Mertebe İndirme: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği
Mertebe İndirme: Alıştırmalar
Standart biçimdeki
\[ y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \]
denkleminin sıfırdan farklı bir \(y_1\) çözümü biliniyorsa ikinci çözüm
\[ y_2=v(x)y_1(x) \]
biçiminde aranabilir. Yerine koyma sonrası \(v\)’nin kendisi değil \(v'\) için birinci mertebeden denklem elde edilir.
Bir çözümü verilmiş beş ikinci mertebe homojen denklem üret. y2=v y1 dönüşümünde türevleri benim yazmamı bekle. Sadeleşen y1 terimlerini ve v’ için oluşan denklemi adım adım kontrol et.
Temel Dönüşüm
Örnek 1: Türevleri Açma
\[ y_2=vy_1, \]
\[ y_2'=v'y_1+vy_1', \]
\[ y_2''=v''y_1+2v'y_1'+vy_1''. \]
Denkleme koyulduğunda \(v\) ile çarpılan terimler \(y_1\) çözüm olduğu için sadeleşir.
Tam Çözüm Hattı
Örnek 2: Çift Kökü Mertebe İndirmeyle Görmek
\[ y''-2y'+y=0,\qquad y_1=e^x. \]
\(y_2=ve^x\):
\[ y_2'=(v'+v)e^x, \qquad y_2''=(v''+2v'+v)e^x. \]
Denkleme yerleştirme:
\[ (v''+2v'+v)-2(v'+v)+v=0. \]
Bütün terimler sadeleşir ve
\[ v''=0 \]
kalır. \(v=C_1x+C_2\); yeni bağımsız parça için \(v=x\) seçilir:
\[ \boxed{y_2=xe^x}. \]
Örnek 3: \(y''+y=0\)
\(y_1=\cos x\) bilinsin. \(y_2=v\cos x\) dönüşümü yapıldığında sadeleştirme sonrası
\[ v''\cos x-2v'\sin x=0 \]
elde edilir. \(w=v'\) yazalım:
\[ w'\cos x-2w\sin x=0, \qquad \frac{w'}w=2\tan x. \]
\[ w=C\sec^2x,\qquad v=C\tan x. \]
Bağımsız çözüm
\[ \boxed{y_2=\tan x\cos x=\sin x}. \]
Kısa Formül
Örnek 4
Standart biçimde ikinci çözüm
\[ y_2=y_1\int\frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_1^2}\,dx \]
formülüyle de bulunabilir. Önce denklemde \(y''\) katsayısı bire eşitlenmelidir.
Örnek 2’de \(P=-2\), \(y_1=e^x\):
\[ y_2=e^x\int\frac{e^{2x}}{e^{2x}}\,dx=xe^x. \]
Örnek 5: Euler Tipi Denklem
\[ x^2y''-xy'+y=0,\qquad x>0,\qquad y_1=x. \]
Standart biçimde \(P=-1/x\). Kısa formül:
\[ y_2=x\int\frac{e^{\int1/x\,dx}}{x^2}\,dx =x\int\frac{x}{x^2}\,dx =x\ln x. \]
Hata Avı
Örnek 6: Denklemi Standartlaştırmamak
Kısa formüldeki \(P(x)\), \(y''\) katsayısı bire eşitlendikten sonraki katsayıdır.
Örnek 7: Eski Çözümün Katını Yeni Çözüm Sanmak
\(v\) sabit seçilirse \(y_2\) yalnız \(y_1\)’in katı olur. Bağımsız çözüm için \(v\) sabit olmayan kısmı taşımalıdır.
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\(y''-4y'+4y=0\) ve \(y_1=e^{2x}\) için ikinci çözümü bulun.
Soru 2
\(y''+4y=0\) ve \(y_1=\cos2x\) için ikinci çözümü bulun.
Soru 3
\(y''-y=0\) ve \(y_1=e^x\) için kısa formülü kullanın.
Soru 4
\(x^2y''-3xy'+4y=0\), \(x>0\) ve \(y_1=x^2\) için ikinci çözümü bulun.
Soru 5
\(y_2=vy_1\) dönüşümünün iki türevini eksiksiz yazın.
Soru 6
Bulduğunuz ikinci çözümün hem denklemi sağladığını hem \(y_1\)’den bağımsız olduğunu doğrulayın.
Soru 7
Kısa formülün integrasyon sabitinin neden yeni bir bağımsız çözüm üretmediğini açıklayın.
Soru 8
Mertebe indirmenin uygulanabilmesi için hangi bilginin önceden verilmiş olması gerektiğini belirtin.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümümü y2=v y1 türevleri, y1’in denklemi sağlamasından gelen sadeleşme, v’ için mertebesi düşmüş denklem, standart biçimde P(x), geri dönüş ve Wronskian ile bağımsızlık açısından incele. Hata varsa doğru y2’yi vermeden ilk eksik türev terimini belirt.