Ortogonal Yörüngeler: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği
Ortogonal Yörüngeler: Alıştırmalar
Ortogonal yörüngeler verilen eğri ailesini kesiştikleri noktalarda dik kesen ikinci bir eğri ailesidir. Önce verilen ailedeki parametre elenir ve eğim denklemi bulunur. Sonlu ve sıfırdan farklı \(m\) eğiminde dik eğim \(-1/m\)’dir. Yatay ve dikey teğetler ayrıca örtük biçimde yorumlanır.
Parametreli beş eğri ailesi üret. Önce parametreyi türev ve özgün bağıntı yardımıyla elememi bekle. Dik eğimi yazdıktan sonra ortaya çıkan denklemin sınıfını benim seçmemi iste.
Ailenin Diferansiyel Denklemi
Örnek 1: \(y=cx^3\)
Türev:
\[ y'=3cx^2. \]
Özgün bağıntıdan \(c=y/x^3\) yazılır:
\[ y'=3\frac{y}{x}. \]
Verilen ailenin eğimi budur.
Dik Eğimi Kurma
Örnek 2
\(m=3y/x\) olduğundan ortogonal eğim
\[ y'_{\perp}=-\frac{x}{3y}. \]
Bu denklem ayrılabilirdir:
\[ 3y\,dy=-x\,dx. \]
\[ \frac32y^2=-\frac12x^2+C, \]
\[ \boxed{x^2+3y^2=C}. \]
Elips ailesi, \(y=cx^3\) eğrilerini uygun noktalarda dik keser.
Parametreyi Eleme
Örnek 3: Çember Ailesi
\[ x^2+y^2=c^2 \]
ailesinin türevi
\[ 2x+2yy'=0,\qquad y'=-\frac{x}{y}. \]
Dik eğim \(y/x\) olur:
\[ y'=\frac yx. \]
Çözüm \(y=Cx\) doğrularıdır.
Ek Çözümlü Örnekler
Örnek A: Üstel Eğri Ailesi
\[ y=ce^x. \]
Parametreyi eleme. Türev \(y'=ce^x=y\) olduğundan verilen ailenin eğimi \(m=y\)’dir.
Dik eğim ve çözüm.
\[ y'_\perp=-\frac1y, \qquad y\,dy=-dx. \]
\[ \boxed{y^2+2x=C}. \]
Örtük türev \(2yy'+2=0\) ve \(y'=-1/y\) verir; \(y\neq0\) olan kesişimlerde eğimlerin çarpımı \(-1\)’dir.
Örnek B: Hiperbol Ailesi
\[ x^2-y^2=c. \]
Türevden
\[ y'=\frac{x}{y} \]
bulunur. Dik eğim \(-y/x\):
\[ \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}, \qquad \ln|y|=-\ln|x|+C. \]
Ortogonal aile
\[ \boxed{xy=C} \]
olur.
Hata Avı
Örnek 4: Yalnız İşareti Değiştirmek
Dik eğim \(-m\) değil, \(-1/m\)’dir. Örneğin \(m=2\) için dik eğim \(-1/2\) olur.
Örnek 5: Parametreyi Denklemde Bırakmak
Ortogonal aile bulunmadan önce \(c\) elimine edilmelidir. Aksi hâlde tek bir eğriye değil, başlangıç ailesinin parametresine bağlı bir denklem kalır.
Örnek 6: Sıfır Eğim
Verilen aile yatay teğete sahipse ortogonal yörünge o noktada dikey teğet taşır. \(-1/m\) formülü \(m=0\) için sayısal bir eğim vermez; geometrik yorum örtük denklem üzerinden yapılır.
Adım Adım İşlem Pratiği
Örnek 7
\(y=cx\) doğrularının eğimi \(y'=c=y/x\)’tir. Dik aile
\[ y'=-\frac{x}{y} \]
ve çözümü \(x^2+y^2=C\) çemberleridir.
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\(y=cx^2\) ailesinin ortogonal yörüngelerini bulun.
Soru 2
\(x^2+y^2=c\) çember ailesinin ortogonal ailesini bulun.
Soru 3
\(y=ce^x\) ailesinin parametresini eleyip ortogonal yörünge denklemini çözün.
Soru 4
\(x^2-y^2=c\) ailesinin ortogonal yörüngelerini bulun.
Soru 5
\(y=c/x\) ailesinin ortogonal ailesini bulun ve iki ailenin kesişme eğimlerini kontrol edin.
Soru 6
Bir çözüm noktasında verilen ailenin eğimi \(-3\) ise ortogonal eğimi bulun.
Soru 7
Yatay ve dikey teğetlerin neden \(m_1m_2=-1\) formülüyle doğrudan hesaplanamadığını açıklayın.
Soru 8
Bulduğunuz bir ortogonal aileyi örtük türevle doğrulayın.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümümü parametreyi eleme, verilen ailenin eğimi, negatif karşıt eğim, ortaya çıkan diferansiyel denklemin çözümü ve yatay/dikey teğetlerin örtük yorumu açısından incele. Hata varsa doğru aileyi vermeden ilk yanlış eğim adımını belirt.