Konvolüsyon: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği
Konvolüsyon: Alıştırmalar
Laplace uzayındaki \(F(s)G(s)\) çarpımının özgün taraftaki karşılığı fonksiyon çarpımı değil, konvolüsyondur:
\[ (f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau. \]
Konvolüsyon integralini önce kendiniz kurun. Yapay zekâdan integrali hesaplamasını değil, sınırları ve iki argümanın toplamının \(t\) olup olmadığını kontrol etmesini isteyin.
Tanıma ve Karar
Örnek 1: Çarpımın Karşılığı
\(F(s)G(s)\) ifadesi \((f*g)(t)\)’ye karşılık gelir. Genel olarak \(f(t)g(t)\)’ye karşılık gelmez.
Örnek 2: Doğru İntegral
Doğru kurulum
\[ \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau \]
biçimindedir. \(f(\tau)g(\tau)\) yazılırsa argümanların toplamı \(t\) olmaz.
Örnek 3: Değişme Özelliği
\(f*g=g*f\) olduğundan iki eşdeğer integralden hesabı kısa olan seçilebilir. Bu özellik çarpmanın \(FG=GF\) değişme özelliğinden gelir.
Örnek 4: Yöntem Seçimi
\(1/[(s-1)(s-2)]\) için kısmi kesir daha kısadır. \(G(s)/(s^2+1)\) gibi simgesel bir çarpımda kısmi kesir kurulamaz; konvolüsyon doğal seçimdir.
Mekanizmayı Kurma
Örnek 5: İki Basit Fonksiyon
\(f(t)=1\) ve \(g(t)=t\) için
\[ (f*g)(t)=\int_0^t 1\cdot(t-\tau)\,d\tau \]
yazılır. Bu aşamada hedef yalnız integralin doğru kurulmasıdır.
Örnek 6: Çarpımdan İntegrale
\[ \frac1s\cdot\frac1{s+1} \]
ifadesinde \(f(t)=1\), \(g(t)=e^{-t}\) seçilebilir. Ters dönüşüm
\[ \int_0^t e^{-(t-\tau)}\,d\tau \]
olarak kurulur.
Temel Tam Çözümler
Örnek 7: \(1*t\) Konvolüsyonu
\[ (1*t)(t)=\int_0^t(t-\tau)\,d\tau =\left[t\tau-\frac{\tau^2}{2}\right]_0^t =\boxed{\frac{t^2}{2}}. \]
Dönüşümle kontrol edelim: \((1/s)(1/s^2)=1/s^3\) ve bunun ters dönüşümü \(t^2/2\)’dir.
Örnek 8: Üstel ile Sabit
\[ (e^{-t}*1)(t)=\int_0^t e^{-\tau}\,d\tau =\boxed{1-e^{-t}}. \]
Değişme özelliğiyle \(\int_0^t e^{-(t-\tau)}d\tau\) da aynı sonucu verir. Dönüşüm tarafında karşılık \(1/[s(s+1)]\)’dir.
Hata Avı
Örnek 9: İlk Hata Nerede?
Bir öğrenci \((f*1)(t)=f(t)\) yazıyor. İlk hata, sabit \(1\) fonksiyonunu konvolüsyonun birim elemanı sanmaktır. Gerçekte
\[ (f*1)(t)=\int_0^t f(\tau)\,d\tau. \]
Konvolüsyonun birim elemanı Dirac dürtüsüdür.
Karşılaştırma
Örnek 10: Konvolüsyon mu, Çarpım mı?
\(f(t)=g(t)=1\) için noktasal çarpım \(fg=1\)’dir. Konvolüsyon ise \((f*g)(t)=\int_0^t1\,d\tau=t\) olur. Bu tek örnek iki işlemin aynı olmadığını gösterir.
Hafif Karma Örnek
Örnek 11: Kısmi Kesirsiz Ters Dönüşüm
\[ \mathcal L^{-1}\left\{\frac1{s(s^2+1)}\right\} \]
\(1/s\leftrightarrow1\) ve \(1/(s^2+1)\leftrightarrow\sin t\) seçelim:
\[ \int_0^t\sin(t-\tau)\,d\tau =\int_0^t\sin u\,du =\boxed{1-\cos t}. \]
İntegral temel bir trigonometrik kalıpla tek adımda tamamlanır.
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\(f(t)=t\) ve \(g(t)=e^t\) için \((f*g)(t)\) integralini doğru argümanlarla kurun; integrali hesaplamayın.
Soru 2
\((1*t^2)(t)\) konvolüsyonunu doğrudan integralden hesaplayın.
Soru 3
\((t*t)(t)\) konvolüsyonunu bulun ve Laplace dönüşümüyle kontrol edin.
Soru 4
\[ \mathcal L^{-1}\left\{\frac{1}{s^2(s+2)}\right\} \]
ifadesini konvolüsyon teoremiyle bulun.
Soru 5
\(f*g=g*f\) eşitliğini konvolüsyon integralinde uygun değişken dönüşümünü kullanarak gösterin.
Soru 6
Bir öğrenci
\[ (f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(t-\tau)\,d\tau \]
yazıyor. Kurulumdaki hatayı açıklayın ve doğru integrali yazın.
Soru 7
\(a\ne b\) olmak üzere \((e^{at}*e^{bt})(t)\) konvolüsyonunu hesaplayın. \(a=b\) durumunda sonucun nasıl değiştiğini ayrıca bulun.
Soru 8
\[ F(s)=\frac{1}{s^2+4}, \q\quad G(s)=\frac{s}{s^2+4} \]
için \(\mathcal L^{-1}\{F(s)G(s)\}\) ifadesini bir konvolüsyon integrali olarak yazın ve hesaplayın.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümümü konvolüsyon ile noktasal çarpımı ayırma, integral sınırları, argümanların toplamının \(t\) olması ve değişme özelliğini doğru kullanma açısından incele. Hata varsa integrali hesaplamadan ilk yanlış kurulumu belirt.