Transfer Fonksiyonu ve Dürtü Cevabı: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği

Sistem, girdi ve çıktı ayrımını kurma; transfer fonksiyonunu, kutupları, dürtü ve basamak cevaplarını okuma pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

24 Ağustos 2026

Transfer Fonksiyonu ve Dürtü Cevabı: Alıştırmalar

Sıfır başlangıç koşullarında $Y(s)=H(s)G(s)$ ayrımı kullanılır. $H$ yalnız sistemin katsayılarına, $G$ girdiye bağlıdır. Dürtü cevabı $h=\mathcal L^{-1}\{H\}$’dir.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Önce sistem, girdi ve çıktı parçalarını kendiniz ayırın. Yapay zekâdan yalnız $H(s)$’nin girdiden bağımsız olup olmadığını ve kutuplardan yaptığınız davranış yorumunu kontrol etmesini isteyin.

Tanıma ve Karar

Örnek 1: Üç Rol

$H(s)$ sistemi, $G(s)$ girdiyi, $Y(s)=H(s)G(s)$ çıktıyı temsil eder. Girdi değiştiğinde $G$ ve $Y$ değişir; sistem aynı kaldığı sürece $H$ değişmez.

Örnek 2: Dürtü Cevabı

$G(s)=1$ ise girdi Dirac dürtüsüdür. Bu durumda $Y(s)=H(s)$ ve çıktı $h(t)=\mathcal L^{-1}\{H(s)\}$ olur.

Örnek 3: Basamak Cevabı

$g(t)=u(t)$ için $G(s)=1/s$’dir. Basamak cevabı $Y=H/s$; özgün tarafta $y(t)=\int_0^t h(\tau)d\tau$ olur.

Örnek 4: Kutupları Okuma

$H(s)=1/(s-2)$ pozitif reel kutup taşır ve dürtü cevabı $e^{2t}$ büyür. Sistem kararsızdır.

Mekanizmayı Kurma

Örnek 5: Transfer Fonksiyonunu Çıkarma

\[ y''+3y'+2y=g(t),\q\quad y(0)=y'(0)=0 \]

Dönüşüm

\[ (s^2+3s+2)Y=G \]

verir. Dolayısıyla

\[ H(s)=\frac{Y}{G}=\frac1{(s+1)(s+2)}. \]

Örnek 6: Dürtü Cevabını Kurma

Bir önceki sistem için

\[ H(s)=\frac1{s+1}-\frac1{s+2} \]

olduğundan $h(t)=e^{-t}-e^{-2t}$’dir. İki kutup da negatif olduğundan cevap söner.

Temel Tam Çözümler

Örnek 7: Birinci Mertebe Sistem

\[ y'+2y=g(t),\q\quad y(0)=0 \]

Dönüşümden $(s+2)Y=G$ çıkar. Bu nedenle

\[ H(s)=\frac1{s+2},\q\quad \boxed{h(t)=e^{-2t}}. \]

Birim basamak girdisi için

\[ Y(s)=\frac1{s(s+2)} =\frac12\left(\frac1s-\frac1{s+2}\right) \]

\[ \boxed{y(t)=\frac12(1-e^{-2t})} \]

bulunur. Son değer $1/2$, sabit denklemden $2y=1$ ile de okunur.

Örnek 8: Sönümlü Salınım

\[ y''+2y'+5y=g(t),\q\quad y(0)=y'(0)=0 \]

\[ H(s)=\frac1{s^2+2s+5} =\frac1{(s+1)^2+4}. \]

Sinüs kalıbında payı $2$’ye tamamlayalım:

\[ \boxed{h(t)=\frac12e^{-t}\sin2t}. \]

Kutuplar $-1\pm2i$’dir; reel kısım sönümü, sanal kısım salınımı belirler.

Hata Avı

Örnek 9: İlk Hata Nerede?

Bir öğrenci sıfırdan farklı başlangıç koşullarında da doğrudan $Y=HG$ yazıyor. İlk hata, başlangıç koşullarından gelen terimleri atlamaktır. Bu durumda çıktı, girdi cevabı ile başlangıç cevabının toplamıdır.

Karşılaştırma

Örnek 10: Dürtü ve Basamak

Dürtü cevabı sistemi kısa bir vuruşla sınar ve doğrudan $h$’yi verir. Basamak cevabı kalıcı sabit girdiye tepkidir ve $h$’nin integralidir. Aynı sistemi iki farklı girdinin altında gözleriz; $H$ değişmez.

Hafif Karma Örnek

Örnek 11: Basit Girdiye Cevap Kurma

$H(s)=1/(s+1)$ ve $g(t)=e^{-t}$ olsun. $G(s)=1/(s+1)$ olduğundan

\[ Y(s)=\frac1{(s+1)^2}. \]

Ters dönüşüm

\[ \boxed{y(t)=te^{-t}} \]

verir. Aynı sonuç $e^{-t}*e^{-t}$ konvolüsyonundan da elde edilir.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

\[ y''+3y'+2y=g(t), \q\quad y(0)=y'(0)=0 \]

sistemi için transfer fonksiyonunu ve kutupları bulun.

Soru 2

Soru 1’deki sistemin dürtü cevabını bulun ve uzun zamandaki davranışını yorumlayın.

Soru 3

$H(s)=1/(s+2)$ sisteminin birim basamak cevabını bulun. Son değeri kutup yapısıyla birlikte yorumlayın.

Soru 4

$H(s)=1/(s^2+2s+10)$ için dürtü cevabını bulun; sönüm oranını ve salınım frekansını kutuplardan okuyun.

Soru 5

$H(s)=1/(s+1)$ ve $g(t)=2e^{-3t}$ veriliyor. Sıfır başlangıç koşullarında $Y(s)$’yi kurun ve çıktıyı bulun.

Soru 6

Sıfırdan farklı başlangıç koşullarında $Y=HG$ eşitliğinin tek başına neden yeterli olmadığını ikinci mertebeden bir denklem üzerinde gösterin.

Soru 7

$h(t)=e^{-t}$ ve $g(t)=t$ için çıktıyı

\[ y(t)=(h*g)(t) \]

konvolüsyonundan hesaplayın.

Soru 8

$H_1(s)=1/(s+1)$ ve $H_2(s)=1/(s-1)$ sistemlerini kutupları, dürtü cevapları ve kararlılıkları bakımından karşılaştırın.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü $H$, $G$ ve $Y$ rollerini ayırma, sıfır başlangıç koşulu varsayımı, dürtü ve basamak cevapları ile kutuplardan kararlılık okuma açısından incele. Hata varsa ters dönüşümü yapmadan ilk yanlış yorumu belirt.

--- title: "Transfer Fonksiyonu ve Dürtü Cevabı: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-24 description: "Sistem, girdi ve çıktı ayrımını kurma; transfer fonksiyonunu, kutupları, dürtü ve basamak cevaplarını okuma pratiği." execute: echo: false --- # Transfer Fonksiyonu ve Dürtü Cevabı: Alıştırmalar Sıfır başlangıç koşullarında $Y(s)=H(s)G(s)$ ayrımı kullanılır. $H$ yalnız sistemin katsayılarına, $G$ girdiye bağlıdır. Dürtü cevabı $h=\mathcal L^{-1}\{H\}$'dir. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Önce sistem, girdi ve çıktı parçalarını kendiniz ayırın. Yapay zekâdan > yalnız $H(s)$'nin girdiden bağımsız olup olmadığını ve kutuplardan yaptığınız > davranış yorumunu kontrol etmesini isteyin. ::: ## Tanıma ve Karar ### Örnek 1: Üç Rol $H(s)$ sistemi, $G(s)$ girdiyi, $Y(s)=H(s)G(s)$ çıktıyı temsil eder. Girdi değiştiğinde $G$ ve $Y$ değişir; sistem aynı kaldığı sürece $H$ değişmez. ### Örnek 2: Dürtü Cevabı $G(s)=1$ ise girdi Dirac dürtüsüdür. Bu durumda $Y(s)=H(s)$ ve çıktı $h(t)=\mathcal L^{-1}\{H(s)\}$ olur. ### Örnek 3: Basamak Cevabı $g(t)=u(t)$ için $G(s)=1/s$'dir. Basamak cevabı $Y=H/s$; özgün tarafta $y(t)=\int_0^t h(\tau)d\tau$ olur. ### Örnek 4: Kutupları Okuma $H(s)=1/(s-2)$ pozitif reel kutup taşır ve dürtü cevabı $e^{2t}$ büyür. Sistem kararsızdır. ## Mekanizmayı Kurma ### Örnek 5: Transfer Fonksiyonunu Çıkarma $$ y''+3y'+2y=g(t),\q\quad y(0)=y'(0)=0 $$ Dönüşüm $$ (s^2+3s+2)Y=G $$ verir. Dolayısıyla $$ H(s)=\frac{Y}{G}=\frac1{(s+1)(s+2)}. $$ ### Örnek 6: Dürtü Cevabını Kurma Bir önceki sistem için $$ H(s)=\frac1{s+1}-\frac1{s+2} $$ olduğundan $h(t)=e^{-t}-e^{-2t}$'dir. İki kutup da negatif olduğundan cevap söner. ## Temel Tam Çözümler ### Örnek 7: Birinci Mertebe Sistem $$ y'+2y=g(t),\q\quad y(0)=0 $$ Dönüşümden $(s+2)Y=G$ çıkar. Bu nedenle $$ H(s)=\frac1{s+2},\q\quad \boxed{h(t)=e^{-2t}}. $$ Birim basamak girdisi için $$ Y(s)=\frac1{s(s+2)} =\frac12\left(\frac1s-\frac1{s+2}\right) $$ ve $$ \boxed{y(t)=\frac12(1-e^{-2t})} $$ bulunur. Son değer $1/2$, sabit denklemden $2y=1$ ile de okunur. ### Örnek 8: Sönümlü Salınım $$ y''+2y'+5y=g(t),\q\quad y(0)=y'(0)=0 $$ $$ H(s)=\frac1{s^2+2s+5} =\frac1{(s+1)^2+4}. $$ Sinüs kalıbında payı $2$'ye tamamlayalım: $$ \boxed{h(t)=\frac12e^{-t}\sin2t}. $$ Kutuplar $-1\pm2i$'dir; reel kısım sönümü, sanal kısım salınımı belirler. ## Hata Avı ### Örnek 9: İlk Hata Nerede? Bir öğrenci sıfırdan farklı başlangıç koşullarında da doğrudan $Y=HG$ yazıyor. İlk hata, başlangıç koşullarından gelen terimleri atlamaktır. Bu durumda çıktı, girdi cevabı ile başlangıç cevabının toplamıdır. ## Karşılaştırma ### Örnek 10: Dürtü ve Basamak Dürtü cevabı sistemi kısa bir vuruşla sınar ve doğrudan $h$'yi verir. Basamak cevabı kalıcı sabit girdiye tepkidir ve $h$'nin integralidir. Aynı sistemi iki farklı girdinin altında gözleriz; $H$ değişmez. ## Hafif Karma Örnek ### Örnek 11: Basit Girdiye Cevap Kurma $H(s)=1/(s+1)$ ve $g(t)=e^{-t}$ olsun. $G(s)=1/(s+1)$ olduğundan $$ Y(s)=\frac1{(s+1)^2}. $$ Ters dönüşüm $$ \boxed{y(t)=te^{-t}} $$ verir. Aynı sonuç $e^{-t}*e^{-t}$ konvolüsyonundan da elde edilir. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 $$ y''+3y'+2y=g(t), \q\quad y(0)=y'(0)=0 $$ sistemi için transfer fonksiyonunu ve kutupları bulun. ### Soru 2 Soru 1'deki sistemin dürtü cevabını bulun ve uzun zamandaki davranışını yorumlayın. ### Soru 3 $H(s)=1/(s+2)$ sisteminin birim basamak cevabını bulun. Son değeri kutup yapısıyla birlikte yorumlayın. ### Soru 4 $H(s)=1/(s^2+2s+10)$ için dürtü cevabını bulun; sönüm oranını ve salınım frekansını kutuplardan okuyun. ### Soru 5 $H(s)=1/(s+1)$ ve $g(t)=2e^{-3t}$ veriliyor. Sıfır başlangıç koşullarında $Y(s)$'yi kurun ve çıktıyı bulun. ### Soru 6 Sıfırdan farklı başlangıç koşullarında $Y=HG$ eşitliğinin tek başına neden yeterli olmadığını ikinci mertebeden bir denklem üzerinde gösterin. ### Soru 7 $h(t)=e^{-t}$ ve $g(t)=t$ için çıktıyı $$ y(t)=(h*g)(t) $$ konvolüsyonundan hesaplayın. ### Soru 8 $H_1(s)=1/(s+1)$ ve $H_2(s)=1/(s-1)$ sistemlerini kutupları, dürtü cevapları ve kararlılıkları bakımından karşılaştırın. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü $H$, $G$ ve $Y$ rollerini ayırma, sıfır başlangıç koşulu > varsayımı, dürtü ve basamak cevapları ile kutuplardan kararlılık okuma > açısından incele. Hata varsa ters dönüşümü yapmadan ilk yanlış yorumu > belirt.