Bernoulli Denklemi: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği
Bernoulli Denklemi: Alıştırmalar
Bernoulli denklemi
\[ y'+p(x)y=q(x)y^n \]
biçimindedir. \(n=0\) veya \(n=1\) olduğunda denklem zaten lineerdir. Diğer durumlarda
\[ v=y^{1-n} \]
dönüşümü \(v\) için birinci mertebeden lineer denklem üretir.
Bernoulli biçiminde beş denklem ve biçime uymayan iki karşı örnek üret. Önce n değerini bulmamı bekle. v=y^(1-n) dönüşümünü ve v’ bağıntısını ben yazmadan lineer denklemi gösterme.
Bernoulli Biçimini Tanıma
Örnek 1
\[ y'-y=xy^2 \]
denkleminde \(p(x)=-1\), \(q(x)=x\) ve \(n=2\)’dir. \(n\neq0,1\) olduğundan Bernoulli dönüşümü gerekir.
Örnek 2: Negatif Kuvvet
\[ y'+xy=\frac{x}{y}=xy^{-1} \]
Bernoulli biçimindedir ve \(n=-1\)’dir.
Lineerleştirme
Örnek 3: \(n=2\)
\[ y'-y=xy^2. \]
\(v=y^{-1}\) seçilir. \(v'=-y^{-2}y'\) olduğundan denklem \(y^{-2}\) ile çarpılır:
\[ y^{-2}y'-y^{-1}=x. \]
\[ -v'-v=x, \qquad v'+v=-x. \]
Bu lineer denklemin integrasyon çarpanı \(e^x\)’tir:
\[ (e^xv)'=-xe^x. \]
İntegrasyonla
\[ v=1-x+Ce^{-x}. \]
\(v=1/y\) olduğundan
\[ y=\frac{1}{1-x+Ce^{-x}}. \]
Örnek 4: Genel Türev Bağıntısı
\(v=y^{1-n}\) için
\[ v'=(1-n)y^{-n}y'. \]
Denklem \(y^{-n}\) ile çarpıldığında \(y^{-n}y'\) terimi \(v'/(1-n)\) olarak yazılır. İşaret ve \(1-n\) çarpanı yöntemin en sık hata yapılan adımıdır.
Kayıp Çözümler
Örnek 5
Bernoulli dönüşümünde \(y\)’nin bir kuvvetine bölme yapılabilir. \(y=0\) orijinal denklemi sağlıyorsa dönüşüm bu çözümü dışarıda bırakır; sıfır çözümü başta ayrıca sınanmalıdır.
Ek Çözümlü Örnekler
Örnek A: Karekök Kuvveti
\[ y'+y=y^{1/2},\qquad y>0. \]
Dönüşüm. \(n=1/2\) ve \(v=y^{1/2}\) seçilir. \(y=v^2\), \(y'=2vv'\):
\[ 2vv'+v^2=v. \]
\(v>0\) bölgesinde \(v\)’ye bölünür:
\[ v'+\frac12v=\frac12. \]
Lineer çözüm ve geri dönüş.
\[ v=1+Ce^{-x/2}, \qquad \boxed{y=\left(1+Ce^{-x/2}\right)^2}. \]
\(v\)’ye bölme sırasında dışarıda kalan \(y=0\) sabit çözümü orijinal denklemde ayrıca doğrulanır.
Örnek B: Negatif Kuvvet
\[ y'+xy=\frac{x}{y},\qquad y\neq0. \]
\(n=-1\) ve \(v=y^2\) seçilir. Denklem \(y\) ile çarpılır:
\[ yy'+xy^2=x. \]
\(v'=2yy'\) kullanılır:
\[ v'+2xv=2x. \]
İntegrasyon çarpanı \(e^{x^2}\):
\[ (e^{x^2}v)'=2xe^{x^2}, \qquad v=1+Ce^{-x^2}. \]
\[ \boxed{y=\pm\sqrt{1+Ce^{-x^2}}}. \]
Gerçek çözüm, kök içinin pozitif ve \(y\)’nin sıfırdan farklı olduğu bağlı bir aralıkta seçilir.
Hata Avı
Örnek 6: Toplam Sağ Taraf
\[ y'+y=x+y^3 \]
denkleminde doğrusal olmayan terim dışında ayrıca \(x\) vardır. Denklem \(y'+p(x)y=q(x)y^n\) biçiminde tek bir sağ taraf kuvvetine indirgenemez; standart Bernoulli biçiminde değildir.
Örnek 7: Yanlış Dönüşüm Kuvveti
\(n=3\) için \(v=y^2\) değil, \(v=y^{1-3}=y^{-2}\) seçilir.
Adım Adım İşlem Pratiği
Örnek 8
\[ y'+\frac yx=xy^3,\qquad x>0. \]
\(n=3\), \(v=y^{-2}\) ve \(v'=-2y^{-3}y'\):
\[ v'-\frac{2}{x}v=-2x. \]
Bu noktadan sonra problem \(v\) için lineer denklem olarak çözülür.
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\(y'+2y=xy^3\) denkleminde \(p\), \(q\), \(n\) ve dönüşüm değişkenini belirleyin.
Soru 2
\(y'-y=xy^2\) denklemini çözün ve sıfır çözümünü ayrıca kontrol edin.
Soru 3
\(y'+y=y^{1/2}\) denklemini Bernoulli dönüşümüyle çözün.
Soru 4
\(y'+xy=x/y\) denklemini çözün.
Soru 5
\(y'+y=x+y^3\) denkleminin neden standart Bernoulli biçiminde olmadığını açıklayın.
Soru 6
\(y'-2y=e^x y^{-1}\) için uygun dönüşümü ve ortaya çıkan lineer denklemi yazın.
Soru 7
\(xy'+y=x^2y^2,\ x>0\) denklemini standart Bernoulli biçimine getirip çözün.
Soru 8
\(n=0\) ve \(n=1\) durumlarında Bernoulli denkleminin neden zaten lineer olduğunu ayrı ayrı gösterin.
Soru 9
Dönüşüm sonrası bulduğunuz \(v\) çözümünün \(y\)’ye geri dönüşünde oluşabilecek tanımsızlıkları açıklayın.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümümü Bernoulli biçimi, n değeri, v=y^(1-n) seçimi, v’ hesabındaki 1-n çarpanı, ortaya çıkan lineer denklem, geri dönüş ve kayıp sıfır çözümü açısından incele. Hata varsa doğru dönüşümü hemen verme; yanlış kuvveti veya işareti belirt.