Sistemlere Geçiş ve Lineer Sistem Yapısı: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği

Bağlı denklemleri matris biçiminde yazma, yüksek mertebeli denklemi sisteme indirgeme, çözüm bağımsızlığı ve temel matrisi kurma pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

24 Ağustos 2026

Sistemlere Geçiş ve Lineer Sistem Yapısı: Alıştırmalar

Durum vektörü, birlikte değişen bilinmeyenleri tek nesnede toplar. Lineer sistemde katsayılar matrise gider; bağımsız çözüm vektörleri sütunlara dizildiğinde temel matris oluşur.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Matrisi veya indirgenmiş sistemi önce kendiniz kurun. Yapay zekâdan yalnız satırların özgün denklemlerle eşleşmesini, durum boyutunu ve temel matriste çözümlerin sütun olup olmadığını kontrol etmesini isteyin.

Tanıma ve Karar

Örnek 1: Durum Boyutu

İki birinci mertebe denklem iki boyutlu durum vektörü gerektirir. Tek bir dördüncü mertebe denklem de dört yeni durum değişkeniyle dört boyutlu sisteme iner.

Örnek 2: Homojenlik

\[ \mathbf{x}'=A(t)\mathbf{x}+\mathbf{f}(t) \]

sistemi $\mathbf{f}=\mathbf0$ ise homojendir. $A$’nın zamana bağlı olması homojenlik kararını değiştirmez.

Örnek 3: Bağımsız Denklemler

$A$ köşegen ise her denklem yalnız kendi bileşenini içerir. Köşegen dışı elemanlar bileşenler arasındaki bağlantıyı taşır.

Örnek 4: Kaç Çözüm?

$n$ boyutlu homojen lineer sistemin genel çözümü için $n$ bağımsız çözüm vektörü gerekir. İki boyutlu sistemde tek bir çözüm doğrultusu yeterli değildir.

Mekanizmayı Kurma

Örnek 5: Matris Biçimi

\[ \begin{aligned} x_1'&=-x_1+2x_2,\\ x_2'&=3x_1-x_2 \end{aligned} \]

için

\[ \mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix},\q\quad A=\begin{bmatrix}-1&2\\3&-1\end{bmatrix},\q\quad \mathbf{x}'=A\mathbf{x} \]

yazılır. Her satır ilgili diferansiyel denklemin katsayılarını taşır.

Örnek 6: İkinci Mertebeyi İndirgeme

\[ y''+3y'+2y=0 \]

için $x_1=y$, $x_2=y'$ seçilir. Böylece

\[ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}\mathbf{x}. \]

İlk satır tanımdan, son satır $y''=-2y-3y'$ düzenlemesinden gelir.

Temel Tam Çözümler

Örnek 7: Üçüncü Mertebeyi Sisteme İndirgeme

\[ y'''-y''-2y'=0 \]

$x_1=y$, $x_2=y'$, $x_3=y''$ tanımlayalım. İlk iki denklem $x_1'=x_2$, $x_2'=x_3$ olur. Özgün denklemden

\[ y'''=y''+2y' \]

çıktığı için $x_3'=2x_2+x_3$’tür. Sonuç

\[ \boxed{ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&2&1 \end{bmatrix}\mathbf{x}} \]

olur. Son satırdaki ilk sıfır, denklemde $y$ terimi bulunmamasından gelir.

Örnek 8: Temel Matris ve Başlangıç Koşulu

\[ \mathbf{x}_1=e^{-t}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\q\quad \mathbf{x}_2=e^{-2t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \]

aynı iki boyutlu sistemin çözümleri olsun. Temel matris

\[ X(t)=\begin{bmatrix}e^{-t}&e^{-2t}\\e^{-t}&-e^{-2t}\end{bmatrix} \]

ve $\det X=-2e^{-3t}\neq0$’dır. $\mathbf{x}(0)=[4,0]^T$ koşulu

\[ \begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix} \]

verir. $c_1=c_2=2$ ve

\[ \boxed{\mathbf{x}=2\mathbf{x}_1+2\mathbf{x}_2} \]

olur.

Hata Avı

Örnek 9: İlk Hata Nerede?

Bir öğrenci temel matrisi çözüm vektörlerini satır olarak yazarak kuruyor. İlk hata budur: çözümler sütunlara dizilmelidir. Ancak o zaman her sütun $\mathbf{x}_i'=A\mathbf{x}_i$ denklemini sağlar ve $X'=AX$ elde edilir.

Karşılaştırma

Örnek 10: Tek Denklem ve Sistem

$n$’inci mertebe tek denklemde $n$ başlangıç değeri gerekir. İndirgenmiş $n$ boyutlu sistemde aynı bilgi tek bir $\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0$ vektör koşulunda toplanır; bu vektörün $n$ bileşeni vardır.

Hafif Karma Örnek

Örnek 11: Vektör Çözümü Doğrulama

\[ A=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix},\q\quad \mathbf{x}=\begin{bmatrix}3e^{-t}\\-e^{-2t}\end{bmatrix} \]

olsun. Türev

\[ \mathbf{x}'=\begin{bmatrix}-3e^{-t}\\2e^{-2t}\end{bmatrix} \]

ve matris çarpımı da aynı vektördür. Dolayısıyla çözüm doğrulanır. Köşegen matris nedeniyle iki bileşen bağımsız olarak sönmektedir.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

Aşağıdaki sistemi $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{f}(t)$ biçiminde yazın:

\[ x_1'=2x_1-x_2+t, \q\quad x_2'=3x_1+4x_2-e^t. \]

Soru 2

\[ y''+3y'+2y=0 \]

denklemini $x_1=y$, $x_2=y'$ seçimiyle iki boyutlu birinci mertebe sisteme dönüştürün.

Soru 3

\[ y'''-2y''+y'=\sin t \]

denklemini üç boyutlu birinci mertebe sisteme dönüştürün; girdi vektörünü açıkça gösterin.

Soru 4

\[ X(t)=\begin{bmatrix}e^t&0\\0&e^{-2t}\end{bmatrix} \]

matrisinin hangi sabit $A$ matrisi için $X'=AX$ eşitliğini sağladığını bulun.

Soru 5

\[ \mathbf{x}_1=\begin{bmatrix}e^t\\e^t\end{bmatrix}, \q\quad \mathbf{x}_2=\begin{bmatrix}2e^t\\2e^t\end{bmatrix} \]

çözümlerinin neden temel matris oluşturamayacağını determinantla gösterin.

Soru 6

\[ A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}, \q\quad \mathbf{x}=\begin{bmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{bmatrix} \]

için $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ eşitliğini doğrudan doğrulayın.

Soru 7

Dördüncü mertebeden

\[ y^{(4)}+a_3y'''+a_2y''+a_1y'+a_0y=g(t) \]

denkleminin durum vektörünü ve sistem matrisinin son satırını yazın.

Soru 8

$\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0$ vektör koşulunun üçüncü mertebeden tek bir denklemde hangi üç skaler başlangıç koşuluna karşılık geldiğini açıklayın.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çalışmamı durum boyutu, matris satırlarının denklemlerle eşleşmesi, indirgemede son satırın işaretleri, çözüm vektörlerinin sütun olması ve Wronskian determinantı açısından incele. Hata varsa doğru matrisi vermeden ilk uyuşmayan satırı belirt.

--- title: "Sistemlere Geçiş ve Lineer Sistem Yapısı: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-24 description: "Bağlı denklemleri matris biçiminde yazma, yüksek mertebeli denklemi sisteme indirgeme, çözüm bağımsızlığı ve temel matrisi kurma pratiği." execute: echo: false --- # Sistemlere Geçiş ve Lineer Sistem Yapısı: Alıştırmalar Durum vektörü, birlikte değişen bilinmeyenleri tek nesnede toplar. Lineer sistemde katsayılar matrise gider; bağımsız çözüm vektörleri sütunlara dizildiğinde temel matris oluşur. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Matrisi veya indirgenmiş sistemi önce kendiniz kurun. Yapay zekâdan yalnız > satırların özgün denklemlerle eşleşmesini, durum boyutunu ve temel matriste > çözümlerin sütun olup olmadığını kontrol etmesini isteyin. ::: ## Tanıma ve Karar ### Örnek 1: Durum Boyutu İki birinci mertebe denklem iki boyutlu durum vektörü gerektirir. Tek bir dördüncü mertebe denklem de dört yeni durum değişkeniyle dört boyutlu sisteme iner. ### Örnek 2: Homojenlik $$ \mathbf{x}'=A(t)\mathbf{x}+\mathbf{f}(t) $$ sistemi $\mathbf{f}=\mathbf0$ ise homojendir. $A$'nın zamana bağlı olması homojenlik kararını değiştirmez. ### Örnek 3: Bağımsız Denklemler $A$ köşegen ise her denklem yalnız kendi bileşenini içerir. Köşegen dışı elemanlar bileşenler arasındaki bağlantıyı taşır. ### Örnek 4: Kaç Çözüm? $n$ boyutlu homojen lineer sistemin genel çözümü için $n$ bağımsız çözüm vektörü gerekir. İki boyutlu sistemde tek bir çözüm doğrultusu yeterli değildir. ## Mekanizmayı Kurma ### Örnek 5: Matris Biçimi $$ \begin{aligned} x_1'&=-x_1+2x_2,\\ x_2'&=3x_1-x_2 \end{aligned} $$ için $$ \mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix},\q\quad A=\begin{bmatrix}-1&2\\3&-1\end{bmatrix},\q\quad \mathbf{x}'=A\mathbf{x} $$ yazılır. Her satır ilgili diferansiyel denklemin katsayılarını taşır. ### Örnek 6: İkinci Mertebeyi İndirgeme $$ y''+3y'+2y=0 $$ için $x_1=y$, $x_2=y'$ seçilir. Böylece $$ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}\mathbf{x}. $$ İlk satır tanımdan, son satır $y''=-2y-3y'$ düzenlemesinden gelir. ## Temel Tam Çözümler ### Örnek 7: Üçüncü Mertebeyi Sisteme İndirgeme $$ y'''-y''-2y'=0 $$ $x_1=y$, $x_2=y'$, $x_3=y''$ tanımlayalım. İlk iki denklem $x_1'=x_2$, $x_2'=x_3$ olur. Özgün denklemden $$ y'''=y''+2y' $$ çıktığı için $x_3'=2x_2+x_3$'tür. Sonuç $$ \boxed{ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&2&1 \end{bmatrix}\mathbf{x}} $$ olur. Son satırdaki ilk sıfır, denklemde $y$ terimi bulunmamasından gelir. ### Örnek 8: Temel Matris ve Başlangıç Koşulu $$ \mathbf{x}_1=e^{-t}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\q\quad \mathbf{x}_2=e^{-2t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} $$ aynı iki boyutlu sistemin çözümleri olsun. Temel matris $$ X(t)=\begin{bmatrix}e^{-t}&e^{-2t}\\e^{-t}&-e^{-2t}\end{bmatrix} $$ ve $\det X=-2e^{-3t}\neq0$'dır. $\mathbf{x}(0)=[4,0]^T$ koşulu $$ \begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix} $$ verir. $c_1=c_2=2$ ve $$ \boxed{\mathbf{x}=2\mathbf{x}_1+2\mathbf{x}_2} $$ olur. ## Hata Avı ### Örnek 9: İlk Hata Nerede? Bir öğrenci temel matrisi çözüm vektörlerini satır olarak yazarak kuruyor. İlk hata budur: çözümler sütunlara dizilmelidir. Ancak o zaman her sütun $\mathbf{x}_i'=A\mathbf{x}_i$ denklemini sağlar ve $X'=AX$ elde edilir. ## Karşılaştırma ### Örnek 10: Tek Denklem ve Sistem $n$'inci mertebe tek denklemde $n$ başlangıç değeri gerekir. İndirgenmiş $n$ boyutlu sistemde aynı bilgi tek bir $\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0$ vektör koşulunda toplanır; bu vektörün $n$ bileşeni vardır. ## Hafif Karma Örnek ### Örnek 11: Vektör Çözümü Doğrulama $$ A=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix},\q\quad \mathbf{x}=\begin{bmatrix}3e^{-t}\\-e^{-2t}\end{bmatrix} $$ olsun. Türev $$ \mathbf{x}'=\begin{bmatrix}-3e^{-t}\\2e^{-2t}\end{bmatrix} $$ ve matris çarpımı da aynı vektördür. Dolayısıyla çözüm doğrulanır. Köşegen matris nedeniyle iki bileşen bağımsız olarak sönmektedir. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 Aşağıdaki sistemi $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{f}(t)$ biçiminde yazın: $$ x_1'=2x_1-x_2+t, \q\quad x_2'=3x_1+4x_2-e^t. $$ ### Soru 2 $$ y''+3y'+2y=0 $$ denklemini $x_1=y$, $x_2=y'$ seçimiyle iki boyutlu birinci mertebe sisteme dönüştürün. ### Soru 3 $$ y'''-2y''+y'=\sin t $$ denklemini üç boyutlu birinci mertebe sisteme dönüştürün; girdi vektörünü açıkça gösterin. ### Soru 4 $$ X(t)=\begin{bmatrix}e^t&0\\0&e^{-2t}\end{bmatrix} $$ matrisinin hangi sabit $A$ matrisi için $X'=AX$ eşitliğini sağladığını bulun. ### Soru 5 $$ \mathbf{x}_1=\begin{bmatrix}e^t\\e^t\end{bmatrix}, \q\quad \mathbf{x}_2=\begin{bmatrix}2e^t\\2e^t\end{bmatrix} $$ çözümlerinin neden temel matris oluşturamayacağını determinantla gösterin. ### Soru 6 $$ A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}, \q\quad \mathbf{x}=\begin{bmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{bmatrix} $$ için $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ eşitliğini doğrudan doğrulayın. ### Soru 7 Dördüncü mertebeden $$ y^{(4)}+a_3y'''+a_2y''+a_1y'+a_0y=g(t) $$ denkleminin durum vektörünü ve sistem matrisinin son satırını yazın. ### Soru 8 $\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0$ vektör koşulunun üçüncü mertebeden tek bir denklemde hangi üç skaler başlangıç koşuluna karşılık geldiğini açıklayın. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çalışmamı durum boyutu, matris satırlarının denklemlerle eşleşmesi, > indirgemede son satırın işaretleri, çözüm vektörlerinin sütun olması ve > Wronskian determinantı açısından incele. Hata varsa doğru matrisi vermeden > ilk uyuşmayan satırı belirt.