Kompleks Karakteristik Kökler: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği
Kompleks Karakteristik Kökler: Alıştırmalar
Karakteristik kökler
\[ r=\alpha\pm i\beta,\qquad \beta>0 \]
ise gerçek değerli genel çözüm
\[ \boxed{y=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\bigr)} \]
olur. \(\alpha\) zarfın büyüme veya sönmesini, \(\beta\) salınım hızını belirler.
Kompleks eşlenik köklü sekiz denklem üret. Köklerde alfa ve beta değerlerini benim ayırmamı bekle. Gerçek çözümü yazarken üstel zarfı veya beta katsayısını unutursam yalnız eksik bileşeni belirt.
Çözüm Hattı
Örnek 1: Saf İmajiner Kökler
\[ y''+9y=0. \]
\[ r^2+9=0,\qquad r=\pm3i. \]
\(\alpha=0\), \(\beta=3\):
\[ \boxed{y=C_1\cos3x+C_2\sin3x}. \]
Örnek 2: Sönen Salınım
\[ y''+2y'+5y=0. \]
\[ r=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}2=-1\pm2i. \]
\[ \boxed{y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)}. \]
\(e^{-x}\) zarfı genliği azaltır.
Örnek 3: Büyüyen Salınım
\[ y''-4y'+13y=0. \]
\[ r=2\pm3i, \qquad \boxed{y=e^{2x}(C_1\cos3x+C_2\sin3x)}. \]
Başlangıç Koşulları
Örnek 4
\[ y''+4y=0,\qquad y(0)=2,\quad y'(0)=-4. \]
\[ y=C_1\cos2x+C_2\sin2x. \]
\(C_1=2\). Türev
\[ y'=-2C_1\sin2x+2C_2\cos2x \]
ve \(2C_2=-4\) olduğundan \(C_2=-2\):
\[ \boxed{y=2\cos2x-2\sin2x}. \]
Örnek 5: Kareye Tamamlama
\[ r^2+6r+13=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (r+3)^2+4=0. \]
\(r=-3\pm2i\) ve çözüm
\[ y=e^{-3x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x). \]
Hata Avı
Örnek 6: \(\beta\) Yerine \(\beta^2\) Yazmak
Kökün imajiner kısmı \(\beta\) ise trigonometrik ifadelerde \(\beta x\) bulunur; \(\beta^2x\) değil.
Örnek 7: Üstel Zarfı Atlamak
\(\alpha\neq0\) olduğunda yalnız sinüs-kosinüs yazmak denklemi sağlamaz.
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\(y''+16y=0\) denklemini çözün.
Soru 2
\(y''+4y'+13y=0\) denklemini çözün.
Soru 3
\(y''-2y'+10y=0\) denklemini çözün.
Soru 4
\(y''+6y'+25y=0\) denklemini çözün.
Soru 5
\(y''+9y=0,\ y(0)=1,\ y'(0)=6\) problemini çözün.
Soru 6
\(y''+2y'+5y=0,\ y(0)=0,\ y'(0)=2\) problemini çözün.
Soru 7
Kökleri \(-2\pm5i\) olan monik karakteristik denklemi kurun.
Soru 8
\(\alpha\) ve \(\beta\) değerlerinin çözüm grafiğinin zarfına ve periyoduna etkisini açıklayın.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümümü diskriminant, alfa ve beta ayrımı, üstel zarf, sinüs-kosinüs katsayısı, türev ve başlangıç koşulları açısından incele. Hata varsa doğru formülü vermeden eksik zarfı veya yanlış frekansı belirt.