Ters Laplace ve Başlangıç Değer Problemleri: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği

Ters Laplace kalıplarını seçme, kısmi kesirleri kurma ve başlangıç değer problemlerini Laplace dönüşümüyle çözme pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

24 Ağustos 2026

Ters Laplace ve Başlangıç Değer Problemleri: Alıştırmalar

Ters dönüşümde amaç, $Y(s)$ ifadesini tablodan okunabilen kısa parçalara ayırmaktır. Başlangıç koşulları türev formüllerinde hesaba girdiği için çözüm sonunda ayrıca sabit belirleme adımı bulunmaz.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Önce $Y(s)$’yi yalnız bırakıp kısmi kesir kalıbını kendiniz yazın. Yapay zekâdan katsayıları çözmesini değil, payda çarpanına karşı doğru sayıda terim yazıp yazmadığınızı ve başlangıç koşullarının dönüşüme girip girmediğini kontrol etmesini isteyin.

Tanıma ve Karar

Örnek 1: Ayrık Kök Kalıbı

\[ \frac{1}{s(s+2)} \]

iki ayrık doğrusal çarpan taşır. Kısmi kesir kalıbı $A/s+B/(s+2)$ olmalıdır.

Örnek 2: Katlı Kök Kalıbı

\[ \frac{s}{(s+1)^2} \]

için $A/(s+1)+B/(s+1)^2$ yazılır. İkinci terimin özgün karşılığı $te^{-t}$ tipindedir.

Örnek 3: Kompleks Kök Kalıbı

\[ \frac{2s+1}{s^2+4} \]

payda sinüs–kosinüs satırına gider. Paydaki $s$ kosinüsü, sabit terim sinüsü üretir; kısmi kesir gerekmez.

Örnek 4: Yöntem Kararı

Başlangıç koşulları verilen sabit katsayılı bir denklemde Laplace yöntemi, koşulları doğrudan dönüşüm denklemine taşır. Koşulsuz basit bir homojen denklemde ise karakteristik denklem daha kısa olabilir.

Mekanizmayı Kurma

Örnek 5: Birinci Mertebe Kurulumu

\[ y'+2y=4,\q\quad y(0)=1 \]

Dönüşüm denklemi

\[ sY-1+2Y=\frac4s \]

ve dolayısıyla

\[ Y=\frac{s+4}{s(s+2)} \]

olur. Burada yalnız kurulum ölçülmektedir.

Örnek 6: İkinci Mertebe Kurulumu

\[ y''+y=0,\q\quad y(0)=0,\quad y'(0)=3 \]

\[ s^2Y-3+Y=0,\q\quad Y=\frac3{s^2+1}. \]

Başlangıç eğimi $-y'(0)$ teriminden dönüşüm denklemine girmiştir.

Temel Tam Çözümler

Örnek 7: Birinci Mertebe Başlangıç Değeri

\[ y'+y=1,\q\quad y(0)=0 \]

Dönüşüm alalım:

\[ sY+Y=\frac1s,\q\quad Y=\frac1{s(s+1)}. \]

Kısmi kesirler

\[ \frac1{s(s+1)}=\frac1s-\frac1{s+1} \]

verir. Ters dönüşümle

\[ \boxed{y(t)=1-e^{-t}}. \]

$y(0)=0$ sağlanır ve $y'+y=1$ yerine koymayla doğrulanır.

Örnek 8: İkinci Mertebe Başlangıç Değeri

\[ y''+3y'+2y=0,\q\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0 \]

Dönüşüm denklemi

\[ (s^2Y-s)+3(sY-1)+2Y=0 \]

olur. Buradan

\[ Y=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)} =\frac2{s+1}-\frac1{s+2} \]

\[ \boxed{y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}} \]

bulunur. $y(0)=1$ ve $y'(0)=0$ koşulları doğrudan sağlanır.

Hata Avı

Örnek 9: İlk Hata Nerede?

Bir öğrenci $y''+y=0$, $y(0)=0$, $y'(0)=3$ için $s^2Y+Y=0$ yazıyor. İlk hata, ikinci türev dönüşümündeki $-y'(0)$ terimini atlamaktır. Doğru denklem $(s^2+1)Y=3$ olmalıdır.

Karşılaştırma

Örnek 10: Aynı Payda, Farklı Bilgi

$y''+3y'+2y=0$ denkleminde karakteristik yöntem $(r+1)(r+2)$ köklerini bulur ve iki sabiti sonradan belirler. Laplace yönteminde aynı polinom $Y(s)$’nin paydasında görünür; başlangıç koşulları payı belirler. İki yöntem aynı yapıyı farklı sırayla kullanır.

Hafif Karma Örnek

Örnek 11: Homojen Olmayan Problem

\[ y''+4y=4,\q\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0 \]

\[ (s^2+4)Y=\frac4s,\q\quad Y=\frac4{s(s^2+4)}. \]

Kısa ayrıştırma

\[ \frac4{s(s^2+4)}=\frac1s-\frac{s}{s^2+4} \]

verir. Böylece

\[ \boxed{y(t)=1-\cos2t}. \]

Başlangıç koşulları ve denklem doğrudan doğrulanır.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

\[ \mathcal L^{-1}\left\{\frac{5}{s(s+5)}\right\} \]

ifadesini kısmi kesirlere ayırarak bulun.

Soru 2

\[ \mathcal L^{-1}\left\{\frac{2s+3}{(s+1)^2}\right\} \]

ifadesini temel tabloya uygun parçalara ayırın ve ters dönüşümü bulun.

Soru 3

\[ \mathcal L^{-1}\left\{\frac{s+2}{(s+2)^2+9}\right\}, \q\quad \mathcal L^{-1}\left\{\frac{6}{(s+2)^2+9}\right\} \]

ters dönüşümlerini bulun.

Soru 4

\[ y'+2y=3, \q\quad y(0)=1 \]

başlangıç değer problemini Laplace dönüşümüyle çözün.

Soru 5

\[ y''+3y'+2y=0, \q\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1 \]

problemini Laplace dönüşümüyle uçtan uca çözün.

Soru 6

\[ y''+y=\sin t, \q\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0 \]

problemini Laplace yöntemiyle çözün; $Y(s)$ paydasındaki katlı çarpanı doğru ayrıştırın.

Soru 7

Bir öğrenci $y'(0)=4$ koşulunu $\mathcal L\{y'\}=sY-4$ içinde kullanıyor. Bu kullanımın ne zaman doğru olduğunu ve ikinci türev dönüşümünde koşulun hangi terimde göründüğünü açıklayın.

Soru 8

\[ (s^2+4s+5)Y(s)=s+5 \]

denkleminden $Y(s)$’yi yalnız bırakın, kareye tamamlama yapın ve ters Laplace dönüşümünü bulun.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü $Y(s)$’yi yalnız bırakma, kısmi kesirlerde terim sayısı, sinüs ve kosinüs payları, başlangıç koşullarının türev formüllerine girişi ve son çözümün koşulları sağlaması açısından incele. Hata varsa doğru katsayıları vermeden ilk yanlış adımı belirt.

--- title: "Ters Laplace ve Başlangıç Değer Problemleri: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-24 description: "Ters Laplace kalıplarını seçme, kısmi kesirleri kurma ve başlangıç değer problemlerini Laplace dönüşümüyle çözme pratiği." execute: echo: false --- # Ters Laplace ve Başlangıç Değer Problemleri: Alıştırmalar Ters dönüşümde amaç, $Y(s)$ ifadesini tablodan okunabilen kısa parçalara ayırmaktır. Başlangıç koşulları türev formüllerinde hesaba girdiği için çözüm sonunda ayrıca sabit belirleme adımı bulunmaz. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Önce $Y(s)$'yi yalnız bırakıp kısmi kesir kalıbını kendiniz yazın. Yapay > zekâdan katsayıları çözmesini değil, payda çarpanına karşı doğru sayıda terim > yazıp yazmadığınızı ve başlangıç koşullarının dönüşüme girip girmediğini > kontrol etmesini isteyin. ::: ## Tanıma ve Karar ### Örnek 1: Ayrık Kök Kalıbı $$ \frac{1}{s(s+2)} $$ iki ayrık doğrusal çarpan taşır. Kısmi kesir kalıbı $A/s+B/(s+2)$ olmalıdır. ### Örnek 2: Katlı Kök Kalıbı $$ \frac{s}{(s+1)^2} $$ için $A/(s+1)+B/(s+1)^2$ yazılır. İkinci terimin özgün karşılığı $te^{-t}$ tipindedir. ### Örnek 3: Kompleks Kök Kalıbı $$ \frac{2s+1}{s^2+4} $$ payda sinüs–kosinüs satırına gider. Paydaki $s$ kosinüsü, sabit terim sinüsü üretir; kısmi kesir gerekmez. ### Örnek 4: Yöntem Kararı Başlangıç koşulları verilen sabit katsayılı bir denklemde Laplace yöntemi, koşulları doğrudan dönüşüm denklemine taşır. Koşulsuz basit bir homojen denklemde ise karakteristik denklem daha kısa olabilir. ## Mekanizmayı Kurma ### Örnek 5: Birinci Mertebe Kurulumu $$ y'+2y=4,\q\quad y(0)=1 $$ Dönüşüm denklemi $$ sY-1+2Y=\frac4s $$ ve dolayısıyla $$ Y=\frac{s+4}{s(s+2)} $$ olur. Burada yalnız kurulum ölçülmektedir. ### Örnek 6: İkinci Mertebe Kurulumu $$ y''+y=0,\q\quad y(0)=0,\quad y'(0)=3 $$ $$ s^2Y-3+Y=0,\q\quad Y=\frac3{s^2+1}. $$ Başlangıç eğimi $-y'(0)$ teriminden dönüşüm denklemine girmiştir. ## Temel Tam Çözümler ### Örnek 7: Birinci Mertebe Başlangıç Değeri $$ y'+y=1,\q\quad y(0)=0 $$ Dönüşüm alalım: $$ sY+Y=\frac1s,\q\quad Y=\frac1{s(s+1)}. $$ Kısmi kesirler $$ \frac1{s(s+1)}=\frac1s-\frac1{s+1} $$ verir. Ters dönüşümle $$ \boxed{y(t)=1-e^{-t}}. $$ $y(0)=0$ sağlanır ve $y'+y=1$ yerine koymayla doğrulanır. ### Örnek 8: İkinci Mertebe Başlangıç Değeri $$ y''+3y'+2y=0,\q\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0 $$ Dönüşüm denklemi $$ (s^2Y-s)+3(sY-1)+2Y=0 $$ olur. Buradan $$ Y=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)} =\frac2{s+1}-\frac1{s+2} $$ ve $$ \boxed{y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}} $$ bulunur. $y(0)=1$ ve $y'(0)=0$ koşulları doğrudan sağlanır. ## Hata Avı ### Örnek 9: İlk Hata Nerede? Bir öğrenci $y''+y=0$, $y(0)=0$, $y'(0)=3$ için $s^2Y+Y=0$ yazıyor. İlk hata, ikinci türev dönüşümündeki $-y'(0)$ terimini atlamaktır. Doğru denklem $(s^2+1)Y=3$ olmalıdır. ## Karşılaştırma ### Örnek 10: Aynı Payda, Farklı Bilgi $y''+3y'+2y=0$ denkleminde karakteristik yöntem $(r+1)(r+2)$ köklerini bulur ve iki sabiti sonradan belirler. Laplace yönteminde aynı polinom $Y(s)$'nin paydasında görünür; başlangıç koşulları payı belirler. İki yöntem aynı yapıyı farklı sırayla kullanır. ## Hafif Karma Örnek ### Örnek 11: Homojen Olmayan Problem $$ y''+4y=4,\q\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0 $$ $$ (s^2+4)Y=\frac4s,\q\quad Y=\frac4{s(s^2+4)}. $$ Kısa ayrıştırma $$ \frac4{s(s^2+4)}=\frac1s-\frac{s}{s^2+4} $$ verir. Böylece $$ \boxed{y(t)=1-\cos2t}. $$ Başlangıç koşulları ve denklem doğrudan doğrulanır. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 $$ \mathcal L^{-1}\left\{\frac{5}{s(s+5)}\right\} $$ ifadesini kısmi kesirlere ayırarak bulun. ### Soru 2 $$ \mathcal L^{-1}\left\{\frac{2s+3}{(s+1)^2}\right\} $$ ifadesini temel tabloya uygun parçalara ayırın ve ters dönüşümü bulun. ### Soru 3 $$ \mathcal L^{-1}\left\{\frac{s+2}{(s+2)^2+9}\right\}, \q\quad \mathcal L^{-1}\left\{\frac{6}{(s+2)^2+9}\right\} $$ ters dönüşümlerini bulun. ### Soru 4 $$ y'+2y=3, \q\quad y(0)=1 $$ başlangıç değer problemini Laplace dönüşümüyle çözün. ### Soru 5 $$ y''+3y'+2y=0, \q\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1 $$ problemini Laplace dönüşümüyle uçtan uca çözün. ### Soru 6 $$ y''+y=\sin t, \q\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0 $$ problemini Laplace yöntemiyle çözün; $Y(s)$ paydasındaki katlı çarpanı doğru ayrıştırın. ### Soru 7 Bir öğrenci $y'(0)=4$ koşulunu $\mathcal L\{y'\}=sY-4$ içinde kullanıyor. Bu kullanımın ne zaman doğru olduğunu ve ikinci türev dönüşümünde koşulun hangi terimde göründüğünü açıklayın. ### Soru 8 $$ (s^2+4s+5)Y(s)=s+5 $$ denkleminden $Y(s)$'yi yalnız bırakın, kareye tamamlama yapın ve ters Laplace dönüşümünü bulun. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü $Y(s)$'yi yalnız bırakma, kısmi kesirlerde terim sayısı, sinüs ve > kosinüs payları, başlangıç koşullarının türev formüllerine girişi ve son > çözümün koşulları sağlaması açısından incele. Hata varsa doğru katsayıları > vermeden ilk yanlış adımı belirt.