Ayrılabilir Denklemler: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği

Ayrılabilir denklemi tanıma, değişkenleri ayırma, sabit çözümleri koruma ve örtük çözümü yorumlama pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

26 Temmuz 2026

Ayrılabilir Denklemler: Alıştırmalar

Bir denklem $y'=g(x)h(y)$ biçimine getirilebiliyorsa değişkenler iki tarafa ayrılabilir. İşlem sırasında $h(y)$’ye bölmek, $h(y)=0$ sağlayan sabit çözümleri kaybettirebilir. Bu nedenle ayırmadan önce denge çözümleri ayrıca kaydedilir.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Dördü ayrılabilir, ikisi ayrılabilir olmayan altı denklem üret. Önce yalnız sınıflandırmamı bekle. Çözüm aşamasında böldüğüm ifadenin sıfır olabileceği durumları bana sor; kayıp sabit çözümleri doğrudan söyleme.

Ayrılabilir Yapıyı Tanıma

Örnek 1: Çarpım Biçimi

\[ y'=e^{x-y}=e^x e^{-y} \]

ayrılabilirdir. $e^y$ ile çarpınca

\[ e^y\,dy=e^x\,dx \]

elde edilir.

Örnek 2: Ortak Çarpanı Görme

\[ y'=x+xy=x(1+y) \]

denkleminde sağ taraf ilk bakışta toplamdır; $x$ ortak çarpanı alınca $g(x)h(y)$ yapısı görünür.

Değişkenleri Ayırma ve İntegral

Örnek 3: Başlangıç Değer Problemi

\[ y'=\frac{1+x}{y},\qquad y(0)=2. \]

\[ y\,dy=(1+x)\,dx \]

ve integrasyonla

\[ \frac{y^2}{2}=x+\frac{x^2}{2}+C \]

bulunur. Başlangıç koşulu $2=C$ verir:

\[ y^2=x^2+2x+4. \]

$y(0)=2$ pozitif dalı seçtiği için

\[ y=\sqrt{x^2+2x+4}. \]

Kök içi $(x+1)^2+3>0$ olduğundan çözüm bütün gerçek sayılarda tanımlıdır.

Örnek 4: Örtük Çözüm

\[ y'=\frac{x^2}{1-y^2} \]

için

\[ (1-y^2)\,dy=x^2\,dx, \]

\[ y-\frac{y^3}{3}=\frac{x^3}{3}+C. \]

$y$’yi açıkça yalnız bırakmak gerekli değildir. Örtük bağıntı, türevlenerek orijinal denklemi geri veriyorsa geçerli bir çözüm gösterimidir.

Kayıp Sabit Çözümler

Örnek 5: Bölmeden Önce Kontrol

\[ y'=y(y-1) \]

denkleminde $y=0$ ve $y=1$ sabit çözümlerdir. Genel çözümü ararken $y(y-1)$’e bölünürse bu iki çözüm işlem hattından çıkar. Bu yüzden önce

\[ y\equiv0,\qquad y\equiv1 \]

kaydedilir, sonra sabit olmayan çözümler için

\[ \frac{dy}{y(y-1)}=dx \]

yazılır.

Ek Çözümlü Örnekler

Örnek A: Kısmi Kesirlerle Tam Çözüm

\[ y'=y(2-y),\qquad y(0)=1. \]

Tanı. Denklem otonom ve ayrılabilirdir. $y=0$ ile $y=2$ sabit çözümleri önce kaydedilir.

Ayırma ve kısmi kesir.

\[ \frac{dy}{y(2-y)}=dx, \qquad \frac1{y(2-y)}=\frac1{2y}+\frac1{2(2-y)}. \]

\[ \frac12\ln|y|-\frac12\ln|2-y|=x+C. \]

Başlangıç koşulu ve açık çözüm.

\[ \frac{y}{2-y}=Ke^{2x},\qquad K=1, \]

\[ \boxed{y=\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}}. \]

Doğrulama. Çözüm $0<y<2$ aralığında kalır, artar ve $y=2$ dengesine yaklaşır. Bu davranış faz çizgisiyle uyumludur.

Örnek B: Trigonometrik Sağ Taraf

\[ y'=(1+y^2)\cos x,\qquad y(0)=0. \]

\[ \frac{dy}{1+y^2}=\cos x\,dx, \qquad \arctan y=\sin x+C. \]

Başlangıç koşulu $C=0$ verir:

\[ \boxed{y=\tan(\sin x)}. \]

$|\sin x|\leq1<\pi/2$ olduğundan $\cos(\sin x)$ sıfır olmaz; çözüm bütün gerçek sayılarda tanımlıdır.

Hata Avı

Örnek 6: Toplamı Ayırmaya Çalışmak

$y'=x+y$ denklemi $dy/y=dx/x$ biçiminde ayrılamaz. Toplamın terimleri iki tarafa keyfî olarak dağıtılamaz.

Örnek 7: İki İntegrasyon Sabiti

İki tarafta ayrı ayrı $C_1$ ve $C_2$ yazılabilir; ancak eşitlik düzenlendiğinde farkları tek bir $C$ sabitinde birleşir.

Adım Adım İşlem Pratiği

Örnek 8

\[ y'=xy,\qquad y\neq0 \]

için

\[ \frac{dy}{y}=x\,dx,\quad \ln|y|=\frac{x^2}{2}+C,\quad y=Ce^{x^2/2}. \]

$C=0$ seçimi sabit $y=0$ çözümünü de kapsar.

Örnek 9

\[ y'=(1+x^2)(1+y^2) \]

için

\[ \arctan y=x+\frac{x^3}{3}+C. \]

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

$y'=e^{x-y}$ denklemini çözün.

Soru 2

$y'=x(1+y),\ y(0)=0$ problemini çözün ve doğrulayın.

Soru 3

$y'=(1+x^2)/(1+y^2)$ denklemini örtük biçimde çözün.

Soru 4

$y'=y(y-2)$ denkleminin sabit çözümlerini ayırma işleminden önce bulun.

Soru 5

$y'=x/y,\ y(0)=-1$ problemini çözün; başlangıç koşulunun hangi dalı seçtiğini belirtin.

Soru 6

$y'=y/x+1$ denkleminin ayrılabilir olup olmadığını gerekçelendirin.

Soru 7

$y'=(x+1)(y-3)^2$ denkleminin sabit çözümünü ve sabit olmayan çözüm ailesini bulun.

Soru 8

$y'=x^2/(1-y^2)$ çözümünde $y=\pm1$ değerlerinin neden ayrıca incelenmesi gerektiğini açıklayın.

Soru 9

$y'=2xy^2,\ y(0)=1$ problemini çözün ve başlangıç noktasını içeren en geniş çözüm aralığını bulun.

Soru 10

Bir örtük çözümü türevleyerek doğrulama adımlarını kendi seçtiğiniz ayrılabilir bir denklem üzerinde gösterin.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü çarpım biçimini doğru kurma, böldüğüm ifadenin sıfır olduğu sabit çözümleri koruma, integral ve başlangıç koşulu, açık çözüm dalı ve çözüm aralığı açısından incele. Hata varsa doğru çözümü vermeden ilk kayıp koşulu veya yanlış ayırma adımını belirt.

--- title: "Ayrılabilir Denklemler: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-07-26 description: "Ayrılabilir denklemi tanıma, değişkenleri ayırma, sabit çözümleri koruma ve örtük çözümü yorumlama pratiği." execute: echo: false --- # Ayrılabilir Denklemler: Alıştırmalar Bir denklem $y'=g(x)h(y)$ biçimine getirilebiliyorsa değişkenler iki tarafa ayrılabilir. İşlem sırasında $h(y)$'ye bölmek, $h(y)=0$ sağlayan sabit çözümleri kaybettirebilir. Bu nedenle ayırmadan önce denge çözümleri ayrıca kaydedilir. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Dördü ayrılabilir, ikisi ayrılabilir olmayan altı denklem üret. Önce yalnız > sınıflandırmamı bekle. Çözüm aşamasında böldüğüm ifadenin sıfır olabileceği > durumları bana sor; kayıp sabit çözümleri doğrudan söyleme. ::: ## Ayrılabilir Yapıyı Tanıma ### Örnek 1: Çarpım Biçimi $$ y'=e^{x-y}=e^x e^{-y} $$ ayrılabilirdir. $e^y$ ile çarpınca $$ e^y\,dy=e^x\,dx $$ elde edilir. ### Örnek 2: Ortak Çarpanı Görme $$ y'=x+xy=x(1+y) $$ denkleminde sağ taraf ilk bakışta toplamdır; $x$ ortak çarpanı alınca $g(x)h(y)$ yapısı görünür. ## Değişkenleri Ayırma ve İntegral ### Örnek 3: Başlangıç Değer Problemi $$ y'=\frac{1+x}{y},\qquad y(0)=2. $$ $$ y\,dy=(1+x)\,dx $$ ve integrasyonla $$ \frac{y^2}{2}=x+\frac{x^2}{2}+C $$ bulunur. Başlangıç koşulu $2=C$ verir: $$ y^2=x^2+2x+4. $$ $y(0)=2$ pozitif dalı seçtiği için $$ y=\sqrt{x^2+2x+4}. $$ Kök içi $(x+1)^2+3>0$ olduğundan çözüm bütün gerçek sayılarda tanımlıdır. ### Örnek 4: Örtük Çözüm $$ y'=\frac{x^2}{1-y^2} $$ için $$ (1-y^2)\,dy=x^2\,dx, $$ $$ y-\frac{y^3}{3}=\frac{x^3}{3}+C. $$ $y$'yi açıkça yalnız bırakmak gerekli değildir. Örtük bağıntı, türevlenerek orijinal denklemi geri veriyorsa geçerli bir çözüm gösterimidir. ## Kayıp Sabit Çözümler ### Örnek 5: Bölmeden Önce Kontrol $$ y'=y(y-1) $$ denkleminde $y=0$ ve $y=1$ sabit çözümlerdir. Genel çözümü ararken $y(y-1)$'e bölünürse bu iki çözüm işlem hattından çıkar. Bu yüzden önce $$ y\equiv0,\qquad y\equiv1 $$ kaydedilir, sonra sabit olmayan çözümler için $$ \frac{dy}{y(y-1)}=dx $$ yazılır. ## Ek Çözümlü Örnekler ### Örnek A: Kısmi Kesirlerle Tam Çözüm $$ y'=y(2-y),\qquad y(0)=1. $$ **Tanı.** Denklem otonom ve ayrılabilirdir. $y=0$ ile $y=2$ sabit çözümleri önce kaydedilir. **Ayırma ve kısmi kesir.** $$ \frac{dy}{y(2-y)}=dx, \qquad \frac1{y(2-y)}=\frac1{2y}+\frac1{2(2-y)}. $$ $$ \frac12\ln|y|-\frac12\ln|2-y|=x+C. $$ **Başlangıç koşulu ve açık çözüm.** $$ \frac{y}{2-y}=Ke^{2x},\qquad K=1, $$ $$ \boxed{y=\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}}. $$ **Doğrulama.** Çözüm $0<y<2$ aralığında kalır, artar ve $y=2$ dengesine yaklaşır. Bu davranış faz çizgisiyle uyumludur. ### Örnek B: Trigonometrik Sağ Taraf $$ y'=(1+y^2)\cos x,\qquad y(0)=0. $$ $$ \frac{dy}{1+y^2}=\cos x\,dx, \qquad \arctan y=\sin x+C. $$ Başlangıç koşulu $C=0$ verir: $$ \boxed{y=\tan(\sin x)}. $$ $|\sin x|\leq1<\pi/2$ olduğundan $\cos(\sin x)$ sıfır olmaz; çözüm bütün gerçek sayılarda tanımlıdır. ## Hata Avı ### Örnek 6: Toplamı Ayırmaya Çalışmak $y'=x+y$ denklemi $dy/y=dx/x$ biçiminde ayrılamaz. Toplamın terimleri iki tarafa keyfî olarak dağıtılamaz. ### Örnek 7: İki İntegrasyon Sabiti İki tarafta ayrı ayrı $C_1$ ve $C_2$ yazılabilir; ancak eşitlik düzenlendiğinde farkları tek bir $C$ sabitinde birleşir. ## Adım Adım İşlem Pratiği ### Örnek 8 $$ y'=xy,\qquad y\neq0 $$ için $$ \frac{dy}{y}=x\,dx,\quad \ln|y|=\frac{x^2}{2}+C,\quad y=Ce^{x^2/2}. $$ $C=0$ seçimi sabit $y=0$ çözümünü de kapsar. ### Örnek 9 $$ y'=(1+x^2)(1+y^2) $$ için $$ \arctan y=x+\frac{x^3}{3}+C. $$ ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 $y'=e^{x-y}$ denklemini çözün. ### Soru 2 $y'=x(1+y),\ y(0)=0$ problemini çözün ve doğrulayın. ### Soru 3 $y'=(1+x^2)/(1+y^2)$ denklemini örtük biçimde çözün. ### Soru 4 $y'=y(y-2)$ denkleminin sabit çözümlerini ayırma işleminden önce bulun. ### Soru 5 $y'=x/y,\ y(0)=-1$ problemini çözün; başlangıç koşulunun hangi dalı seçtiğini belirtin. ### Soru 6 $y'=y/x+1$ denkleminin ayrılabilir olup olmadığını gerekçelendirin. ### Soru 7 $y'=(x+1)(y-3)^2$ denkleminin sabit çözümünü ve sabit olmayan çözüm ailesini bulun. ### Soru 8 $y'=x^2/(1-y^2)$ çözümünde $y=\pm1$ değerlerinin neden ayrıca incelenmesi gerektiğini açıklayın. ### Soru 9 $y'=2xy^2,\ y(0)=1$ problemini çözün ve başlangıç noktasını içeren en geniş çözüm aralığını bulun. ### Soru 10 Bir örtük çözümü türevleyerek doğrulama adımlarını kendi seçtiğiniz ayrılabilir bir denklem üzerinde gösterin. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü çarpım biçimini doğru kurma, böldüğüm ifadenin sıfır olduğu sabit > çözümleri koruma, integral ve başlangıç koşulu, açık çözüm dalı ve çözüm > aralığı açısından incele. Hata varsa doğru çözümü vermeden ilk kayıp koşulu > veya yanlış ayırma adımını belirt.