En Küçük Kareler: Alıştırmalar

Lineer Cebir — İşlem Pratiği

Normal denklemler, en iyi yaklaşım ve doğru uydurma pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

25 Ağustos 2026

En Küçük Kareler: Alıştırmalar

Bu çalışma; tutarsız bir $Ax=b$ sistemine en iyi yaklaşımı bulma, normal denklemleri kurma, artık vektörünü denetleme ve veri noktalarına en küçük kareler doğrusu uydurma becerilerini geliştirir.

En küçük kareler çözümü genellikle $Ax=b$ eşitliğini sağlamaz. Amaç $\|b-Ax\|$ değerini küçültmek; geometrik olarak da $b$’yi $A$’nın sütun uzayına izdüşürmektir.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Bu çalışma notunu bir yapay zekâ aracına vererek yeni normal denklem ve doğru uydurma soruları ürettirebilirsiniz. Çözümü hemen vermemesini; önce matrislerin boyutlarını ve artık vektörünün ortogonalliğini denetlemesini isteyin.

Örnek istem:

Bu çalışma notundaki gösterime bağlı kal. Biri tutarlı, ikisi tutarsız üç en küçük kareler sorusu üret. Çözümleri başlangıçta verme; önce kurduğum normal denklemi denetle ve yalnız bir ipucu ver.

Karma çalışma soruları için hazır cevap anahtarı verilmemiştir.

Normal Denklemler

Örnek 1: Tutarsız Sisteme En İyi Yaklaşım

\[ A=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\1&2\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix}. \]

$Ax=b$ sistemi tutarsızdır. En küçük kareler çözümü $\widehat x$, normal denklemleri sağlar:

\[ A^TA\widehat x=A^Tb. \]

\[ A^TA=\begin{bmatrix}3&3\\3&5\end{bmatrix},\qquad A^Tb=\begin{bmatrix}5\\6\end{bmatrix}. \]

Dolayısıyla

\[ \begin{bmatrix}3&3\\3&5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\widehat x_1\\\widehat x_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5\\6\end{bmatrix} \]

sisteminden

\[ \boxed{\widehat x=\begin{bmatrix}7/6\\1/2\end{bmatrix}} \]

elde edilir.

Örnek 2: Yaklaşım ve Artık

\[ \widehat b=A\widehat x =\begin{bmatrix}7/6\\5/3\\13/6\end{bmatrix},\qquad r=b-\widehat b =\begin{bmatrix}-1/6\\1/3\\-1/6\end{bmatrix}. \]

Normal denklemlerin temel kontrolü

\[ A^Tr=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} \]

eşitliğidir. Yani artık vektörü $A$’nın her sütununa diktir.

Örnek 3: Kareler Toplamı

Örnek 2 için en küçük hata kareleri toplamı

\[ \|r\|^2=\left(-\frac16\right)^2 +\left(\frac13\right)^2 +\left(-\frac16\right)^2 =\frac16 \]

olur.

Doğru Uydurma

Örnek 4: Tasarım Matrisini Kurmak

$(0,1)$, $(1,2)$ ve $(2,2)$ noktalarına $y=a+bt$ doğrusu uydurulsun. Denklem

\[ \begin{bmatrix}1&0\\1&1\\1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix} \]

olur. Bu, Örnek 1’deki sistemdir; dolayısıyla

\[ \boxed{y=\frac76+\frac12t} \]

en küçük kareler doğrusudur.

Kontrol. Sabit terimin sütunu tamamen $1$’lerden, eğimin sütunu veri noktalarının $t$ değerlerinden oluşur.

Örnek 5: Tam Uyum

$(0,1)$, $(1,3)$ ve $(2,5)$ noktaları $y=1+2t$ doğrusu üzerindedir. Bu durumda $b$ sütun uzayında olduğundan artık sıfırdır ve en küçük kareler çözümü aynı zamanda $Ax=b$ sisteminin tam çözümüdür.

Geometrik Yorum ve Teklik

Örnek 6: İzdüşüm Olarak Yaklaşım

$\widehat b=A\widehat x$, $b$’nin $\operatorname{Col}(A)$ üzerine ortogonal izdüşümüdür. Bu nedenle

\[ b=\widehat b+r,\qquad \widehat b\in\operatorname{Col}(A),\qquad r\perp\operatorname{Col}(A). \]

Örnek 7: Çözüm Ne Zaman Tektir?

$A$’nın sütunları lineer bağımsızsa $A^TA$ tersinirdir ve

\[ \widehat x=(A^TA)^{-1}A^Tb \]

tek en küçük kareler çözümüdür. Sütunlar bağımlıysa en iyi yaklaşım $\widehat b$ tek olabilir, fakat onu üreten katsayı vektörü tek olmak zorunda değildir.

Hata Avı

Örnek 8: Normal Denklemi Ters Kurmak

Doğru denklem $A^TA\widehat x=A^Tb$’dir. $AA^T$ yazmak genellikle boyutları bozduğu gibi bilinmeyen sayısını da değiştirir.

Örnek 9: Yaklaşımı Tam Çözüm Sanmak

Tutarsız sistemde $A\widehat x=b$ beklenmez. Denetlenmesi gereken eşitlik $A^T(b-A\widehat x)=0$’dır.

Örnek 10: Artığın İşaretini Değiştirmek

$r=b-A\widehat x$ ya da ters işaretli tanım kullanılabilir; ancak aynı çözüm boyunca tanım tutarlı kalmalıdır. Kareler toplamı işaretten etkilenmez, bileşenlerin yorumu etkilenir.

Adım Adım İşlem Pratiği

Örnek 11

\[ A=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix} \]

için $A^TA=3$, $A^Tb=12$ ve $\widehat x=4$ olur. Bu değer, verilerin ortalamasıdır.

Örnek 12

Örnek 11’de $\widehat b=(4,4,4)^T$ ve $r=(-2,0,2)^T$ olur. $A^Tr=-2+0+2=0$’dır.

Örnek 13

\[ A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}3\\-1\\5\end{bmatrix} \]

için $A^TA=I_2$ ve $\widehat x=(3,-1)^T$ olur. Yaklaşım $\widehat b=(3,-1,0)^T$, artık $r=(0,0,5)^T$’dir.

Örnek 14

İki nokta $(0,2)$ ve $(1,5)$ tek bir doğruyu belirler. $y=a+bt$ modeli için $a=2$, $b=3$ ve artık sıfırdır.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

$A=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ ve $b=(1,5,9)^T$ için normal denklemi kurup $\widehat x$ değerini bulun.

Soru 2

Soru 1’de $\widehat b$ ile $r=b-\widehat b$ vektörlerini hesaplayın ve $A^Tr=0$ olduğunu gösterin.

Soru 3

$A=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\1&3\end{bmatrix}$ ve $b=(1,2,4)^T$ için $A^TA$ ile $A^Tb$ matrislerini bulun.

Soru 4

Soru 3’ün normal denklemini çözün ve artık vektörünü hesaplayın.

Soru 5

$(0,2)$, $(1,2)$ ve $(2,5)$ noktalarına $y=a+bt$ doğrusu uydurmak için tasarım matrisini ve veri vektörünü yazın.

Soru 6

Soru 5’teki en küçük kareler doğrusunu bulun.

Soru 7

$(0,-1)$, $(1,1)$ ve $(2,3)$ noktalarında artık vektörünün neden sıfır olacağını işlem yapmadan açıklayın.

Soru 8

$A$’nın sütunları lineer bağımsızsa $A^TA$ matrisinin neden tersinir olduğunu $x^TA^TAx=\|Ax\|^2$ eşitliğini kullanarak açıklayın.

Soru 9

$\widehat b=A\widehat x$ vektörünün neden $\operatorname{Col}(A)$ içinde bulunduğunu ve $b-\widehat b$’nin bu uzaya neden dik olduğunu açıklayın.

Soru 10

$A$’nın iki sütunu aynıysa en küçük kareler katsayılarının neden tek olmayabileceğini açıklayın.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümlerinizi tamamladıktan sonra aşağıdaki istemle yapay zekâdan geri bildirim alabilirsiniz:

Aşağıya en küçük kareler çözümlerimi ekleyeceğim. Sonuçları doğrudan vermeden matris boyutlarını, $A^TA\widehat x=A^Tb$ denklemini, artık vektörünü ve $A^Tr=0$ kontrolünü incele. İlk hatalı adımı göster ve tek bir düzeltme ipucu ver.

--- title: "En Küçük Kareler: Alıştırmalar" subtitle: "Lineer Cebir — İşlem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-25 description: "Normal denklemler, en iyi yaklaşım ve doğru uydurma pratiği." execute: echo: false --- # En Küçük Kareler: Alıştırmalar Bu çalışma; tutarsız bir $Ax=b$ sistemine en iyi yaklaşımı bulma, normal denklemleri kurma, artık vektörünü denetleme ve veri noktalarına en küçük kareler doğrusu uydurma becerilerini geliştirir. En küçük kareler çözümü genellikle $Ax=b$ eşitliğini sağlamaz. Amaç $\|b-Ax\|$ değerini küçültmek; geometrik olarak da $b$'yi $A$'nın sütun uzayına izdüşürmektir. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} Bu çalışma notunu bir yapay zekâ aracına vererek yeni normal denklem ve doğru uydurma soruları ürettirebilirsiniz. Çözümü hemen vermemesini; önce matrislerin boyutlarını ve artık vektörünün ortogonalliğini denetlemesini isteyin. Örnek istem: > Bu çalışma notundaki gösterime bağlı kal. Biri tutarlı, ikisi tutarsız üç en küçük kareler sorusu üret. Çözümleri başlangıçta verme; önce kurduğum normal denklemi denetle ve yalnız bir ipucu ver. Karma çalışma soruları için hazır cevap anahtarı verilmemiştir. ::: ## Normal Denklemler ### Örnek 1: Tutarsız Sisteme En İyi Yaklaşım $$ A=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\1&2\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix}. $$ $Ax=b$ sistemi tutarsızdır. En küçük kareler çözümü $\widehat x$, normal denklemleri sağlar: $$ A^TA\widehat x=A^Tb. $$ $$ A^TA=\begin{bmatrix}3&3\\3&5\end{bmatrix},\qquad A^Tb=\begin{bmatrix}5\\6\end{bmatrix}. $$ Dolayısıyla $$ \begin{bmatrix}3&3\\3&5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\widehat x_1\\\widehat x_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5\\6\end{bmatrix} $$ sisteminden $$ \boxed{\widehat x=\begin{bmatrix}7/6\\1/2\end{bmatrix}} $$ elde edilir. ### Örnek 2: Yaklaşım ve Artık $$ \widehat b=A\widehat x =\begin{bmatrix}7/6\\5/3\\13/6\end{bmatrix},\qquad r=b-\widehat b =\begin{bmatrix}-1/6\\1/3\\-1/6\end{bmatrix}. $$ Normal denklemlerin temel kontrolü $$ A^Tr=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} $$ eşitliğidir. Yani artık vektörü $A$'nın her sütununa diktir. ### Örnek 3: Kareler Toplamı Örnek 2 için en küçük hata kareleri toplamı $$ \|r\|^2=\left(-\frac16\right)^2 +\left(\frac13\right)^2 +\left(-\frac16\right)^2 =\frac16 $$ olur. ## Doğru Uydurma ### Örnek 4: Tasarım Matrisini Kurmak $(0,1)$, $(1,2)$ ve $(2,2)$ noktalarına $y=a+bt$ doğrusu uydurulsun. Denklem $$ \begin{bmatrix}1&0\\1&1\\1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix} $$ olur. Bu, Örnek 1'deki sistemdir; dolayısıyla $$ \boxed{y=\frac76+\frac12t} $$ en küçük kareler doğrusudur. **Kontrol.** Sabit terimin sütunu tamamen $1$'lerden, eğimin sütunu veri noktalarının $t$ değerlerinden oluşur. ### Örnek 5: Tam Uyum $(0,1)$, $(1,3)$ ve $(2,5)$ noktaları $y=1+2t$ doğrusu üzerindedir. Bu durumda $b$ sütun uzayında olduğundan artık sıfırdır ve en küçük kareler çözümü aynı zamanda $Ax=b$ sisteminin tam çözümüdür. ## Geometrik Yorum ve Teklik ### Örnek 6: İzdüşüm Olarak Yaklaşım $\widehat b=A\widehat x$, $b$'nin $\operatorname{Col}(A)$ üzerine ortogonal izdüşümüdür. Bu nedenle $$ b=\widehat b+r,\qquad \widehat b\in\operatorname{Col}(A),\qquad r\perp\operatorname{Col}(A). $$ ### Örnek 7: Çözüm Ne Zaman Tektir? $A$'nın sütunları lineer bağımsızsa $A^TA$ tersinirdir ve $$ \widehat x=(A^TA)^{-1}A^Tb $$ tek en küçük kareler çözümüdür. Sütunlar bağımlıysa en iyi yaklaşım $\widehat b$ tek olabilir, fakat onu üreten katsayı vektörü tek olmak zorunda değildir. ## Hata Avı ### Örnek 8: Normal Denklemi Ters Kurmak Doğru denklem $A^TA\widehat x=A^Tb$'dir. $AA^T$ yazmak genellikle boyutları bozduğu gibi bilinmeyen sayısını da değiştirir. ### Örnek 9: Yaklaşımı Tam Çözüm Sanmak Tutarsız sistemde $A\widehat x=b$ beklenmez. Denetlenmesi gereken eşitlik $A^T(b-A\widehat x)=0$'dır. ### Örnek 10: Artığın İşaretini Değiştirmek $r=b-A\widehat x$ ya da ters işaretli tanım kullanılabilir; ancak aynı çözüm boyunca tanım tutarlı kalmalıdır. Kareler toplamı işaretten etkilenmez, bileşenlerin yorumu etkilenir. ## Adım Adım İşlem Pratiği ### Örnek 11 $$ A=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix} $$ için $A^TA=3$, $A^Tb=12$ ve $\widehat x=4$ olur. Bu değer, verilerin ortalamasıdır. ### Örnek 12 Örnek 11'de $\widehat b=(4,4,4)^T$ ve $r=(-2,0,2)^T$ olur. $A^Tr=-2+0+2=0$'dır. ### Örnek 13 $$ A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}3\\-1\\5\end{bmatrix} $$ için $A^TA=I_2$ ve $\widehat x=(3,-1)^T$ olur. Yaklaşım $\widehat b=(3,-1,0)^T$, artık $r=(0,0,5)^T$'dir. ### Örnek 14 İki nokta $(0,2)$ ve $(1,5)$ tek bir doğruyu belirler. $y=a+bt$ modeli için $a=2$, $b=3$ ve artık sıfırdır. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 $A=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ ve $b=(1,5,9)^T$ için normal denklemi kurup $\widehat x$ değerini bulun. ### Soru 2 Soru 1'de $\widehat b$ ile $r=b-\widehat b$ vektörlerini hesaplayın ve $A^Tr=0$ olduğunu gösterin. ### Soru 3 $A=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\1&3\end{bmatrix}$ ve $b=(1,2,4)^T$ için $A^TA$ ile $A^Tb$ matrislerini bulun. ### Soru 4 Soru 3'ün normal denklemini çözün ve artık vektörünü hesaplayın. ### Soru 5 $(0,2)$, $(1,2)$ ve $(2,5)$ noktalarına $y=a+bt$ doğrusu uydurmak için tasarım matrisini ve veri vektörünü yazın. ### Soru 6 Soru 5'teki en küçük kareler doğrusunu bulun. ### Soru 7 $(0,-1)$, $(1,1)$ ve $(2,3)$ noktalarında artık vektörünün neden sıfır olacağını işlem yapmadan açıklayın. ### Soru 8 $A$'nın sütunları lineer bağımsızsa $A^TA$ matrisinin neden tersinir olduğunu $x^TA^TAx=\|Ax\|^2$ eşitliğini kullanarak açıklayın. ### Soru 9 $\widehat b=A\widehat x$ vektörünün neden $\operatorname{Col}(A)$ içinde bulunduğunu ve $b-\widehat b$'nin bu uzaya neden dik olduğunu açıklayın. ### Soru 10 $A$'nın iki sütunu aynıysa en küçük kareler katsayılarının neden tek olmayabileceğini açıklayın. ## Çalışmanızı Kontrol Etme Çözümlerinizi tamamladıktan sonra aşağıdaki istemle yapay zekâdan geri bildirim alabilirsiniz: > Aşağıya en küçük kareler çözümlerimi ekleyeceğim. Sonuçları doğrudan vermeden matris boyutlarını, $A^TA\widehat x=A^Tb$ denklemini, artık vektörünü ve $A^Tr=0$ kontrolünü incele. İlk hatalı adımı göster ve tek bir düzeltme ipucu ver.