Karakteristik Denklem ve Reel Kökler: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği
Karakteristik Denklem ve Reel Kökler: Alıştırmalar
\[ ay''+by'+cy=0,\qquad a\neq0 \]
denkleminde \(y=e^{rx}\) adayı karakteristik denklemi üretir:
\[ ar^2+br+c=0. \]
İki farklı reel kök \(r_1,r_2\) bulunduğunda temel çözüm kümesi \(\{e^{r_1x},e^{r_2x}\}\) ve genel çözüm \(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\) olur.
Farklı reel köklü sekiz sabit katsayılı ikinci mertebe denklem üret. Karakteristik denklemi, kökleri ve genel çözümü benim yazmamı bekle. Son iki soruda başlangıç koşulları ekle; sabitleri hemen çözme.
Çözüm Hattı
Örnek 1: Çarpanlara Ayrılan Denklem
\[ y''-5y'+6y=0. \]
Karakteristik denklem.
\[ r^2-5r+6=0. \]
Kökler.
\[ (r-2)(r-3)=0,\qquad r_1=2,\quad r_2=3. \]
Genel çözüm.
\[ \boxed{y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}}. \]
Doğrulama. Her üstel çözüm ayrı ayrı denklemi sağlar; lineerlik nedeniyle lineer birleşimleri de çözümdür.
Örnek 2: Bir Pozitif, Bir Negatif Kök
\[ y''-y=0. \]
\[ r^2-1=(r-1)(r+1)=0. \]
\[ \boxed{y=C_1e^x+C_2e^{-x}}. \]
Pozitif köklü bileşen \(x\) arttıkça büyür, negatif köklü bileşen azalır.
Örnek 3: Katsayıyı Önce Sadeleştirme
\[ 2y''-2y'-4y=0. \]
İkiye bölmek hesabı kısaltır:
\[ r^2-r-2=(r-2)(r+1)=0. \]
\[ \boxed{y=C_1e^{2x}+C_2e^{-x}}. \]
Başlangıç Koşulları
Örnek 4
\[ y''-5y'+6y=0,\qquad y(0)=1,\quad y'(0)=0. \]
Genel çözüm \(y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}\) ve türevi
\[ y'=2C_1e^{2x}+3C_2e^{3x}. \]
\(x=0\) için
\[ C_1+C_2=1,\qquad 2C_1+3C_2=0. \]
İlk denklemin iki katını ikinciden çıkarınca \(C_2=-2\) ve \(C_1=3\):
\[ \boxed{y=3e^{2x}-2e^{3x}}. \]
Örnek 5: Kök Formülü
\[ y''+y'-2y=0 \]
için
\[ r=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}2=\frac{-1\pm3}{2}. \]
\(r_1=1\), \(r_2=-2\) ve
\[ \boxed{y=C_1e^x+C_2e^{-2x}}. \]
Hata Avı
Örnek 6: \(y=e^{rx}\) Yerine \(r\) Yazmak
Karakteristik denklem, \(y'=re^{rx}\) ve \(y''=r^2e^{rx}\) yazıp ortak \(e^{rx}\neq0\) çarpanını sadeleştirerek elde edilir.
Örnek 7: İki Kök İçin Tek Sabit
Farklı iki kök iki bağımsız çözüm üretir; genel çözümde iki bağımsız sabit bulunmalıdır.
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\(y''-7y'+12y=0\) denklemini çözün.
Soru 2
\(y''+2y'-3y=0\) denklemini çözün.
Soru 3
\(3y''-3y'-6y=0\) denklemini çözün.
Soru 4
\(y''-4y=0,\ y(0)=2,\ y'(0)=0\) problemini çözün.
Soru 5
\(y''+y'-6y=0,\ y(0)=1,\ y'(0)=5\) problemini çözün.
Soru 6
Kökleri \(2\) ve \(-3\) olan monik karakteristik denklemi ve karşılık gelen diferansiyel denklemi kurun.
Soru 7
Bulduğunuz bir genel çözümü türevlerini alıp orijinal denklemde doğrulayın.
Soru 8
İki farklı reel kökten gelen üstel fonksiyonların neden bağımsız olduğunu Wronskian ile gösterin.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümümü üstel aday, karakteristik polinomun işaretleri, kökler, her köke karşılık gelen üstel çözüm, iki sabit ve başlangıç koşulları açısından incele. Hata varsa doğru kökleri vermeden ilk yanlış cebir adımını belirt.