Koordinatlar ve Taban Değişimi: Alıştırmalar

Lineer Cebir — İşlem Pratiği

Koordinat vektörü bulma ve taban değişim matrisi kurma pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

25 Ağustos 2026

Koordinatlar ve Taban Değişimi: Alıştırmalar

Bu çalışma, bir vektörü seçilen tabanda yazmayı, koordinat sütunundan vektörü geri kurmayı ve iki taban arasında doğru yönlü geçiş matrisi oluşturmayı amaçlar.

Her hesapta tabanı sıralı liste olarak yazın. $v$ ile $[v]_B$ farklı nesnelerdir; koordinat sütununun bileşenleri yalnız belirtilen tabana göre anlam kazanır.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Ek soru isterken başlangıç ve hedef tabanları açıkça yazın. Aracın matris yönünü alt indislerle sınamasını ve çözümü siz denemeden vermemesini isteyin.

Bu çalışma notundaki gösterime bağlı kal. $\mathbb R^2$ ve $P_2$ üzerinde beş taban değişimi sorusu üret. Her soruda önce $P_{C\leftarrow B}$ matrisinin sütunlarını benim kurmamı bekle.

Karma çalışma soruları için hazır cevap anahtarı verilmemiştir.

Koordinat Vektörü

Örnek 1: Düzlemde Koordinat Bulma

\[ B=\left( \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \right),\qquad v=\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}. \]

$v=c_1b_1+c_2b_2$ eşitliği

\[ c_1+c_2=5,\qquad c_1-c_2=1 \]

verir. Buradan $c_1=3$, $c_2=2$ ve

\[ \boxed{[v]_B=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}} \]

elde edilir.

Kontrol. $3b_1+2b_2=(5,1)^T$ olmalıdır.

Örnek 2: Koordinattan Vektöre Dönmek

\[ [w]_B=\begin{bmatrix}-1\\4\end{bmatrix} \]

ise

\[ w=-b_1+4b_2 =-\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +4\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3\\-5\end{bmatrix}. \]

Polinomlarda Koordinat

Örnek 3: Standart Olmayan Polinom Tabanı

\[ B=(1+t,\ t+t^2,\ 1-t^2),\qquad p(t)=3+2t-t^2. \]

\[ p=c_1(1+t)+c_2(t+t^2)+c_3(1-t^2) \]

katsayı karşılaştırması

\[ c_1+c_3=3,\qquad c_1+c_2=2,\qquad c_2-c_3=-1 \]

verir. Bu sistemde bir denklem diğerlerinin sonucu olduğundan verilen liste bağımsız değildir; dolayısıyla $B$ taban olamaz ve koordinatlar benzersiz değildir.

Tanı. Koordinat hesabından önce verilen listenin gerçekten taban olduğunu denetleyin.

Örnek 4: Geçerli Polinom Tabanı

\[ C=(1,\ 1+t,\ 1+t+t^2). \]

$p(t)=2+3t+t^2$ için

\[ p=a\cdot1+b(1+t)+c(1+t+t^2) \]

eşitliğinden $c=1$, $b+c=3$, $a+b+c=2$ bulunur. Dolayısıyla $a=-1$, $b=2$ ve

\[ [p]_C=\begin{bmatrix}-1\\2\\1\end{bmatrix}. \]

Taban Değişim Matrisi

Örnek 5: Sütunlar Nereden Gelir?

$E=(e_1,e_2)$ standart taban ve önceki $B=(b_1,b_2)$ olsun. $B$ koordinatından standart koordinata geçiş matrisi

\[ P_{E\leftarrow B} =\begin{bmatrix}[b_1]_E&[b_2]_E\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}. \]

\[ [v]_E=P_{E\leftarrow B}[v]_B =\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}. \]

Örnek 6: Ters Yön

\[ P_{B\leftarrow E}=P_{E\leftarrow B}^{-1} =\frac12\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}. \]

Bu matris standart koordinatları $B$ koordinatlarına taşır:

\[ [v]_B=P_{B\leftarrow E}[v]_E. \]

Kontrol. Alt indisleri sağdan sola okuyun: giriş sağda, çıkış solda.

Örnek 7: İki Standart Olmayan Taban

\[ B=((1,0)^T,(1,1)^T),\qquad C=((1,1)^T,(1,-1)^T). \]

$b_1=(1,0)^T=\tfrac12c_1+\tfrac12c_2$ ve $b_2=(1,1)^T=c_1$ olduğundan

\[ P_{C\leftarrow B} =\begin{bmatrix}1/2&1\\1/2&0\end{bmatrix}. \]

Sütunlar sırasıyla $[b_1]_C$ ve $[b_2]_C$’dir.

İşlemler ve Koordinatlar

Örnek 8: Aynı Tabanda Toplama

\[ [u]_B=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix},qquad [v]_B=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix} \]

ise

\[ [u+v]_B=\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix},qquad [2u]_B=\begin{bmatrix}4\\-2\end{bmatrix}. \]

Farklı tabanlarda yazılmış koordinat sütunları önce ortak tabana taşınmalıdır.

Hata Avı

Örnek 9: Vektör ile Koordinatı Özdeş Saymak

$[v]_B=(3,2)^T$ olması, standart koordinatlarda $v=(3,2)^T$ olduğu anlamına gelmez. Önce $3b_1+2b_2$ kurulmalıdır.

Örnek 10: Sütunları Ters Kurmak

$P_{C\leftarrow B}$ matrisinin sütunlarına $[c_j]_B$ yazmak ters yönün matrisini üretir. Doğru sütunlar $[b_j]_C$’dir.

Örnek 11: Taban Sırasını Unutmak

$(b_1,b_2)$ ile $(b_2,b_1)$ aynı vektörleri içerir; fakat koordinatların bileşen sırası değişir. Taban sıralı bir listedir.

Adım Adım İşlem Pratiği

Örnek 12

$B=((2,0)^T,(0,3)^T)$ ve $v=(8,6)^T$ için $[v]_B=(4,2)^T$.

Örnek 13

$B=(1,t,t^2)$ ve $p=4-2t+5t^2$ için $[p]_B=(4,-2,5)^T$.

Örnek 14

$P_{E\leftarrow B}=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ ve tersi $P_{B\leftarrow E}=\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/3\end{bmatrix}$.

Örnek 15

\[ P_{D\leftarrow B}=P_{D\leftarrow C}P_{C\leftarrow B}. \]

En sağdaki geçiş önce uygulanır; ara taban indisleri eşleşir.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

$B=((1,2)^T,(2,1)^T)$ ve $v=(5,4)^T$ için $[v]_B$ koordinatını bulun.

Soru 2

$B=((1,1,0)^T,(0,1,1)^T,(1,0,1)^T)$ tabanında $v=(4,3,5)^T$ koordinatını bulun.

Soru 3

$B=(1,1+t,1+t+t^2)$ ve $p=4+3t+2t^2$ için $[p]_B$’yi bulun.

Soru 4

$[v]_B=(-2,3)^T$ ve $B=((2,1)^T,(1,-1)^T)$ ise $v$’yi standart koordinatlarda yazın.

Soru 5

$B=((1,0)^T,(1,2)^T)$ için $P_{E\leftarrow B}$ ve $P_{B\leftarrow E}$ matrislerini bulun.

Soru 6

$B=((1,1)^T,(1,-1)^T)$ ve $C=((2,0)^T,(0,1)^T)$ için $P_{C\leftarrow B}$ matrisini kurun.

Soru 7

Bir tabanın vektörlerinin sırası değiştirildiğinde geçiş matrisinin hangi kısmı değişir?

Soru 8

$P_{C\leftarrow B}=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}$ ve $[v]_B=(3,-1)^T$ için $[v]_C$’yi bulun.

Soru 9

$[u]_B=(1,2)^T$, $[v]_C=(3,4)^T$ verildiğinde bu sütunların neden doğrudan toplanamayacağını açıklayın.

Soru 10

$P_{D\leftarrow C}$ ve $P_{C\leftarrow B}$ verildiğinde $B$’den $D$’ye geçişin çarpım sırasını gerekçelendirin.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Her sonuçta koordinat sütunundan vektörü geri kurarak kontrol yapın. Geçiş matrisinde alt indisleri sağdan sola okuyun ve sütunların doğru taban vektörlerine ait olduğunu sınayın.

Çözümümü vektör–koordinat ayrımı, taban sırası, $P_{C\leftarrow B}$ yönü, sütunların $[b_j]_C$ olması ve ters matris ilişkisi açısından incele. Hata varsa doğru matrisi hemen verme; önce yön veya sütun seçimindeki hatayı belirt.

--- title: "Koordinatlar ve Taban Değişimi: Alıştırmalar" subtitle: "Lineer Cebir — İşlem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-25 description: "Koordinat vektörü bulma ve taban değişim matrisi kurma pratiği." execute: echo: false --- # Koordinatlar ve Taban Değişimi: Alıştırmalar Bu çalışma, bir vektörü seçilen tabanda yazmayı, koordinat sütunundan vektörü geri kurmayı ve iki taban arasında doğru yönlü geçiş matrisi oluşturmayı amaçlar. Her hesapta tabanı sıralı liste olarak yazın. $v$ ile $[v]_B$ farklı nesnelerdir; koordinat sütununun bileşenleri yalnız belirtilen tabana göre anlam kazanır. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} Ek soru isterken başlangıç ve hedef tabanları açıkça yazın. Aracın matris yönünü alt indislerle sınamasını ve çözümü siz denemeden vermemesini isteyin. > Bu çalışma notundaki gösterime bağlı kal. $\mathbb R^2$ ve $P_2$ üzerinde beş taban değişimi sorusu üret. Her soruda önce $P_{C\leftarrow B}$ matrisinin sütunlarını benim kurmamı bekle. Karma çalışma soruları için hazır cevap anahtarı verilmemiştir. ::: ## Koordinat Vektörü ### Örnek 1: Düzlemde Koordinat Bulma $$ B=\left( \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \right),\qquad v=\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}. $$ $v=c_1b_1+c_2b_2$ eşitliği $$ c_1+c_2=5,\qquad c_1-c_2=1 $$ verir. Buradan $c_1=3$, $c_2=2$ ve $$ \boxed{[v]_B=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}} $$ elde edilir. **Kontrol.** $3b_1+2b_2=(5,1)^T$ olmalıdır. ### Örnek 2: Koordinattan Vektöre Dönmek $$ [w]_B=\begin{bmatrix}-1\\4\end{bmatrix} $$ ise $$ w=-b_1+4b_2 =-\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +4\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3\\-5\end{bmatrix}. $$ ## Polinomlarda Koordinat ### Örnek 3: Standart Olmayan Polinom Tabanı $$ B=(1+t,\ t+t^2,\ 1-t^2),\qquad p(t)=3+2t-t^2. $$ $$ p=c_1(1+t)+c_2(t+t^2)+c_3(1-t^2) $$ katsayı karşılaştırması $$ c_1+c_3=3,\qquad c_1+c_2=2,\qquad c_2-c_3=-1 $$ verir. Bu sistemde bir denklem diğerlerinin sonucu olduğundan verilen liste bağımsız değildir; dolayısıyla $B$ taban olamaz ve koordinatlar benzersiz değildir. **Tanı.** Koordinat hesabından önce verilen listenin gerçekten taban olduğunu denetleyin. ### Örnek 4: Geçerli Polinom Tabanı $$ C=(1,\ 1+t,\ 1+t+t^2). $$ $p(t)=2+3t+t^2$ için $$ p=a\cdot1+b(1+t)+c(1+t+t^2) $$ eşitliğinden $c=1$, $b+c=3$, $a+b+c=2$ bulunur. Dolayısıyla $a=-1$, $b=2$ ve $$ [p]_C=\begin{bmatrix}-1\\2\\1\end{bmatrix}. $$ ## Taban Değişim Matrisi ### Örnek 5: Sütunlar Nereden Gelir? $E=(e_1,e_2)$ standart taban ve önceki $B=(b_1,b_2)$ olsun. $B$ koordinatından standart koordinata geçiş matrisi $$ P_{E\leftarrow B} =\begin{bmatrix}[b_1]_E&[b_2]_E\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}. $$ $$ [v]_E=P_{E\leftarrow B}[v]_B =\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}. $$ ### Örnek 6: Ters Yön $$ P_{B\leftarrow E}=P_{E\leftarrow B}^{-1} =\frac12\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}. $$ Bu matris standart koordinatları $B$ koordinatlarına taşır: $$ [v]_B=P_{B\leftarrow E}[v]_E. $$ **Kontrol.** Alt indisleri sağdan sola okuyun: giriş sağda, çıkış solda. ### Örnek 7: İki Standart Olmayan Taban $$ B=((1,0)^T,(1,1)^T),\qquad C=((1,1)^T,(1,-1)^T). $$ $b_1=(1,0)^T=\tfrac12c_1+\tfrac12c_2$ ve $b_2=(1,1)^T=c_1$ olduğundan $$ P_{C\leftarrow B} =\begin{bmatrix}1/2&1\\1/2&0\end{bmatrix}. $$ Sütunlar sırasıyla $[b_1]_C$ ve $[b_2]_C$'dir. ## İşlemler ve Koordinatlar ### Örnek 8: Aynı Tabanda Toplama $$ [u]_B=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix},qquad [v]_B=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix} $$ ise $$ [u+v]_B=\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix},qquad [2u]_B=\begin{bmatrix}4\\-2\end{bmatrix}. $$ Farklı tabanlarda yazılmış koordinat sütunları önce ortak tabana taşınmalıdır. ## Hata Avı ### Örnek 9: Vektör ile Koordinatı Özdeş Saymak $[v]_B=(3,2)^T$ olması, standart koordinatlarda $v=(3,2)^T$ olduğu anlamına gelmez. Önce $3b_1+2b_2$ kurulmalıdır. ### Örnek 10: Sütunları Ters Kurmak $P_{C\leftarrow B}$ matrisinin sütunlarına $[c_j]_B$ yazmak ters yönün matrisini üretir. Doğru sütunlar $[b_j]_C$'dir. ### Örnek 11: Taban Sırasını Unutmak $(b_1,b_2)$ ile $(b_2,b_1)$ aynı vektörleri içerir; fakat koordinatların bileşen sırası değişir. Taban sıralı bir listedir. ## Adım Adım İşlem Pratiği ### Örnek 12 $B=((2,0)^T,(0,3)^T)$ ve $v=(8,6)^T$ için $[v]_B=(4,2)^T$. ### Örnek 13 $B=(1,t,t^2)$ ve $p=4-2t+5t^2$ için $[p]_B=(4,-2,5)^T$. ### Örnek 14 $P_{E\leftarrow B}=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ ve tersi $P_{B\leftarrow E}=\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/3\end{bmatrix}$. ### Örnek 15 $$ P_{D\leftarrow B}=P_{D\leftarrow C}P_{C\leftarrow B}. $$ En sağdaki geçiş önce uygulanır; ara taban indisleri eşleşir. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 $B=((1,2)^T,(2,1)^T)$ ve $v=(5,4)^T$ için $[v]_B$ koordinatını bulun. ### Soru 2 $B=((1,1,0)^T,(0,1,1)^T,(1,0,1)^T)$ tabanında $v=(4,3,5)^T$ koordinatını bulun. ### Soru 3 $B=(1,1+t,1+t+t^2)$ ve $p=4+3t+2t^2$ için $[p]_B$'yi bulun. ### Soru 4 $[v]_B=(-2,3)^T$ ve $B=((2,1)^T,(1,-1)^T)$ ise $v$'yi standart koordinatlarda yazın. ### Soru 5 $B=((1,0)^T,(1,2)^T)$ için $P_{E\leftarrow B}$ ve $P_{B\leftarrow E}$ matrislerini bulun. ### Soru 6 $B=((1,1)^T,(1,-1)^T)$ ve $C=((2,0)^T,(0,1)^T)$ için $P_{C\leftarrow B}$ matrisini kurun. ### Soru 7 Bir tabanın vektörlerinin sırası değiştirildiğinde geçiş matrisinin hangi kısmı değişir? ### Soru 8 $P_{C\leftarrow B}=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}$ ve $[v]_B=(3,-1)^T$ için $[v]_C$'yi bulun. ### Soru 9 $[u]_B=(1,2)^T$, $[v]_C=(3,4)^T$ verildiğinde bu sütunların neden doğrudan toplanamayacağını açıklayın. ### Soru 10 $P_{D\leftarrow C}$ ve $P_{C\leftarrow B}$ verildiğinde $B$'den $D$'ye geçişin çarpım sırasını gerekçelendirin. ## Çalışmanızı Kontrol Etme Her sonuçta koordinat sütunundan vektörü geri kurarak kontrol yapın. Geçiş matrisinde alt indisleri sağdan sola okuyun ve sütunların doğru taban vektörlerine ait olduğunu sınayın. > Çözümümü vektör–koordinat ayrımı, taban sırası, $P_{C\leftarrow B}$ yönü, sütunların $[b_j]_C$ olması ve ters matris ilişkisi açısından incele. Hata varsa doğru matrisi hemen verme; önce yön veya sütun seçimindeki hatayı belirt.