Homojen Olmayan Sistemler: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği

Homojen çözüm ile zorlama cevabını ayırma, sabit dengeleri ve basit vektör adaylarını bulma, aktif kapsamda yöntem seçme pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

24 Ağustos 2026

Homojen Olmayan Sistemler: Alıştırmalar

Homojen olmayan lineer sistemde genel çözüm $\mathbf{x}=\mathbf{x}_h+\mathbf{x}_p$ biçimindedir. Sabit girdide özel çözüm yeni dengeyi verir; üstel, polinom veya trigonometrik girdide uygun bir vektör aday seçilebilir.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Önce girdinin türüne göre yöntemi ve aday biçimini kendiniz seçin. Yapay zekâdan katsayıları çözmesini değil, $A\mathbf{x}_p=-\mathbf{f}$ işaretini, adayın vektör oluşunu ve özdeğerle çakışmayı kontrol etmesini isteyin.

Tanıma ve Karar

Örnek 1: Homojen mi?

$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+[1,0]^T$ homojen değildir. Sabit vektör, dışarıdan gelen girdidir.

Örnek 2: Sabit Girdi

$\mathbf{f}$ sabitse önce sabit $\mathbf{x}_p$ aranır. Türevi sıfır olduğu için kurulacak denklem $A\mathbf{x}_p=-\mathbf{f}$’tir.

Örnek 3: Üstel Girdi

$\mathbf{f}(t)=e^{2t}\mathbf{b}$ ise ilk aday $\mathbf{x}_p=e^{2t}\mathbf{a}$’dır. $2$ bir özdeğerse aday homojen çözüme çakışır ve genişletilmelidir.

Örnek 4: Genel Girdi

Girdi sonlu bir aday ailesine girmiyorsa aktif konu notundaki temel matris yöntemi seçilir:

\[ \mathbf{x}_p=X(t)\int X(t)^{-1}\mathbf{f}(t)\,dt. \]

Bu karar sorusu yöntem seçimini ölçer; uzun matris integrali gerektirmez.

Mekanizmayı Kurma

Örnek 5: Yeni Denge Denklemi

\[ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix}\mathbf{x} +\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} \]

için sabit aday $\mathbf{x}_p=[p_1,p_2]^T$ seçilir ve

\[ \begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}p_1\\p_2\end{bmatrix} =-\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} \]

kurulur.

Örnek 6: Üstel Vektör Adayı

\[ \mathbf{x}'=A\mathbf{x}+e^t\mathbf{b},\q\quad \mathbf{x}_p=e^t\mathbf{a} \]

yazılırsa

\[ (I-A)\mathbf{a}=\mathbf{b} \]

elde edilir. $1$ özdeğer değilse $I-A$ tersinirdir ve aday belirlenir.

Temel Tam Çözümler

Örnek 7: Sabit Girdiyle Denge Kayması

\[ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix}\mathbf{x} +\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} \]

Homojen çözüm

\[ \mathbf{x}_h=C_1e^{-t}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} +C_2e^{-2t}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} \]

olur. Denge denklemi $-p_1=-1$, $-2p_2=-2$ verir; yani $\mathbf{x}_p=[1,1]^T$. Genel çözüm

\[ \boxed{ \mathbf{x}=C_1e^{-t}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} +C_2e^{-2t}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}} \]

olur. Homojen kısım söndüğü için bütün yörüngeler yeni dengeye yaklaşır.

Örnek 8: Üstel Girdiyle Vektör Aday

\[ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix}\mathbf{x} +e^t\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix} \]

$1$ özdeğer değildir. $\mathbf{x}_p=e^t\mathbf{a}$ yazınca

\[ \begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\mathbf{a} =\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix} \]

çıkar ve $\mathbf{a}=[1,0]^T$ bulunur. Dolayısıyla

\[ \boxed{\mathbf{x}_p=e^t\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}. \]

Yerine koymada türev ve sağ tarafın ikisi de $e^t[1,0]^T$ verir.

Hata Avı

Örnek 9: İlk Hata Nerede?

Bir öğrenci sabit girdide $A\mathbf{x}_p=\mathbf{f}$ yazıyor. İlk hata, denge denklemindeki eksi işaretini atlamaktır. $\mathbf{x}_p'=0$ yazınca $0=A\mathbf{x}_p+\mathbf{f}$ ve dolayısıyla $A\mathbf{x}_p=-\mathbf{f}$ elde edilir.

Karşılaştırma

Örnek 10: Sabit Aday ve Temel Matris Yöntemi

Sabit girdide iki yöntem de çalışır. Denge denklemi yalnız küçük bir lineer sistem çözer; temel matris yöntemi ters matris ve integral gerektirir. Girdi sabitken kısa yol denge denklemidir.

Hafif Karma Örnek

Örnek 11: Başlangıç Durumuyla Tamamlama

Örnek 7’deki sistem için $\mathbf{x}(0)=[0,0]^T$ olsun. Genel çözümde

\[ C_1+1=0,\q\quad C_2+1=0 \]

olduğundan $C_1=C_2=-1$ çıkar:

\[ \boxed{ \mathbf{x}(t)= \begin{bmatrix}1-e^{-t}\\1-e^{-2t}\end{bmatrix}}. \]

Çözüm başlangıçta sıfırdır ve $[1,1]^T$ dengesine yaklaşır.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

Aşağıdaki sistemleri homojen ve homojen olmayan olarak sınıflandırın:

\[ \mathbf{x}'=A\mathbf{x}, \q\quad \mathbf{x}'=A\mathbf{x}+e^t\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}. \]

Soru 2

\[ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix}\mathbf{x} +\begin{bmatrix}2\\6\end{bmatrix} \]

sistemi için sabit özel çözümü bulun.

Soru 3

Soru 2’deki sistemin genel çözümünü yazın ve $\mathbf{x}(0)=[0,0]^T$ başlangıç durumunu uygulayın.

Soru 4

\[ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}0&0\\0&-1\end{bmatrix}\mathbf{x} +e^{2t}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} \]

sistemi için $\mathbf{x}_p=e^{2t}\mathbf{v}$ adayını kurun ve $\mathbf{v}$’yi bulun.

Soru 5

$e^{\lambda t}\mathbf{b}$ girdisinde $\lambda$ aynı zamanda $A$’nın bir özdeğeriyse $e^{\lambda t}\mathbf{v}$ adayının neden başarısız olabileceğini açıklayın; uygun adayda yapılacak değişikliği belirtin.

Soru 6

Verilen

\[ \mathbf{x}_p(t)=\begin{bmatrix}1-e^{-t}\\2-2e^{-2t}\end{bmatrix} \]

fonksiyonunun hangi sabit girdi altında $\mathbf{x}'=\operatorname{diag}(-1,-2)\mathbf{x}+\mathbf{f}$ sistemini sağladığını bulun.

Soru 7

$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{f}(t)$ için temel matris yöntemiyle özel çözüm integralini yazın. Bu soruda integrali hesaplamayın.

Soru 8

Sabit girdi, üstel girdi ve genel sürekli girdi için ilk denenecek özel çözüm yöntemini seçin; seçiminizi kısa bir tabloyla gerekçelendirin.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü $\mathbf{x}_h+\mathbf{x}_p$ ayrımı, sabit girdide eksi işareti, vektör adayın boyutu, özdeğerle çakışma ve yöntem maliyeti açısından incele. Hata varsa doğru vektörü vermeden ilk yanlış kurulum adımını belirt.

--- title: "Homojen Olmayan Sistemler: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-24 description: "Homojen çözüm ile zorlama cevabını ayırma, sabit dengeleri ve basit vektör adaylarını bulma, aktif kapsamda yöntem seçme pratiği." execute: echo: false --- # Homojen Olmayan Sistemler: Alıştırmalar Homojen olmayan lineer sistemde genel çözüm $\mathbf{x}=\mathbf{x}_h+\mathbf{x}_p$ biçimindedir. Sabit girdide özel çözüm yeni dengeyi verir; üstel, polinom veya trigonometrik girdide uygun bir vektör aday seçilebilir. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Önce girdinin türüne göre yöntemi ve aday biçimini kendiniz seçin. Yapay > zekâdan katsayıları çözmesini değil, $A\mathbf{x}_p=-\mathbf{f}$ işaretini, > adayın vektör oluşunu ve özdeğerle çakışmayı kontrol etmesini isteyin. ::: ## Tanıma ve Karar ### Örnek 1: Homojen mi? $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+[1,0]^T$ homojen değildir. Sabit vektör, dışarıdan gelen girdidir. ### Örnek 2: Sabit Girdi $\mathbf{f}$ sabitse önce sabit $\mathbf{x}_p$ aranır. Türevi sıfır olduğu için kurulacak denklem $A\mathbf{x}_p=-\mathbf{f}$'tir. ### Örnek 3: Üstel Girdi $\mathbf{f}(t)=e^{2t}\mathbf{b}$ ise ilk aday $\mathbf{x}_p=e^{2t}\mathbf{a}$'dır. $2$ bir özdeğerse aday homojen çözüme çakışır ve genişletilmelidir. ### Örnek 4: Genel Girdi Girdi sonlu bir aday ailesine girmiyorsa aktif konu notundaki temel matris yöntemi seçilir: $$ \mathbf{x}_p=X(t)\int X(t)^{-1}\mathbf{f}(t)\,dt. $$ Bu karar sorusu yöntem seçimini ölçer; uzun matris integrali gerektirmez. ## Mekanizmayı Kurma ### Örnek 5: Yeni Denge Denklemi $$ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix}\mathbf{x} +\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} $$ için sabit aday $\mathbf{x}_p=[p_1,p_2]^T$ seçilir ve $$ \begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}p_1\\p_2\end{bmatrix} =-\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} $$ kurulur. ### Örnek 6: Üstel Vektör Adayı $$ \mathbf{x}'=A\mathbf{x}+e^t\mathbf{b},\q\quad \mathbf{x}_p=e^t\mathbf{a} $$ yazılırsa $$ (I-A)\mathbf{a}=\mathbf{b} $$ elde edilir. $1$ özdeğer değilse $I-A$ tersinirdir ve aday belirlenir. ## Temel Tam Çözümler ### Örnek 7: Sabit Girdiyle Denge Kayması $$ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix}\mathbf{x} +\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} $$ Homojen çözüm $$ \mathbf{x}_h=C_1e^{-t}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} +C_2e^{-2t}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} $$ olur. Denge denklemi $-p_1=-1$, $-2p_2=-2$ verir; yani $\mathbf{x}_p=[1,1]^T$. Genel çözüm $$ \boxed{ \mathbf{x}=C_1e^{-t}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} +C_2e^{-2t}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}} $$ olur. Homojen kısım söndüğü için bütün yörüngeler yeni dengeye yaklaşır. ### Örnek 8: Üstel Girdiyle Vektör Aday $$ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix}\mathbf{x} +e^t\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix} $$ $1$ özdeğer değildir. $\mathbf{x}_p=e^t\mathbf{a}$ yazınca $$ \begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\mathbf{a} =\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix} $$ çıkar ve $\mathbf{a}=[1,0]^T$ bulunur. Dolayısıyla $$ \boxed{\mathbf{x}_p=e^t\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}. $$ Yerine koymada türev ve sağ tarafın ikisi de $e^t[1,0]^T$ verir. ## Hata Avı ### Örnek 9: İlk Hata Nerede? Bir öğrenci sabit girdide $A\mathbf{x}_p=\mathbf{f}$ yazıyor. İlk hata, denge denklemindeki eksi işaretini atlamaktır. $\mathbf{x}_p'=0$ yazınca $0=A\mathbf{x}_p+\mathbf{f}$ ve dolayısıyla $A\mathbf{x}_p=-\mathbf{f}$ elde edilir. ## Karşılaştırma ### Örnek 10: Sabit Aday ve Temel Matris Yöntemi Sabit girdide iki yöntem de çalışır. Denge denklemi yalnız küçük bir lineer sistem çözer; temel matris yöntemi ters matris ve integral gerektirir. Girdi sabitken kısa yol denge denklemidir. ## Hafif Karma Örnek ### Örnek 11: Başlangıç Durumuyla Tamamlama Örnek 7'deki sistem için $\mathbf{x}(0)=[0,0]^T$ olsun. Genel çözümde $$ C_1+1=0,\q\quad C_2+1=0 $$ olduğundan $C_1=C_2=-1$ çıkar: $$ \boxed{ \mathbf{x}(t)= \begin{bmatrix}1-e^{-t}\\1-e^{-2t}\end{bmatrix}}. $$ Çözüm başlangıçta sıfırdır ve $[1,1]^T$ dengesine yaklaşır. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 Aşağıdaki sistemleri homojen ve homojen olmayan olarak sınıflandırın: $$ \mathbf{x}'=A\mathbf{x}, \q\quad \mathbf{x}'=A\mathbf{x}+e^t\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}. $$ ### Soru 2 $$ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix}\mathbf{x} +\begin{bmatrix}2\\6\end{bmatrix} $$ sistemi için sabit özel çözümü bulun. ### Soru 3 Soru 2'deki sistemin genel çözümünü yazın ve $\mathbf{x}(0)=[0,0]^T$ başlangıç durumunu uygulayın. ### Soru 4 $$ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}0&0\\0&-1\end{bmatrix}\mathbf{x} +e^{2t}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} $$ sistemi için $\mathbf{x}_p=e^{2t}\mathbf{v}$ adayını kurun ve $\mathbf{v}$'yi bulun. ### Soru 5 $e^{\lambda t}\mathbf{b}$ girdisinde $\lambda$ aynı zamanda $A$'nın bir özdeğeriyse $e^{\lambda t}\mathbf{v}$ adayının neden başarısız olabileceğini açıklayın; uygun adayda yapılacak değişikliği belirtin. ### Soru 6 Verilen $$ \mathbf{x}_p(t)=\begin{bmatrix}1-e^{-t}\\2-2e^{-2t}\end{bmatrix} $$ fonksiyonunun hangi sabit girdi altında $\mathbf{x}'=\operatorname{diag}(-1,-2)\mathbf{x}+\mathbf{f}$ sistemini sağladığını bulun. ### Soru 7 $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{f}(t)$ için temel matris yöntemiyle özel çözüm integralini yazın. Bu soruda integrali hesaplamayın. ### Soru 8 Sabit girdi, üstel girdi ve genel sürekli girdi için ilk denenecek özel çözüm yöntemini seçin; seçiminizi kısa bir tabloyla gerekçelendirin. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü $\mathbf{x}_h+\mathbf{x}_p$ ayrımı, sabit girdide eksi işareti, > vektör adayın boyutu, özdeğerle çakışma ve yöntem maliyeti açısından incele. > Hata varsa doğru vektörü vermeden ilk yanlış kurulum adımını belirt.