Dönem Sonu Çalışma Havuzu

MATE 213 Lineer Cebir — 50 Soru

Matris işlemleri, lineer sistemler, vektör uzayları, ortogonallik, özdeğerler ve lineer dönüşümler ağırlıklı 50 soruluk çalışma havuzu.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

25 Ağustos 2026

Dönem Sonu Çalışma Havuzu

Bu havuz, bütün konu başlıklarını eşit sayıda temsil etmez. Sorular; uygun yöntemi seçme, işlemi düzenli yürütme, sonucu farklı bir yoldan denetleme ve cebirsel sonuçları geometrik olarak yorumlama becerileri çevresinde toplanmıştır.

Her soruda önce kullanılan uzayları, matris boyutlarını ve karar ölçütünü yazın. Satır işlemleri boyunca pivotları; taban sorularında bağımsızlık ile germe koşullarını; özdeğer sorularında cebirsel ve geometrik katları izleyin. Soruların çözümleri bu notta verilmemiştir.

Konu Takip Yönergesi

Tam Çözüm Düzeyinde Çalışılacaklar

Bu başlıklarda boş kâğıtta baştan sona çözüm kurabilmelisiniz:

Matris ve vektör işlemleri
Gauss ve Gauss–Jordan eliminasyonu
Ters matris ve determinant
Alt uzay, taban ve boyut
Koordinatlar ve taban değişimi
Ortogonal izdüşüm ve Gram–Schmidt
En küçük kareler yaklaşımı
Özdeğer ve özvektör hesabı
Köşegenleştirme ve matris kuvvetleri
Lineer dönüşüm, çekirdek ve görüntü

Bu grupta yalnız sonuç yazmak yeterli bir hazırlık değildir. Kullandığınız satır işlemlerini, seçtiğiniz pivot sütunlarını, kurduğunuz karakteristik polinomu ve gerekli denetim adımlarını gösterebilmelisiniz.

Kısa İşlem Düzeyinde Çalışılacaklar

Bu başlıklarda ölçütü hızlı kurup tek veya birkaç adımda sonuca gidebilmelisiniz:

Matris boyutu ve işlem uygunluğu
Matris–vektör ve matris–matris çarpımı
Satır işleminin determinant etkisi
Pivot, rank ve serbest değişken sayısı
Germe ve lineer bağımsızlık kararı
Koordinat sütununu geri kurma
İç çarpım, norm ve açı
İzdüşüm katsayısını hesaplama
Karakteristik polinomu yazma
Özvektör adayını sınama

Kuramsal Dayanak Olarak İzlenecekler

Aşağıdaki başlıklar işlemlerin neden çalıştığını açıklar. Tanımları, eşdeğerlikleri ve aralarındaki bağlantıları bilin:

Vektör uzayı ve alt uzay koşulları
Lineer bağımsızlık ve homojen sistem
Rank–nullity boyut teoremi
İç çarpımın temel özellikleri
İzdüşümün en iyi yaklaşım özelliği
Cebirsel ve geometrik kat
Köşegenleştirilebilirlik ölçütü
Çekirdek, görüntü ve birebirlik

Bu Havuzun Dışında Tutulan Başlıklar

Karmaşık vektör uzayları
Jordan normal biçimi
Spektral teoremin ileri sonuçları
Sayısal özdeğer algoritmaları
QR ayrışımının sayısal uygulamaları

Bu başlıklar mevcut ders kapsamının ötesindedir; aşağıdaki çalışma sorularının dağılımına alınmamıştır.

Önerilen Çalışma Sırası

Önce kısa işlem sorularını tamamlayın.
Uzun sorularda süre tutun.
Her kararın ölçütünü yazın.
Sonucu yerine koyarak doğrulayın.
Hatalı konunun çalışma notuna dönün.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Önce kendi çözümünüzü tamamlayın. Yapay zekâdan doğru cevabı istemek yerine ilk yanlış satır işlemini, boyut uyuşmazlığını, hatalı pivot seçimini, karakteristik polinomu veya taban değişiminin yönünü incelemesini isteyin. Düzeltmeden sonra soruyu baştan yeniden çözün.

1. Vektörler, Matrisler ve Lineer Sistemler

Soru 1

\[ u=\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix},\qquad v=\begin{bmatrix}1\\4\\-2\end{bmatrix} \]

için $3u-2v$ vektörünü bulun. Sonucu bileşenler üzerinden denetleyin.

Soru 2

\[ w=\begin{bmatrix}5\\1\\4\end{bmatrix},\qquad v_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\qquad v_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix} \]

veriliyor. $w$ vektörünün $v_1$ ve $v_2$’nin lineer birleşimi olup olmadığına karar verin.

Soru 3

Aşağıdaki matrislerin boyutlarını ve özel türlerini yazın:

\[ A=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&4\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}0&-2\\2&0\end{bmatrix}. \]

Soru 4

\[ A=\begin{bmatrix}1&-2\\3&0\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}4&1\\-1&2\end{bmatrix} \]

için $2A-B$, $A^T$ ve $(A+B)^T$ matrislerini hesaplayın. Son sonucu $A^T+B^T$ ile karşılaştırın.

Soru 5

\[ A=\begin{bmatrix}1&2&-1\\0&3&4\end{bmatrix},\qquad x=\begin{bmatrix}2\\-1\\1\end{bmatrix} \]

için $Ax$ çarpımını hem satır–vektör iç çarpımlarıyla hem sütunların lineer birleşimiyle bulun.

Soru 6

\[ A=\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\\3&1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}2&0&1\\-1&4&2\end{bmatrix} \]

için tanımlı olan $AB$ ve $BA$ çarpımlarını hesaplayın; sonuçların boyutlarını çarpmadan önce yazın.

Soru 7

\[ A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix} \]

için $AB$ ve $BA$ matrislerini bulun. Bu örnek üzerinden matris çarpımının değişme özelliğini neden taşımadığını açıklayın.

Soru 8

\[ \begin{aligned} x-2y+z&=3,\\ 2x+y-z&=1,\\ 3x-y+2z&=7 \end{aligned} \]

sistemini $Ax=b$ biçiminde ve genişletilmiş matris biçiminde yazın. Matris boyutlarının bilinmeyen ve denklem sayılarıyla ilişkisini belirtin.

Soru 9

\[ \begin{aligned} x+y+z&=6,\\ 2x-y+z&=3,\\ x+2y-z&=2 \end{aligned} \]

sistemini Gauss eliminasyonuyla çözün. Geri yerine koyarak üç denklemi de doğrulayın.

Soru 10

$a\in\mathbb R$ olmak üzere

\[ \begin{aligned} x+y+z&=2,\\ 2x+2y+2z&=4,\\ x+y+az&=3 \end{aligned} \]

sisteminin hangi $a$ değerlerinde çözümsüz veya sonsuz çözümlü olduğunu belirleyin.

Soru 11

\[ A=\begin{bmatrix} 1&2&-1&3\\ 0&1&2&-1\\ 2&5&3&1 \end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}4\\1\\9\end{bmatrix} \]

için $Ax=b$ sistemini RREF biçimine getirin. Pivot ve serbest değişkenleri belirleyip çözümü parametreli vektör biçiminde yazın.

Soru 12

$3\times3$ birim matrise sırasıyla

\[ R_1\leftrightarrow R_3,\qquad R_2\leftarrow2R_2,\qquad R_3\leftarrow R_3-4R_1 \]

işlemlerini uygulayan elementer matrisleri ayrı ayrı yazın. Bu matrislerin $A$’ya soldan çarpıldığında hangi satır işlemlerini yaptığını açıklayın.

Soru 13

\[ A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&1\\2&3&1\end{bmatrix} \]

matrisinin tersini Gauss–Jordan yöntemiyle bulun. Sonucu hem $AA^{-1}$ hem $A^{-1}A$ çarpımıyla denetleyin.

Soru 14

\[ A=\begin{bmatrix}2&1&0\\-1&3&2\\4&0&1\end{bmatrix} \]

matrisinin determinantını birinci satır boyunca kofaktör açılımıyla bulun. Aynı sonucu uygun satır işlemleriyle üçgensel biçime geçerek doğrulayın.

Soru 15

\[ \begin{aligned} 2x-y&=5,\\ 3x+2y&=4 \end{aligned} \]

sistemini Cramer kuralıyla çözün. Kuralın uygulanabilmesi için gereken determinant koşulunu açıkça yazın.

2. Vektör Uzayları, Taban ve Koordinatlar

Soru 16

\[ v_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\qquad v_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\qquad v_3=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} \]

ve $w=(3,2,1)^T$ veriliyor. $w$ vektörünün bu üç vektörün germesinde olup olmadığına karar verin.

Soru 17

\[ W=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x-2y+z=0\} \]

kümesinin alt uzay olduğunu lineer birleşimlere kapalılık testiyle gösterin. Ardından $W$ için bir üreteç listesi bulun.

Soru 18

Aşağıdaki kümelerin alt uzay olup olmadığına karar verin. Alt uzay olmayan her küme için bozulan koşulu bir karşı örnekle gösterin:

\[ U_1=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x+y=1\}, \]

\[ U_2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:z=0\}, \]

\[ U_3=\{p\in P_2:p(0)=0\}. \]

Soru 19

\[ A=\begin{bmatrix}1&2&-1\\2&4&-2\end{bmatrix} \]

için $\operatorname{Null}(A)$ ve $\operatorname{Col}(A)$ uzaylarına birer taban bulun. Bu iki uzayın hangi üst uzaylarda bulunduğunu yazın.

Soru 20

\[ v_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\qquad v_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\qquad v_3=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix} \]

listesinin lineer bağımsız olup olmadığını homojen sistem kurarak belirleyin.

Soru 21

\[ A=\begin{bmatrix} 1&0&1&2\\ 0&1&1&1\\ 1&1&2&3 \end{bmatrix} \]

matrisinin sütun uzayı için özgün sütunlardan bir taban seçin. Seçilmeyen sütunları taban sütunlarının lineer birleşimi olarak yazın.

Soru 22

$A\in\mathbb R^{4\times7}$ ve $\operatorname{rank}(A)=3$ olsun. $\operatorname{Col}(A)$, $\operatorname{Row}(A)$ ve $\operatorname{Null}(A)$ uzaylarının boyutlarını bulun. Sonucu rank–nullity boyut teoremiyle ilişkilendirin.

Soru 23

\[ \mathcal B=(1+t,\ t-t^2,\ 1+t^2) \]

listesinin $P_2$ için taban olup olmadığını katsayı matrisi üzerinden belirleyin. Liste taban değilse açık bir bağımlılık bağıntısı yazın.

Soru 24

\[ B=\left( \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix} \right),\qquad v=\begin{bmatrix}7\\1\end{bmatrix} \]

için $[v]_B$ koordinatını bulun. Koordinat sütunundan $v$’yi geri kurarak sonucu denetleyin.

Soru 25

$E$ standart taban ve

\[ B=\left( \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} \right) \]

olsun. $P_{E\leftarrow B}$ ve $P_{B\leftarrow E}$ matrislerini bulun. Çarpımlarının birim matris olduğunu gösterin.

Soru 26

$B=(1,1+t,1+t+t^2)$ tabanında

\[ p(t)=5+4t+2t^2 \]

polinomunun koordinat sütununu bulun. Sonucu polinomları yeniden birleştirerek doğrulayın.

Soru 27

$B,C,D$, aynı sonlu boyutlu uzayın sıralı tabanları olsun. Aşağıdaki eşitliği matrislerin giriş ve çıkış koordinatlarını izleyerek gerekçelendirin:

\[ P_{D\leftarrow B}=P_{D\leftarrow C}P_{C\leftarrow B}. \]

Soru 28

Boyutu $n$ olan bir vektör uzayındaki $n+1$ vektörlü her listenin neden lineer bağımlı olduğunu rank üzerinden açıklayın. Sonucu $P_3$ içinde beş polinomlu bir listeye uygulayın.

3. İç Çarpım, Ortogonallik ve En Küçük Kareler

Soru 29

\[ u=\begin{bmatrix}2\\-1\\2\end{bmatrix},\qquad v=\begin{bmatrix}1\\3\\-2\end{bmatrix} \]

için $u\cdot v$, $\|u\|$, $\|v\|$ ve $\|u-v\|$ değerlerini bulun.

Soru 30

\[ a=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} \]

vektörleri arasındaki açıyı bulun. Açının dar, dik veya geniş oluşunu iç çarpımın işaretiyle ilişkilendirin.

Soru 31

$\mathbb R^2$ üzerinde

\[ \langle x,y\rangle_W=2x_1y_1+5x_2y_2 \]

iç çarpımı veriliyor. $u=(1,-2)^T$ ve $v=(3,1)^T$ için iç çarpımı ve $W$-normlarını hesaplayın. Standart Öklid normlarından neden farklı sonuç çıktığını açıklayın.

Soru 32

$v=(5,1)^T$ vektörünü $u=(1,2)^T$ doğrultusuna ortogonal olarak izdüşürün. $v$’yi izdüşüm ve dik hata bileşenlerinin toplamı biçiminde yazın.

Soru 33

\[ u_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\qquad u_2=\begin{bmatrix}0\\0\\2\end{bmatrix},\qquad v=\begin{bmatrix}3\\-1\\4\end{bmatrix} \]

veriliyor. $u_1,u_2$ vektörlerinin gerdiği uzaya $v$’nin izdüşümünü bulun. Hata vektörünün iki taban vektörüne de dik olduğunu gösterin.

Soru 34

\[ a_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\qquad a_2=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} \]

listesine Gram–Schmidt yöntemini uygulayın ve aynı alt uzay için ortogonal bir taban elde edin.

Soru 35

\[ a_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\qquad a_2=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\qquad a_3=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix} \]

listesini Gram–Schmidt yöntemiyle ortonormalleştirin. Sonuç vektörlerinin karşılıklı iç çarpımlarını hesaplayın.

Soru 36

\[ A=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\1&2\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}2\\2\\5\end{bmatrix} \]

için normal denklemleri kurup en küçük kareler çözümü $\widehat x$’i bulun. $r=b-A\widehat x$ artık vektörünün $A^Tr=0$ koşulunu sağladığını gösterin.

Soru 37

$(0,1)$, $(1,2)$, $(2,2)$ ve $(3,4)$ noktalarına $y=a+bt$ doğrusu uydurun. Tasarım matrisini kurun, normal denklemleri çözün ve hata kareleri toplamını hesaplayın.

4. Özdeğerler, Köşegenleştirme ve Lineer Dönüşümler

Soru 38

\[ A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} \]

için $(1,1)^T$ ve $(1,-2)^T$ vektörlerinin özvektör olup olmadığını doğrudan $Av=\lambda v$ eşitliğiyle sınayın.

Soru 39

\[ A=\begin{bmatrix}3&2\\1&2\end{bmatrix} \]

matrisinin karakteristik polinomunu, özdeğerlerini ve her özdeğere ait bir özuzay tabanını bulun.

Soru 40

\[ T=\begin{bmatrix}2&-1&4\\0&3&5\\0&0&-2\end{bmatrix} \]

matrisinin özdeğerlerini işlem yapmadan yazın. Özdeğerlerin toplamını ve çarpımını matrisin izi ve determinantıyla karşılaştırın.

Soru 41

\[ B=\begin{bmatrix}5&1\\0&5\end{bmatrix} \]

matrisinde $5$ özdeğerinin cebirsel ve geometrik katlarını bulun. Matrisin köşegenleştirilebilir olup olmadığına karar verin.

Soru 42

Aşağıdaki matrislerin köşegenleştirilebilir olup olmadığına gerekçeli olarak karar verin:

\[ A_1=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix},\qquad A_2=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix},\qquad A_3=\begin{bmatrix}1&1\\0&3\end{bmatrix}. \]

Soru 43

\[ A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} \]

matrisi için $A=PDP^{-1}$ köşegenleştirmesini kurun. $P$ sütunlarıyla $D$’nin köşegen sırasının uyumunu $AP=PD$ eşitliğiyle denetleyin.

Soru 44

Soru 43’teki köşegenleştirmeyi kullanarak $A^6$ matrisini bulun. Sonucu $A^2$ üzerinden yapılabilecek bir denetimle karşılaştırın.

Soru 45

Aşağıdaki dönüşümlerin lineer olup olmadığına karar verin. Lineer olmayanlar için uygun bir koşulu bozan karşı örnek verin:

\[ T_1(x,y)=(x+2y,3x-y), \]

\[ T_2(x,y)=(x+1,y), \]

\[ T_3(x,y)=(xy,y). \]

Soru 46

$T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ dönüşümü

\[ T(x,y)=(x-y,2x+y,3y) \]

ile veriliyor. $T$’nin standart matrisini sütun görüntülerinden kurun ve $T(2,-1)^T$ değerini hem formülden hem matris çarpımından bulun.

Soru 47

$D:P_3\to P_2$, $D(p)=p'$ dönüşümü için tanım uzayında $B=(1,t,t^2,t^3)$ ve değer uzayında $C=(1,t,t^2)$ tabanlarını kullanın. $[D]_{C\leftarrow B}$ matrisini kurun.

Soru 48

\[ A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&1\end{bmatrix} \]

ile verilen $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ dönüşümünün çekirdeği ve görüntüsü için birer taban bulun. Boyutları rank–nullity teoremiyle denetleyin ve $T$’nin birebir ya da örten olup olmadığını belirleyin.

Soru 49

$T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ dönüşümünün matrisi

\[ A=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\\-1&3\end{bmatrix} \]

ve $S:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ dönüşümünün matrisi

\[ B=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&2&1\end{bmatrix} \]

olsun. $S\circ T$ ve $T\circ S$ dönüşümlerinin matrislerini bulun; tanım ve değer uzaylarını ayrı ayrı yazın.

Soru 50

$T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ dönüşümü

\[ T(x,y)=(2x+y,x+2y) \]

ile veriliyor. Dönüşümün matrisini, özdeğerlerini ve özdoğrultularını bulun. Bir özvektör tabanı kullanarak matrisi köşegenleştirin ve $T^n(1,0)^T$ ifadesini kapalı biçimde yazın.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü matris boyutları, satır işlemleri, pivot ve serbest değişkenler, germe–bağımsızlık ayrımı, taban değişiminin yönü, iç çarpım ve izdüşüm katsayıları, normal denklemler, karakteristik polinom, özuzay boyutları, köşegenleştirme sırası ve çekirdek–görüntü ayrımı bakımından incele. Hata varsa doğru çözümü vermeden ilk yanlış adımı ve yeniden bakmam gereken konu başlığını belirt.

--- title: "Dönem Sonu Çalışma Havuzu" subtitle: "MATE 213 Lineer Cebir — 50 Soru" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-25 description: "Matris işlemleri, lineer sistemler, vektör uzayları, ortogonallik, özdeğerler ve lineer dönüşümler ağırlıklı 50 soruluk çalışma havuzu." execute: echo: false --- # Dönem Sonu Çalışma Havuzu Bu havuz, bütün konu başlıklarını eşit sayıda temsil etmez. Sorular; uygun yöntemi seçme, işlemi düzenli yürütme, sonucu farklı bir yoldan denetleme ve cebirsel sonuçları geometrik olarak yorumlama becerileri çevresinde toplanmıştır. Her soruda önce kullanılan uzayları, matris boyutlarını ve karar ölçütünü yazın. Satır işlemleri boyunca pivotları; taban sorularında bağımsızlık ile germe koşullarını; özdeğer sorularında cebirsel ve geometrik katları izleyin. Soruların çözümleri bu notta verilmemiştir. ## Konu Takip Yönergesi ### Tam Çözüm Düzeyinde Çalışılacaklar Bu başlıklarda boş kâğıtta baştan sona çözüm kurabilmelisiniz: - Matris ve vektör işlemleri - Gauss ve Gauss–Jordan eliminasyonu - Ters matris ve determinant - Alt uzay, taban ve boyut - Koordinatlar ve taban değişimi - Ortogonal izdüşüm ve Gram–Schmidt - En küçük kareler yaklaşımı - Özdeğer ve özvektör hesabı - Köşegenleştirme ve matris kuvvetleri - Lineer dönüşüm, çekirdek ve görüntü Bu grupta yalnız sonuç yazmak yeterli bir hazırlık değildir. Kullandığınız satır işlemlerini, seçtiğiniz pivot sütunlarını, kurduğunuz karakteristik polinomu ve gerekli denetim adımlarını gösterebilmelisiniz. ### Kısa İşlem Düzeyinde Çalışılacaklar Bu başlıklarda ölçütü hızlı kurup tek veya birkaç adımda sonuca gidebilmelisiniz: - Matris boyutu ve işlem uygunluğu - Matris–vektör ve matris–matris çarpımı - Satır işleminin determinant etkisi - Pivot, rank ve serbest değişken sayısı - Germe ve lineer bağımsızlık kararı - Koordinat sütununu geri kurma - İç çarpım, norm ve açı - İzdüşüm katsayısını hesaplama - Karakteristik polinomu yazma - Özvektör adayını sınama ### Kuramsal Dayanak Olarak İzlenecekler Aşağıdaki başlıklar işlemlerin neden çalıştığını açıklar. Tanımları, eşdeğerlikleri ve aralarındaki bağlantıları bilin: - Vektör uzayı ve alt uzay koşulları - Lineer bağımsızlık ve homojen sistem - Rank–nullity boyut teoremi - İç çarpımın temel özellikleri - İzdüşümün en iyi yaklaşım özelliği - Cebirsel ve geometrik kat - Köşegenleştirilebilirlik ölçütü - Çekirdek, görüntü ve birebirlik ### Bu Havuzun Dışında Tutulan Başlıklar - Karmaşık vektör uzayları - Jordan normal biçimi - Spektral teoremin ileri sonuçları - Sayısal özdeğer algoritmaları - QR ayrışımının sayısal uygulamaları Bu başlıklar mevcut ders kapsamının ötesindedir; aşağıdaki çalışma sorularının dağılımına alınmamıştır. ### Önerilen Çalışma Sırası 1. Önce kısa işlem sorularını tamamlayın. 2. Uzun sorularda süre tutun. 3. Her kararın ölçütünü yazın. 4. Sonucu yerine koyarak doğrulayın. 5. Hatalı konunun çalışma notuna dönün. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Önce kendi çözümünüzü tamamlayın. Yapay zekâdan doğru cevabı istemek yerine > ilk yanlış satır işlemini, boyut uyuşmazlığını, hatalı pivot seçimini, > karakteristik polinomu veya taban değişiminin yönünü incelemesini isteyin. > Düzeltmeden sonra soruyu baştan yeniden çözün. ::: ## 1. Vektörler, Matrisler ve Lineer Sistemler ### Soru 1 $$ u=\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix},\qquad v=\begin{bmatrix}1\\4\\-2\end{bmatrix} $$ için $3u-2v$ vektörünü bulun. Sonucu bileşenler üzerinden denetleyin. ### Soru 2 $$ w=\begin{bmatrix}5\\1\\4\end{bmatrix},\qquad v_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\qquad v_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix} $$ veriliyor. $w$ vektörünün $v_1$ ve $v_2$'nin lineer birleşimi olup olmadığına karar verin. ### Soru 3 Aşağıdaki matrislerin boyutlarını ve özel türlerini yazın: $$ A=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&4\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}0&-2\\2&0\end{bmatrix}. $$ ### Soru 4 $$ A=\begin{bmatrix}1&-2\\3&0\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}4&1\\-1&2\end{bmatrix} $$ için $2A-B$, $A^T$ ve $(A+B)^T$ matrislerini hesaplayın. Son sonucu $A^T+B^T$ ile karşılaştırın. ### Soru 5 $$ A=\begin{bmatrix}1&2&-1\\0&3&4\end{bmatrix},\qquad x=\begin{bmatrix}2\\-1\\1\end{bmatrix} $$ için $Ax$ çarpımını hem satır–vektör iç çarpımlarıyla hem sütunların lineer birleşimiyle bulun. ### Soru 6 $$ A=\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\\3&1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}2&0&1\\-1&4&2\end{bmatrix} $$ için tanımlı olan $AB$ ve $BA$ çarpımlarını hesaplayın; sonuçların boyutlarını çarpmadan önce yazın. ### Soru 7 $$ A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix} $$ için $AB$ ve $BA$ matrislerini bulun. Bu örnek üzerinden matris çarpımının değişme özelliğini neden taşımadığını açıklayın. ### Soru 8 $$ \begin{aligned} x-2y+z&=3,\\ 2x+y-z&=1,\\ 3x-y+2z&=7 \end{aligned} $$ sistemini $Ax=b$ biçiminde ve genişletilmiş matris biçiminde yazın. Matris boyutlarının bilinmeyen ve denklem sayılarıyla ilişkisini belirtin. ### Soru 9 $$ \begin{aligned} x+y+z&=6,\\ 2x-y+z&=3,\\ x+2y-z&=2 \end{aligned} $$ sistemini Gauss eliminasyonuyla çözün. Geri yerine koyarak üç denklemi de doğrulayın. ### Soru 10 $a\in\mathbb R$ olmak üzere $$ \begin{aligned} x+y+z&=2,\\ 2x+2y+2z&=4,\\ x+y+az&=3 \end{aligned} $$ sisteminin hangi $a$ değerlerinde çözümsüz veya sonsuz çözümlü olduğunu belirleyin. ### Soru 11 $$ A=\begin{bmatrix} 1&2&-1&3\\ 0&1&2&-1\\ 2&5&3&1 \end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}4\\1\\9\end{bmatrix} $$ için $Ax=b$ sistemini RREF biçimine getirin. Pivot ve serbest değişkenleri belirleyip çözümü parametreli vektör biçiminde yazın. ### Soru 12 $3\times3$ birim matrise sırasıyla $$ R_1\leftrightarrow R_3,\qquad R_2\leftarrow2R_2,\qquad R_3\leftarrow R_3-4R_1 $$ işlemlerini uygulayan elementer matrisleri ayrı ayrı yazın. Bu matrislerin $A$'ya soldan çarpıldığında hangi satır işlemlerini yaptığını açıklayın. ### Soru 13 $$ A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&1\\2&3&1\end{bmatrix} $$ matrisinin tersini Gauss–Jordan yöntemiyle bulun. Sonucu hem $AA^{-1}$ hem $A^{-1}A$ çarpımıyla denetleyin. ### Soru 14 $$ A=\begin{bmatrix}2&1&0\\-1&3&2\\4&0&1\end{bmatrix} $$ matrisinin determinantını birinci satır boyunca kofaktör açılımıyla bulun. Aynı sonucu uygun satır işlemleriyle üçgensel biçime geçerek doğrulayın. ### Soru 15 $$ \begin{aligned} 2x-y&=5,\\ 3x+2y&=4 \end{aligned} $$ sistemini Cramer kuralıyla çözün. Kuralın uygulanabilmesi için gereken determinant koşulunu açıkça yazın. ## 2. Vektör Uzayları, Taban ve Koordinatlar ### Soru 16 $$ v_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\qquad v_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\qquad v_3=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} $$ ve $w=(3,2,1)^T$ veriliyor. $w$ vektörünün bu üç vektörün germesinde olup olmadığına karar verin. ### Soru 17 $$ W=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x-2y+z=0\} $$ kümesinin alt uzay olduğunu lineer birleşimlere kapalılık testiyle gösterin. Ardından $W$ için bir üreteç listesi bulun. ### Soru 18 Aşağıdaki kümelerin alt uzay olup olmadığına karar verin. Alt uzay olmayan her küme için bozulan koşulu bir karşı örnekle gösterin: $$ U_1=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x+y=1\}, $$ $$ U_2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:z=0\}, $$ $$ U_3=\{p\in P_2:p(0)=0\}. $$ ### Soru 19 $$ A=\begin{bmatrix}1&2&-1\\2&4&-2\end{bmatrix} $$ için $\operatorname{Null}(A)$ ve $\operatorname{Col}(A)$ uzaylarına birer taban bulun. Bu iki uzayın hangi üst uzaylarda bulunduğunu yazın. ### Soru 20 $$ v_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\qquad v_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\qquad v_3=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix} $$ listesinin lineer bağımsız olup olmadığını homojen sistem kurarak belirleyin. ### Soru 21 $$ A=\begin{bmatrix} 1&0&1&2\\ 0&1&1&1\\ 1&1&2&3 \end{bmatrix} $$ matrisinin sütun uzayı için özgün sütunlardan bir taban seçin. Seçilmeyen sütunları taban sütunlarının lineer birleşimi olarak yazın. ### Soru 22 $A\in\mathbb R^{4\times7}$ ve $\operatorname{rank}(A)=3$ olsun. $\operatorname{Col}(A)$, $\operatorname{Row}(A)$ ve $\operatorname{Null}(A)$ uzaylarının boyutlarını bulun. Sonucu rank–nullity boyut teoremiyle ilişkilendirin. ### Soru 23 $$ \mathcal B=(1+t,\ t-t^2,\ 1+t^2) $$ listesinin $P_2$ için taban olup olmadığını katsayı matrisi üzerinden belirleyin. Liste taban değilse açık bir bağımlılık bağıntısı yazın. ### Soru 24 $$ B=\left( \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix} \right),\qquad v=\begin{bmatrix}7\\1\end{bmatrix} $$ için $[v]_B$ koordinatını bulun. Koordinat sütunundan $v$'yi geri kurarak sonucu denetleyin. ### Soru 25 $E$ standart taban ve $$ B=\left( \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} \right) $$ olsun. $P_{E\leftarrow B}$ ve $P_{B\leftarrow E}$ matrislerini bulun. Çarpımlarının birim matris olduğunu gösterin. ### Soru 26 $B=(1,1+t,1+t+t^2)$ tabanında $$ p(t)=5+4t+2t^2 $$ polinomunun koordinat sütununu bulun. Sonucu polinomları yeniden birleştirerek doğrulayın. ### Soru 27 $B,C,D$, aynı sonlu boyutlu uzayın sıralı tabanları olsun. Aşağıdaki eşitliği matrislerin giriş ve çıkış koordinatlarını izleyerek gerekçelendirin: $$ P_{D\leftarrow B}=P_{D\leftarrow C}P_{C\leftarrow B}. $$ ### Soru 28 Boyutu $n$ olan bir vektör uzayındaki $n+1$ vektörlü her listenin neden lineer bağımlı olduğunu rank üzerinden açıklayın. Sonucu $P_3$ içinde beş polinomlu bir listeye uygulayın. ## 3. İç Çarpım, Ortogonallik ve En Küçük Kareler ### Soru 29 $$ u=\begin{bmatrix}2\\-1\\2\end{bmatrix},\qquad v=\begin{bmatrix}1\\3\\-2\end{bmatrix} $$ için $u\cdot v$, $\|u\|$, $\|v\|$ ve $\|u-v\|$ değerlerini bulun. ### Soru 30 $$ a=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} $$ vektörleri arasındaki açıyı bulun. Açının dar, dik veya geniş oluşunu iç çarpımın işaretiyle ilişkilendirin. ### Soru 31 $\mathbb R^2$ üzerinde $$ \langle x,y\rangle_W=2x_1y_1+5x_2y_2 $$ iç çarpımı veriliyor. $u=(1,-2)^T$ ve $v=(3,1)^T$ için iç çarpımı ve $W$-normlarını hesaplayın. Standart Öklid normlarından neden farklı sonuç çıktığını açıklayın. ### Soru 32 $v=(5,1)^T$ vektörünü $u=(1,2)^T$ doğrultusuna ortogonal olarak izdüşürün. $v$'yi izdüşüm ve dik hata bileşenlerinin toplamı biçiminde yazın. ### Soru 33 $$ u_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\qquad u_2=\begin{bmatrix}0\\0\\2\end{bmatrix},\qquad v=\begin{bmatrix}3\\-1\\4\end{bmatrix} $$ veriliyor. $u_1,u_2$ vektörlerinin gerdiği uzaya $v$'nin izdüşümünü bulun. Hata vektörünün iki taban vektörüne de dik olduğunu gösterin. ### Soru 34 $$ a_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\qquad a_2=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} $$ listesine Gram–Schmidt yöntemini uygulayın ve aynı alt uzay için ortogonal bir taban elde edin. ### Soru 35 $$ a_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\qquad a_2=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\qquad a_3=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix} $$ listesini Gram–Schmidt yöntemiyle ortonormalleştirin. Sonuç vektörlerinin karşılıklı iç çarpımlarını hesaplayın. ### Soru 36 $$ A=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\\1&2\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}2\\2\\5\end{bmatrix} $$ için normal denklemleri kurup en küçük kareler çözümü $\widehat x$'i bulun. $r=b-A\widehat x$ artık vektörünün $A^Tr=0$ koşulunu sağladığını gösterin. ### Soru 37 $(0,1)$, $(1,2)$, $(2,2)$ ve $(3,4)$ noktalarına $y=a+bt$ doğrusu uydurun. Tasarım matrisini kurun, normal denklemleri çözün ve hata kareleri toplamını hesaplayın. ## 4. Özdeğerler, Köşegenleştirme ve Lineer Dönüşümler ### Soru 38 $$ A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} $$ için $(1,1)^T$ ve $(1,-2)^T$ vektörlerinin özvektör olup olmadığını doğrudan $Av=\lambda v$ eşitliğiyle sınayın. ### Soru 39 $$ A=\begin{bmatrix}3&2\\1&2\end{bmatrix} $$ matrisinin karakteristik polinomunu, özdeğerlerini ve her özdeğere ait bir özuzay tabanını bulun. ### Soru 40 $$ T=\begin{bmatrix}2&-1&4\\0&3&5\\0&0&-2\end{bmatrix} $$ matrisinin özdeğerlerini işlem yapmadan yazın. Özdeğerlerin toplamını ve çarpımını matrisin izi ve determinantıyla karşılaştırın. ### Soru 41 $$ B=\begin{bmatrix}5&1\\0&5\end{bmatrix} $$ matrisinde $5$ özdeğerinin cebirsel ve geometrik katlarını bulun. Matrisin köşegenleştirilebilir olup olmadığına karar verin. ### Soru 42 Aşağıdaki matrislerin köşegenleştirilebilir olup olmadığına gerekçeli olarak karar verin: $$ A_1=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix},\qquad A_2=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix},\qquad A_3=\begin{bmatrix}1&1\\0&3\end{bmatrix}. $$ ### Soru 43 $$ A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} $$ matrisi için $A=PDP^{-1}$ köşegenleştirmesini kurun. $P$ sütunlarıyla $D$'nin köşegen sırasının uyumunu $AP=PD$ eşitliğiyle denetleyin. ### Soru 44 Soru 43'teki köşegenleştirmeyi kullanarak $A^6$ matrisini bulun. Sonucu $A^2$ üzerinden yapılabilecek bir denetimle karşılaştırın. ### Soru 45 Aşağıdaki dönüşümlerin lineer olup olmadığına karar verin. Lineer olmayanlar için uygun bir koşulu bozan karşı örnek verin: $$ T_1(x,y)=(x+2y,3x-y), $$ $$ T_2(x,y)=(x+1,y), $$ $$ T_3(x,y)=(xy,y). $$ ### Soru 46 $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ dönüşümü $$ T(x,y)=(x-y,2x+y,3y) $$ ile veriliyor. $T$'nin standart matrisini sütun görüntülerinden kurun ve $T(2,-1)^T$ değerini hem formülden hem matris çarpımından bulun. ### Soru 47 $D:P_3\to P_2$, $D(p)=p'$ dönüşümü için tanım uzayında $B=(1,t,t^2,t^3)$ ve değer uzayında $C=(1,t,t^2)$ tabanlarını kullanın. $[D]_{C\leftarrow B}$ matrisini kurun. ### Soru 48 $$ A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&1\end{bmatrix} $$ ile verilen $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ dönüşümünün çekirdeği ve görüntüsü için birer taban bulun. Boyutları rank–nullity teoremiyle denetleyin ve $T$'nin birebir ya da örten olup olmadığını belirleyin. ### Soru 49 $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ dönüşümünün matrisi $$ A=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\\-1&3\end{bmatrix} $$ ve $S:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ dönüşümünün matrisi $$ B=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&2&1\end{bmatrix} $$ olsun. $S\circ T$ ve $T\circ S$ dönüşümlerinin matrislerini bulun; tanım ve değer uzaylarını ayrı ayrı yazın. ### Soru 50 $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ dönüşümü $$ T(x,y)=(2x+y,x+2y) $$ ile veriliyor. Dönüşümün matrisini, özdeğerlerini ve özdoğrultularını bulun. Bir özvektör tabanı kullanarak matrisi köşegenleştirin ve $T^n(1,0)^T$ ifadesini kapalı biçimde yazın. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü matris boyutları, satır işlemleri, pivot ve serbest değişkenler, > germe–bağımsızlık ayrımı, taban değişiminin yönü, iç çarpım ve izdüşüm > katsayıları, normal denklemler, karakteristik polinom, özuzay boyutları, > köşegenleştirme sırası ve çekirdek–görüntü ayrımı bakımından incele. Hata > varsa doğru çözümü vermeden ilk yanlış adımı ve yeniden bakmam gereken konu > başlığını belirt.