Katlı Karakteristik Kökler: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği

Çift reel köklü sabit katsayılı denklemlerde ikinci bağımsız çözümü kurma ve başlangıç koşullarını uygulama pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

26 Temmuz 2026

Katlı Karakteristik Kökler: Alıştırmalar

Karakteristik denklemde aynı reel kök iki kez çıkarsa $e^{rx}$ tek başına ikinci mertebeden çözüm uzayını doldurmaz. İkinci bağımsız çözüm $xe^{rx}$ olur:

\[ \boxed{y=(C_1+C_2x)e^{rx}}. \]

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Çift köklü altı ikinci mertebe denklem üret. Önce diskriminant veya çarpanlara ayırma ile katlı kökü bulmamı bekle. Genel çözümde x çarpanını unutursam yalnız bağımsızlık sorununu belirt.

Çözüm Hattı

Örnek 1: Klasik Çift Kök

\[ y''-4y'+4y=0. \]

\[ r^2-4r+4=(r-2)^2=0. \]

Çift kök $r=2$:

\[ \boxed{y=(C_1+C_2x)e^{2x}}. \]

Örnek 2: Negatif Çift Kök

\[ y''+6y'+9y=0. \]

\[ (r+3)^2=0,\qquad \boxed{y=(C_1+C_2x)e^{-3x}}. \]

Örnek 3: Wronskian Kontrolü

$y_1=e^{rx}$, $y_2=xe^{rx}$ için

\[ W= \begin{vmatrix} e^{rx}&xe^{rx}\\ re^{rx}&(1+rx)e^{rx} \end{vmatrix} =e^{2rx}\neq0. \]

Dolayısıyla iki çözüm bağımsızdır.

Başlangıç Koşulları

Örnek 4

\[ y''-4y'+4y=0,\qquad y(0)=1,\quad y'(0)=0. \]

\[ y=(C_1+C_2x)e^{2x}. \]

$y(0)=C_1=1$. Türev

\[ y'=\bigl(C_2+2C_1+2C_2x\bigr)e^{2x}. \]

$y'(0)=C_2+2C_1=0$ olduğundan $C_2=-2$:

\[ \boxed{y=(1-2x)e^{2x}}. \]

Örnek 5: Sıfır Çift Kök

\[ y''=0 \]

için karakteristik denklem $r^2=0$ ve çift kök $r=0$’dır:

\[ y=C_1+C_2x. \]

Bu sonuç doğrudan iki kez integrasyonla bulunan çözümle aynıdır.

Hata Avı

Örnek 6: Aynı Çözümü İki Kez Yazmak

$C_1e^{rx}+C_2e^{rx}=(C_1+C_2)e^{rx}$ tek bağımsız çözüm taşır. İkinci çözümde $x$ çarpanı gerekir.

Örnek 7: Türevde Çarpım Kuralı

$(C_1+C_2x)e^{rx}$ türevlenirken hem parantez hem üstel türevlenir.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

$y''-2y'+y=0$ denklemini çözün.

Soru 2

$y''+8y'+16y=0$ denklemini çözün.

Soru 3

$4y''-12y'+9y=0$ denklemini çözün.

Soru 4

$y''-6y'+9y=0,\ y(0)=2,\ y'(0)=1$ problemini çözün.

Soru 5

$y''+4y'+4y=0,\ y(0)=0,\ y'(0)=3$ problemini çözün.

Soru 6

Kökü $r=-2$ olan çift köklü monik karakteristik denklemi kurun.

Soru 7

$e^{rx}$ ile $xe^{rx}$ çözümlerinin ikisini de diferansiyel denklemde doğrulayın.

Soru 8

Katlı kökte neden iki ayrı sabite rağmen aynı üstel çözümü iki kez yazmanın yeterli olmadığını açıklayın.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü çift kökün tanınması, ikinci çözümde x çarpanı, çarpım kuralıyla türev, iki bağımsız sabit ve başlangıç koşulları açısından incele. Hata varsa doğru çözümü vermeden bağımsızlığın kaybolduğu adımı belirt.

--- title: "Katlı Karakteristik Kökler: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-07-26 description: "Çift reel köklü sabit katsayılı denklemlerde ikinci bağımsız çözümü kurma ve başlangıç koşullarını uygulama pratiği." execute: echo: false --- # Katlı Karakteristik Kökler: Alıştırmalar Karakteristik denklemde aynı reel kök iki kez çıkarsa $e^{rx}$ tek başına ikinci mertebeden çözüm uzayını doldurmaz. İkinci bağımsız çözüm $xe^{rx}$ olur: $$ \boxed{y=(C_1+C_2x)e^{rx}}. $$ ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Çift köklü altı ikinci mertebe denklem üret. Önce diskriminant veya > çarpanlara ayırma ile katlı kökü bulmamı bekle. Genel çözümde x çarpanını > unutursam yalnız bağımsızlık sorununu belirt. ::: ## Çözüm Hattı ### Örnek 1: Klasik Çift Kök $$ y''-4y'+4y=0. $$ $$ r^2-4r+4=(r-2)^2=0. $$ Çift kök $r=2$: $$ \boxed{y=(C_1+C_2x)e^{2x}}. $$ ### Örnek 2: Negatif Çift Kök $$ y''+6y'+9y=0. $$ $$ (r+3)^2=0,\qquad \boxed{y=(C_1+C_2x)e^{-3x}}. $$ ### Örnek 3: Wronskian Kontrolü $y_1=e^{rx}$, $y_2=xe^{rx}$ için $$ W= \begin{vmatrix} e^{rx}&xe^{rx}\\ re^{rx}&(1+rx)e^{rx} \end{vmatrix} =e^{2rx}\neq0. $$ Dolayısıyla iki çözüm bağımsızdır. ## Başlangıç Koşulları ### Örnek 4 $$ y''-4y'+4y=0,\qquad y(0)=1,\quad y'(0)=0. $$ $$ y=(C_1+C_2x)e^{2x}. $$ $y(0)=C_1=1$. Türev $$ y'=\bigl(C_2+2C_1+2C_2x\bigr)e^{2x}. $$ $y'(0)=C_2+2C_1=0$ olduğundan $C_2=-2$: $$ \boxed{y=(1-2x)e^{2x}}. $$ ### Örnek 5: Sıfır Çift Kök $$ y''=0 $$ için karakteristik denklem $r^2=0$ ve çift kök $r=0$'dır: $$ y=C_1+C_2x. $$ Bu sonuç doğrudan iki kez integrasyonla bulunan çözümle aynıdır. ## Hata Avı ### Örnek 6: Aynı Çözümü İki Kez Yazmak $C_1e^{rx}+C_2e^{rx}=(C_1+C_2)e^{rx}$ tek bağımsız çözüm taşır. İkinci çözümde $x$ çarpanı gerekir. ### Örnek 7: Türevde Çarpım Kuralı $(C_1+C_2x)e^{rx}$ türevlenirken hem parantez hem üstel türevlenir. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 $y''-2y'+y=0$ denklemini çözün. ### Soru 2 $y''+8y'+16y=0$ denklemini çözün. ### Soru 3 $4y''-12y'+9y=0$ denklemini çözün. ### Soru 4 $y''-6y'+9y=0,\ y(0)=2,\ y'(0)=1$ problemini çözün. ### Soru 5 $y''+4y'+4y=0,\ y(0)=0,\ y'(0)=3$ problemini çözün. ### Soru 6 Kökü $r=-2$ olan çift köklü monik karakteristik denklemi kurun. ### Soru 7 $e^{rx}$ ile $xe^{rx}$ çözümlerinin ikisini de diferansiyel denklemde doğrulayın. ### Soru 8 Katlı kökte neden iki ayrı sabite rağmen aynı üstel çözümü iki kez yazmanın yeterli olmadığını açıklayın. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü çift kökün tanınması, ikinci çözümde x çarpanı, çarpım kuralıyla > türev, iki bağımsız sabit ve başlangıç koşulları açısından incele. Hata varsa > doğru çözümü vermeden bağımsızlığın kaybolduğu adımı belirt.