Köşegenleştirme: Alıştırmalar
Lineer Cebir — İşlem Pratiği
Köşegenleştirme: Alıştırmalar
Bu çalışma; bir matrisin köşegenleştirilebilirliğine karar verme, özvektörlerden \(P\) matrisini kurma, \(D\) ile sütun sırasını eşleştirme ve köşegenleştirmeyi matris kuvvetlerinde kullanma becerilerini geliştirir.
\(n\times n\) bir matris, ancak \(n\) tane lineer bağımsız özvektöre sahipse köşegenleştirilebilir. Bu vektörler \(P\)’nin sütunlarına, karşılık gelen özdeğerler aynı sırayla \(D\)’nin köşegenine yerleştirilir.
Bu çalışma notunu bir yapay zekâ aracına vererek yeni köşegenleştirme soruları ürettirebilirsiniz. Aracın çözümü hemen vermemesini, özellikle \(P\) sütunlarıyla \(D\) köşegeninin sırasını denetlemesini isteyin.
Örnek istem:
Bu çalışma notundaki gösterime bağlı kal. Biri köşegenleştirilebilir, biri köşegenleştirilemez iki matris ver. Çözümleri başlangıçta verme; özuzay boyutlarımı ve \(P,D\) eşleşmesini kontrol et.
Karma çalışma soruları için hazır cevap anahtarı verilmemiştir.
Köşegenleştirmeyi Kurmak
Örnek 1: Özverileri Düzenlemek
\[ A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} \]
matrisinin özdeğerleri \(5\) ve \(2\); karşılık gelen özvektörleri \((1,1)^T\) ve \((1,-2)^T\) olsun. İki özvektör bağımsızdır. Bu nedenle
\[ P=\begin{bmatrix}1&1\\1&-2\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}5&0\\0&2\end{bmatrix}. \]
\(\det P=-3\neq0\) olduğundan \(P\) tersinirdir.
Örnek 2: Benzerlik Eşitliği
\[ P^{-1}=\begin{bmatrix}2/3&1/3\\1/3&-1/3\end{bmatrix}. \]
Sütun eşitliklerini birlikte yazarsak \(AP=PD\) elde edilir. Sağdan \(P^{-1}\) ile çarparak
\[ \boxed{A=PDP^{-1}} \]
buluruz. Eş değer biçim \(D=P^{-1}AP\)’dir.
Matris Kuvvetleri
Örnek 3: \(A^n\) Formülü
\(A=PDP^{-1}\) ise ara çarpanlar sadeleşir:
\[ A^n=PD^nP^{-1}. \]
Örnek 1 için
\[ A^n= \begin{bmatrix}1&1\\1&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}5^n&0\\0&2^n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2/3&1/3\\1/3&-1/3\end{bmatrix}. \]
Örnek 4: Üçüncü Kuvvet
\[ D^3=\begin{bmatrix}125&0\\0&8\end{bmatrix} \]
olduğundan
\[ A^3=PD^3P^{-1} =\begin{bmatrix}86&39\\78&47\end{bmatrix}. \]
Doğrudan üç kez matris çarpmak yerine yalnız köşegen elemanların kuvvetleri alınır.
Köşegenleştirilebilirlik Kararı
Örnek 5: Farklı Özdeğerler
\(n\times n\) bir matrisin \(n\) farklı özdeğeri varsa bunlara ait özvektörler lineer bağımsızdır. Dolayısıyla matris köşegenleştirilebilir.
Bu koşul yeterlidir, zorunlu değildir: tekrarlı özdeğere sahip bazı matrisler de köşegenleştirilebilir.
Örnek 6: Tekrarlı Özdeğer ama Yeterli Özvektör
\[ C=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}=2I \]
matrisinin tek özdeğeri \(2\) ve cebirsel katı \(2\)’dir. Buna karşın \(E_2=\mathbb R^2\) olduğundan iki bağımsız özvektör vardır; \(C\) zaten köşegendir.
Örnek 7: Eksik Özvektör
\[ B=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix} \]
için \(E_2=\operatorname{span}\{(1,0)^T\}\) yalnız bir boyutludur. \(2\times2\) matris için iki bağımsız özvektör bulunamadığından \(B\) köşegenleştirilemez.
Örnek 8: Katlarla Karar Vermek
Her özdeğer için
\[ 1\leq \text{geometrik kat}\leq \text{cebirsel kat} \]
olur. Bir matrisin köşegenleştirilebilmesi için bütün özdeğerlerde bu iki katın eşit olması ve geometrik katların toplamının \(n\) olması gerekir.
Hata Avı
Örnek 9: Sütun Sırasını Bozmak
\(P\)’nin ilk sütunu \(\lambda_1\) özdeğerine aitse \(D\)’nin ilk köşegen elemanı da \(\lambda_1\) olmalıdır. \(P\) sütunlarını değiştirip \(D\)’yi değiştirmemek \(AP=PD\) eşitliğini bozar.
Örnek 10: Her Tekrarlı Özdeğeri Engel Sanmak
Tekrarlı özdeğer tek başına köşegenleştirmeyi engellemez. Engel, yeterli sayıda lineer bağımsız özvektör bulunamamasıdır.
Örnek 11: Benzerlik Sırasını Karıştırmak
\(A=PDP^{-1}\) ve \(D=P^{-1}AP\) doğrudur. Genel olarak \(A=P^{-1}DP\) yazılamaz; çarpma sırası korunmalıdır.
Adım Adım İşlem Pratiği
Örnek 12
\(A=\operatorname{diag}(1,3)\) için \(P=I\), \(D=A\) seçilebilir ve \(A^n=\operatorname{diag}(1,3^n)\) olur.
Örnek 13
\[ A=\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix} \]
için \(A^4=\operatorname{diag}(81,1)\)’dir.
Örnek 14
\[ A=\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix} \]
matrisinin özdeğerleri \(1,2\)’dir. Özvektörler sırasıyla \((1,0)^T,(1,1)^T\) seçilirse
\[ P=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}. \]
Örnek 15
Örnek 14 için \(P^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}\) ve \(PDP^{-1}=A\) olur.
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\(A=\begin{bmatrix}3&1\\0&2\end{bmatrix}\) matrisinin özdeğerlerini ve her özdeğere ait bir özvektörü bulun.
Soru 2
Soru 1’deki verilerle \(P\) ve \(D\) matrislerini kurup \(AP=PD\) eşitliğini denetleyin.
Soru 3
Soru 1’deki matris için \(A^5=PD^5P^{-1}\) ifadesini kullanarak \(A^5\) değerini bulun.
Soru 4
\(B=\begin{bmatrix}4&1\\0&4\end{bmatrix}\) matrisinin köşegenleştirilebilir olup olmadığına özuzay boyutuyla karar verin.
Soru 5
\(C=\operatorname{diag}(2,2,5)\) matrisinin tekrarlı özdeğere rağmen neden köşegenleştirilebilir olduğunu açıklayın.
Soru 6
Bir \(3\times3\) matrisin üç farklı özdeğeri varsa neden köşegenleştirilebilir olduğunu açıklayın.
Soru 7
\(P=[v_1\ v_2\ v_3]\) ve \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\) için \(AP=PD\) eşitliğinin sütunlar düzeyinde ne söylediğini yazın.
Soru 8
\(A=PDP^{-1}\) ise \(A^{-1}\) matrisini \(P\) ve \(D\) cinsinden yazın. Bunun için hangi özdeğer koşulu gerekir?
Soru 9
Köşegenleştirilebilir bir \(A\) matrisinin özdeğerleri \(2,-1\) ise \(A^6\) matrisinin özdeğerlerini bulun.
Soru 10
Bir özdeğerin cebirsel katı \(3\), geometrik katı \(2\) ise matrisin neden köşegenleştirilemeyeceğini açıklayın.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümlerinizi tamamladıktan sonra aşağıdaki istemle yapay zekâdan geri bildirim alabilirsiniz:
Aşağıya köşegenleştirme çözümlerimi ekleyeceğim. Sonuçları doğrudan vermeden özvektörlerin bağımsızlığını, \(P\) sütunlarıyla \(D\) köşegeninin sırasını, ters matris hesabını ve \(AP=PD\) kontrolünü incele. İlk hatalı adımı göster ve tek bir ipucu ver.