Homojen Tip Denklemler: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği
Homojen Tip Denklemler: Alıştırmalar
Birinci mertebeden bir denklem
\[ y'=F\!\left(\frac{y}{x}\right) \]
biçimine getirilebiliyorsa \(y=vx\) dönüşümü oranı yeni bilinmeyen yapar. Türev \(y'=v+xv'\) olduğundan dönüşüm sonrası denklem çoğunlukla ayrılabilir hâle gelir. Bu yöntem, lineer denklemlerdeki “homojen” sözcüğüyle aynı anlamda değildir.
Beşi homojen tip, ikisi homojen tip olmayan yedi denklem üret. Önce sağ tarafı y/x oranıyla yazmamı bekle. Dönüşümde y’=v+xv’ terimini eksik yazarsam yalnız türev hatasını belirt.
Homojen Tipi Tanıma
Örnek 1: Oranı Görünür Kılma
\[ y'=\frac{x+2y}{x}=1+2\frac{y}{x} \]
olduğundan sağ taraf yalnız \(y/x\) oranına bağlıdır.
Örnek 2: Derece Kontrolü
\[ y'=\frac{x^2+2y^2}{xy} =\frac{x}{y}+2\frac{y}{x} =\frac{1}{y/x}+2\frac{y}{x}. \]
Bu da yalnız \(y/x\) oranının fonksiyonudur.
\(y=vx\) Dönüşümü
Örnek 3: Temel Uygulama
\[ y'=\frac{x+y}{x-y}. \]
\(y=vx\) ve \(y'=v+xv'\) yazılır:
\[ v+xv'=\frac{1+v}{1-v}. \]
Buradan
\[ xv'=\frac{1+v}{1-v}-v =\frac{1+v^2}{1-v}. \]
Değişkenler ayrılır:
\[ \frac{1-v}{1+v^2}\,dv=\frac{dx}{x}. \]
İntegrasyon
\[ \arctan v-\frac12\ln(1+v^2)=\ln|x|+C \]
verir. Son adımda \(v=y/x\) geri yazılır.
Örnek 4: Dönüşümden Sonra Basit Denklem
\[ xy'=y+2x. \]
\(x\neq0\) için \(y'=y/x+2\). \(y=vx\) yazınca
\[ v+xv'=v+2,\qquad xv'=2. \]
\[ v=2\ln|x|+C,\qquad y=x\bigl(2\ln|x|+C\bigr). \]
Çözüm Bölgesi
Örnek 5: Paydaların Koşulu
Homojen tip dönüşümünde \(y/x\) kullanıldığı için \(x=0\) baştan dışarıdadır. Orijinal denklemde \(x-y\) paydası varsa \(y=x\) doğrusu da tanımsızlık oluşturur. Çözüm aralığı bu doğruların geçilemeyeceği dikkate alınarak yorumlanır.
Ek Çözümlü Örnekler
Örnek A: Başlangıç Koşuluyla Tam Hat
\[ y'=1+\frac{y}{x},\qquad x>0,\qquad y(1)=2. \]
Tanı ve dönüşüm. Sağ taraf yalnız \(y/x\) oranına bağlıdır. \(y=vx\), \(y'=v+xv'\) yazılır:
\[ v+xv'=1+v. \]
Ayrılabilir denklem ve integral.
\[ xv'=1,\qquad v'=\frac1x,\qquad v=\ln x+C. \]
Geri dönüş ve başlangıç koşulu.
\[ y=x(\ln x+C),\qquad 2=y(1)=C. \]
\[ \boxed{y=x(\ln x+2)},\qquad x>0. \]
Doğrulama. \(y'=\ln x+3\) ve \(1+y/x=\ln x+3\) eşittir.
Örnek B: Sabit Oran Çözümleri
\[ y'=\left(\frac yx\right)^2 \]
için \(y=vx\) dönüşümü
\[ v+xv'=v^2,\qquad \frac{dv}{v(v-1)}=\frac{dx}{x} \]
verir. \(v(v-1)\)’e bölmeden önce \(v=0\) ve \(v=1\) durumları sınanır. Bunlar sırasıyla \(y=0\) ve \(y=x\) çözümlerini verir.
Hata Avı
Örnek 6: \(y'=xv'\) Yazmak
\(y=vx\) bir çarpımdır. Türevi \(y'=v+xv'\) olur; \(v\) terimini atmak dönüşümün tamamını bozar.
Örnek 7: Her Kesirli Denklemi Homojen Sanmak
\(y'=y/x^2\) sağ tarafı yalnız \(y/x\) oranıyla yazılamaz; ayrıca \(x\) bağımlılığı kalır. Denklem ayrılabilir olsa da homojen tip değildir.
Adım Adım İşlem Pratiği
Örnek 8
\[ y'=1+\frac{y}{x} \]
için \(v+xv'=1+v\), dolayısıyla \(v' =1/x\) ve
\[ y=x(\ln|x|+C). \]
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\(y'=(x+3y)/x\) denkleminin homojen tip olduğunu gösterip çözün.
Soru 2
\(y'=(x^2+y^2)/(xy)\) denklemini \(y=vx\) ile dönüştürün ve ayrılabilir denklemi yazın.
Soru 3
\(y'=(2x-y)/(x+2y)\) denklemini çözün.
Soru 4
\(xy'=y+x\) denklemini çözün.
Soru 5
\(y'=y/x^2\) denkleminin neden homojen tip olmadığını, buna rağmen hangi yöntemle çözülebileceğini açıklayın.
Soru 6
\(y'=(x+y+1)/(x-y)\) denkleminin doğrudan homojen tip olup olmadığını inceleyin.
Soru 7
\(y'=(y/x)^2\) denklemini çözün ve \(y=0\) çözümünü ayrıca kontrol edin.
Soru 8
Bir homojen tip çözümde \(x=0\)’ın neden çözüm aralığına alınamadığını açıklayın.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümümü sağ tarafın yalnız y/x oranına bağlı olması, y=vx dönüşümünde y’=v+xv’ kullanımı, değişkenlerin ayrılması, geri dönüş ve tanımsız doğrular açısından incele. Hata varsa doğru integrali vermeden ilk dönüşüm hatasını belirt.