Norm korunumu	$\\|R(\theta)\|\psi\rangle\\| = \\|\|\psi\rangle\\|$

Hadamard dönme mi? Hayır — Hadamard yansıma kategorisinde (sonraki konu).

Bu tablo dönme operatörünün cebirsel özelliklerini özetliyor. Bileşim özelliği özellikle kullanışlı: art arda iki dönme, tek büyük dönmeye eşdeğer.

Hadamard dönme değil — bu sık bir hata. Hadamard $H^2 = I$ sağlıyor (kendi tersi kendisi). Dönmede $R(\theta)^{-1} = R(-\theta)$, sadece $\theta = 180°$ için $R(180°)^{-1} = R(-180°) = R(180°)$ olur. Ama Hadamard başka özelliklere sahip — aslında yansıma kategorisinde.

Dikkat — Karıştırılabilecek Noktalar

ry parametresi: Qiskit’te $2\theta$, formülde $\theta$
Birim çember modelinde $\theta$ açı, Qiskit’e $2\theta$ gönderilir. Dikkat.

$R(\theta)$’nın normu koruması ≠ “state değişmedi”
Norm 1’de kalıyor ama vektörün yönü değişiyor. Norm korunumu = geçerli state → geçerli state.

Dönme ile yansıma karıştırılmamalı
$R(\theta)^2 = R(2\theta) \neq I$ (genel $\theta$ için). Yansıma ise her zaman $F^2 = I$.

Qiskit ile State Hazırlama

import numpy as np
from qiskit import QuantumRegister, ClassicalRegister, QuantumCircuit
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit.quantum_info import Statevector

theta = np.pi / 3  # 60°

q = QuantumRegister(1)
qc = QuantumCircuit(q)
qc.ry(2 * theta, q[0])  # θ açısındaki state'e git

sv = Statevector(qc)
print(sv)  # [cos(θ), sin(θ)]

Statevector simülatörü ölçüm yapmadan state’i veriyor
Ölçüm ile AerSimulator → olasılıksal sonuç

Statevector simülatörü ölçüm olmadan quantum state’i döndürüyor. Bu, araştırma ve doğrulama için kullanışlı — gerçek kuantum bilgisayarda bunu yapamazsınız, ama simülatörde eğitim amaçlı kullanılıyor.

AerSimulator ise ölçümlü devrelerle kullanılıyor. Sonuç rastgele shots — ölçüm olasılıklarını gözlemleyebilirsiniz.

Egzersiz: ry ile $\theta = 0, 45°, 90°$ deneyin. Ölçüm sonuçlarının nasıl değiştiğini gözlemleyin.

Özet

Gerçek-değerli qubit operatörleri birim çember üzerinde hareket
Dönme $R(\theta)$: açıyı $\theta$ kadar artırır
ry kapısı: Qiskit’te dönme operatörü ($2\theta$ parametresi dikkat)
Dönme unitary: normu koruyor, geçerli state → geçerli state
Açılar toplandığı için art arda dönme bileşim kolaylaştırıyor

Dönme operatörleri birim çember geometrisiyle tamamen örtüşüyor. Sonraki konuda yansıma operatörlerini göreceğiz. Hadamard yansıma sınıfında — bu onu özel kılıyor: $H^2=I$, yani iki kez uygulamak geri döndürüyor.

Sonraki konu: yansıma operatörleri ve Hadamard’ın yansıma olarak okunması.

--- title: "Tek Qubit Operatörleri — Dönmeler" subtitle: QBronze — S11 type: presentation author: Öğr. Gör. Oktay Cesur date: 2026-01-01 execute: echo: false --- ## Geçen Konudan Köprü - Süperpozisyon, girişim, ölçüm - Quantum state → birim çemberde bir vektör - Şimdi: operatörleri birim çember üzerindeki **hareket** olarak okumak ::: {.notes} Birim çember modeli artık operatörleri görselleştirmek için kullanılıyor. Bir operatör, çemberdeki bir vektörü başka bir vektöre taşıyan bir harekete karşılık geliyor. Dönme = belirli bir açı kadar döndürmek. ::: --- ## Birim Çember Üzerinde İşlem Quantum state $|v\rangle = (\cos\theta, \sin\theta)^T$ bir noktayı temsil ediyor. Bir operatör: - $|0\rangle = (1,0)$'ı $|+\rangle = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$'ye götürmüşse - Aynı operatörü $|+\rangle$'a uygularsak nereye gideriz? Bu soru, operatörün birim çember üzerindeki hareketi sistematik hale getiriyor. ::: {.callout-note} Görsel eklenecek: birim çemberde |0⟩ → |+⟩ geçişi, ardından |+⟩ → ? sorusu. ::: ::: {.notes} Q40 notebook'u tam bu soruyla başlıyor. Belirli bir başlangıç ve bitiş bilinen operatörü inşa etmek, operatörleri hareket olarak anlamayı gerektiriyor. İki senaryo veriliyor: (1) $|0\rangle \to |+\rangle$ ve (2) $|1\rangle \to |-\rangle$. Her ikisi de 45° dönme. Bunu fark ettikten sonra dönme operatörü tanımlanabilir. ::: --- ## Keyfi State Hazırlama Bilinmeyen herhangi bir $\theta$ açısındaki state'e ulaşmak: $$ \begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix} = R(\theta)|0\rangle $$ Başlangıç hep $|0\rangle$ — hedef $\theta$ açısındaki state. **ry kapısı** bu dönmeyi gerçekleştiriyor: ```python qc.ry(2*theta, q[0]) # Qiskit'te açı parametresi 2θ ``` ::: {.callout-note} Görsel eklenecek: |0⟩'dan θ açısındaki state'e birim çember üzerinde dönme yayı. ::: ::: {.notes} ry kapısının Qiskit'te $2\theta$ almasının nedeni: tam Bloch küresi formalizminde $ry(\varphi)$ kapısı $\varphi/2$ açılı dönmeye karşılık geliyor. Gerçek-değerli qubit modelinde bu $\theta$ ile eşleşmek için $2\theta$ gönderilmesi gerekiyor. Pratikte öğrencinin bilmesi gereken: "istenen state $\theta$ açısında ise Qiskit'te $2\theta$ yaz". Bu detay kafa karıştırabilir — dikkat. Keyfi state hazırlama Grover algoritmasında önemli: algoritma başında tüm olası durumların süperpozisyonunu hazırlamak gerekiyor. Bu ry zinciriyle (veya Hadamard ile) yapılıyor. ::: --- ## Dönme Operatörü Matrisi $$ R(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix} $$ Etkisi: $$ R(\theta)\begin{bmatrix}\cos\phi\\\sin\phi\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos(\phi+\theta)\\\sin(\phi+\theta)\end{bmatrix} $$ - Açıyı $\theta$ kadar artırıyor — birim çemberde saat tersi yönde dönme ::: {.notes} Dönme matrisi standart bir lineer cebir objesi. $R(\theta)$ açıyı $\theta$ artırıyor. $R(\theta_1) \cdot R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)$ — açılar toplanıyor. Özellikleri: - $R(0) = I$ (sıfır dönme = Identity) - $R(-\theta) = R(\theta)^{-1}$ (tersi, ters yönde dönme) - $R(360°) = R(0°) = I$ (tam tur, başa dönüş) - Determinant = 1, unitary ✓ Bu matrisin özel bir önemi var: quantum operatörlerin unitary olma zorunluluğunu görsel olarak karşılıyor. Birim çemberdeki nokta yeni bir birim çember noktasına gidiyor — norm korunuyor. ::: --- ## Dönme Özellikleri | Özellik | İfade | |---------|-------| | Kimlik | $R(0) = I$ | | Ters | $R(\theta)^{-1} = R(-\theta)$ | | Bileşim | $R(\theta_1) R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)$ | | Norm korunumu | $\|R(\theta)|\psi\rangle\| = \||\psi\rangle\|$ | Hadamard dönme mi? **Hayır** — Hadamard yansıma kategorisinde (sonraki konu). ::: {.notes} Bu tablo dönme operatörünün cebirsel özelliklerini özetliyor. Bileşim özelliği özellikle kullanışlı: art arda iki dönme, tek büyük dönmeye eşdeğer. Hadamard dönme değil — bu sık bir hata. Hadamard $H^2 = I$ sağlıyor (kendi tersi kendisi). Dönmede $R(\theta)^{-1} = R(-\theta)$, sadece $\theta = 180°$ için $R(180°)^{-1} = R(-180°) = R(180°)$ olur. Ama Hadamard başka özelliklere sahip — aslında yansıma kategorisinde. ::: --- ::: {.callout-warning} ## Dikkat — Karıştırılabilecek Noktalar **ry parametresi: Qiskit'te $2\theta$, formülde $\theta$**\ Birim çember modelinde $\theta$ açı, Qiskit'e $2\theta$ gönderilir. Dikkat. **$R(\theta)$'nın normu koruması ≠ "state değişmedi"**\ Norm 1'de kalıyor ama vektörün yönü değişiyor. Norm korunumu = geçerli state → geçerli state. **Dönme ile yansıma karıştırılmamalı**\ $R(\theta)^2 = R(2\theta) \neq I$ (genel $\theta$ için). Yansıma ise her zaman $F^2 = I$. ::: --- ## Qiskit ile State Hazırlama ```python import numpy as np from qiskit import QuantumRegister, ClassicalRegister, QuantumCircuit from qiskit_aer import AerSimulator from qiskit.quantum_info import Statevector theta = np.pi / 3 # 60° q = QuantumRegister(1) qc = QuantumCircuit(q) qc.ry(2 * theta, q[0]) # θ açısındaki state'e git sv = Statevector(qc) print(sv) # [cos(θ), sin(θ)] ``` - `Statevector` simülatörü ölçüm yapmadan state'i veriyor - Ölçüm ile `AerSimulator` → olasılıksal sonuç ::: {.notes} `Statevector` simülatörü ölçüm olmadan quantum state'i döndürüyor. Bu, araştırma ve doğrulama için kullanışlı — gerçek kuantum bilgisayarda bunu yapamazsınız, ama simülatörde eğitim amaçlı kullanılıyor. `AerSimulator` ise ölçümlü devrelerle kullanılıyor. Sonuç rastgele shots — ölçüm olasılıklarını gözlemleyebilirsiniz. Egzersiz: ry ile $\theta = 0, 45°, 90°$ deneyin. Ölçüm sonuçlarının nasıl değiştiğini gözlemleyin. ::: --- ## Özet 1. Gerçek-değerli qubit operatörleri birim çember üzerinde **hareket** 2. **Dönme** $R(\theta)$: açıyı $\theta$ kadar artırır 3. **ry kapısı**: Qiskit'te dönme operatörü ($2\theta$ parametresi dikkat) 4. Dönme unitary: normu koruyor, geçerli state → geçerli state 5. Açılar toplandığı için art arda dönme bileşim kolaylaştırıyor ::: {.notes} Dönme operatörleri birim çember geometrisiyle tamamen örtüşüyor. Sonraki konuda yansıma operatörlerini göreceğiz. Hadamard yansıma sınıfında — bu onu özel kılıyor: $H^2=I$, yani iki kez uygulamak geri döndürüyor. ::: --- *Sonraki konu: yansıma operatörleri ve Hadamard'ın yansıma olarak okunması.*