Cauchy–Euler Denklemi: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği

Cauchy–Euler yapısını tanıma, y=x^m adayını kurma, aday denklemini çözme ve çözüm aralığını yorumlama pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

24 Ağustos 2026

Cauchy–Euler Denklemi: Alıştırmalar

Cauchy–Euler denkleminde $x$ kuvveti türev mertebesiyle eşleşir. Bu eşleşme $y=x^m$ adayındaki bütün terimleri $x^m$ katına dönüştürür. Çözümler $x=0$’ı içermeyen bir aralıkta ele alınır; burada $x>0$ kullanılır.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Önce denklemin Cauchy–Euler olup olmadığını ve aday denklemini kendiniz yazın. Yapay zekâdan yalnız $m(m-1)$ katkısını ve çözüm aralığını kontrol etmesini; kökleri doğrudan vermemesini isteyin.

Tanıma ve Karar

Örnek 1: Yapıyı Tanıma

\[ x^2y''+4xy'-6y=0 \]

İkinci türevin katsayısı $x^2$, birinci türevin katsayısı $x$ ve $y$’nin katsayısı sabittir. Denklem Cauchy–Euler biçimindedir.

Örnek 2: Yakın Karşı Örnek

\[ x^2y''+4y'-6y=0 \]

Bu denklem Cauchy–Euler değildir. $y'$ teriminin katsayısında $x$ eksiktir; $y=x^m$ yazıldığında bütün terimlerde ortak $x^m$ oluşmaz.

Örnek 3: Uygun Aday

Cauchy–Euler denkleminde ilk aday $e^{rx}$ değil, $x^m$’dir. Çünkü $x^ky^{(k)}$ ifadesi bu adayla $x^m$’nin sabit katına dönüşür.

Örnek 4: Çözüm Aralığı

$x=0$ noktasında baş katsayı sıfır olur. Bu nedenle başlangıç noktası $x_0=2$ ise doğal çalışma aralığı $(0,\infty)$; $x_0=-2$ ise $(-\infty,0)$’dır.

Mekanizmayı Kurma

Örnek 5: Aday Denklemi

\[ x^2y''-3xy'+4y=0 \]

$y=x^m$, $y'=mx^{m-1}$ ve $y''=m(m-1)x^{m-2}$ yazılır. Ortak $x^m$ çarpanı sadeleşince

\[ m(m-1)-3m+4=0,\q\quad m^2-4m+4=0 \]

elde edilir. Kritik adım $m(m-1)$ katkısını korumaktır.

Örnek 6: Kökten Çözüm Kalıbına

Aday denkleminin kökleri $m_1=1$, $m_2=3$ ise genel çözüm

\[ y=C_1x+C_2x^3 \]

olur. Kök $m=2$ çift olsaydı ikinci çözüm $x^2\ln x$ olurdu.

Temel Tam Çözümler

Örnek 7: Ayrık Reel Kökler

\[ x^2y''-2xy'-4y=0,\q\quad x>0 \]

Sınıflandırma. Denklem Cauchy–Euler biçimindedir.

Kurulum. $y=x^m$ adayı

\[ m(m-1)-2m-4=0 \]

verir. Düzenleyip çarpanlara ayıralım:

\[ m^2-3m-4=(m-4)(m+1)=0. \]

Kökler $4$ ve $-1$ olduğundan

\[ \boxed{y=C_1x^4+C_2x^{-1}},\q\quad x>0. \]

Her terim aday denklemindeki bir kökten geldiği için denklemi sağlar.

Örnek 8: Çift Kök

\[ x^2y''-3xy'+4y=0,\q\quad x>0 \]

Aday denklemi

\[ m(m-1)-3m+4=(m-2)^2=0 \]

olur. $m=2$ çift kök olduğundan

\[ \boxed{y=C_1x^2+C_2x^2\ln x}. \]

İkinci terimin türevleri yerine konduğunda hem $\ln x$ içeren hem içermeyen terimler ayrı ayrı sıfırlanır.

Hata Avı

Örnek 9: İlk Hata Nerede?

Bir öğrenci $x^2y''+5xy'+4y=0$ için aday denklemini $m^2+5m+4=0$ yazıyor. İlk hata $y''$ katkısını $m^2$ almak; doğru katkı $m(m-1)$’dir. Doğru aday denklemi

\[ m(m-1)+5m+4=m^2+4m+4 \]

olur.

Karşılaştırma

Örnek 10: Hangi Yöntem?

\[ y''+y=0,\q\quad x^2y''+xy'+y=0 \]

İlk denklem sabit katsayılıdır ve $y=e^{rx}$ adayı kullanılır. İkinci denklem Cauchy–Euler biçimindedir ve $y=x^m$ adayı kullanılır. İkinci denklemde aday denklemi $m^2+1=0$ olur; çözüm $\cos(\ln x)$ ve $\sin(\ln x)$ terimlerini taşır.

Hafif Karma Örnek

Örnek 11: Başlangıç Koşulları

\[ x^2y''-3xy'+3y=0,\q\quad y(1)=0,\quad y'(1)=2 \]

Aday denklemi $(m-1)(m-3)=0$ olduğundan $y=C_1x+C_2x^3$’tür. Koşullar

\[ C_1+C_2=0,\q\quad C_1+3C_2=2 \]

verir. $C_1=-1$, $C_2=1$ ve

\[ \boxed{y=x^3-x},\q\quad x>0 \]

bulunur. Başlangıç noktası $1$ olduğu için çözüm aralığı sıfırı geçemez.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

Aşağıdaki denklemlerden hangilerinin Cauchy–Euler biçiminde olduğunu gerekçelendirin:

\[ x^2y''+5xy'+2y=0, \q\quad x^2y''+5y'+2y=0. \]

Soru 2

\[ x^2y''-2xy'-4y=0,\q\quad x>0 \]

denkleminin genel çözümünü bulun.

Soru 3

\[ x^2y''-xy'+y=0,\q\quad x>0 \]

denklemini çözün; katlı kökün ürettiği ikinci terimi açıkça gösterin.

Soru 4

\[ x^2y''+xy'+4y=0,\q\quad x>0 \]

denkleminin reel genel çözümünü bulun.

Soru 5

\[ x^2y''-3xy'+4y=0,\q\quad y(1)=1,\quad y'(1)=0 \]

başlangıç değer problemini çözün.

Soru 6

$x<0$ aralığında çözülen bir Cauchy–Euler denkleminde $\ln x$ yerine neden $\ln|x|$ kullanıldığını açıklayın; Soru 2’nin çözümünü $x<0$ için yazın.

Soru 7

$y=x^3$ fonksiyonunun

\[ x^2y''-4xy'+6y=0 \]

denklemini sağlayıp sağlamadığını doğrudan yerine koyarak kontrol edin.

Soru 8

$y''-4y'+4y=0$ ile $x^2y''-3xy'+4y=0$ denklemleri için uygun aday fonksiyonları ve karakteristik türdeki denklemleri ayrı ayrı yazın.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü Cauchy–Euler yapısını tanıma, $m(m-1)$ katkısı, kök türünden çözüm biçimine geçiş ve $x=0$ nedeniyle seçilen çözüm aralığı açısından incele. Hata varsa doğru kökleri vermeden ilk yanlış kurulum adımını belirt.

--- title: "Cauchy–Euler Denklemi: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-24 description: "Cauchy–Euler yapısını tanıma, y=x^m adayını kurma, aday denklemini çözme ve çözüm aralığını yorumlama pratiği." execute: echo: false --- # Cauchy–Euler Denklemi: Alıştırmalar Cauchy–Euler denkleminde $x$ kuvveti türev mertebesiyle eşleşir. Bu eşleşme $y=x^m$ adayındaki bütün terimleri $x^m$ katına dönüştürür. Çözümler $x=0$'ı içermeyen bir aralıkta ele alınır; burada $x>0$ kullanılır. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Önce denklemin Cauchy–Euler olup olmadığını ve aday denklemini kendiniz > yazın. Yapay zekâdan yalnız $m(m-1)$ katkısını ve çözüm aralığını kontrol > etmesini; kökleri doğrudan vermemesini isteyin. ::: ## Tanıma ve Karar ### Örnek 1: Yapıyı Tanıma $$ x^2y''+4xy'-6y=0 $$ İkinci türevin katsayısı $x^2$, birinci türevin katsayısı $x$ ve $y$'nin katsayısı sabittir. Denklem Cauchy–Euler biçimindedir. ### Örnek 2: Yakın Karşı Örnek $$ x^2y''+4y'-6y=0 $$ Bu denklem Cauchy–Euler değildir. $y'$ teriminin katsayısında $x$ eksiktir; $y=x^m$ yazıldığında bütün terimlerde ortak $x^m$ oluşmaz. ### Örnek 3: Uygun Aday Cauchy–Euler denkleminde ilk aday $e^{rx}$ değil, $x^m$'dir. Çünkü $x^ky^{(k)}$ ifadesi bu adayla $x^m$'nin sabit katına dönüşür. ### Örnek 4: Çözüm Aralığı $x=0$ noktasında baş katsayı sıfır olur. Bu nedenle başlangıç noktası $x_0=2$ ise doğal çalışma aralığı $(0,\infty)$; $x_0=-2$ ise $(-\infty,0)$'dır. ## Mekanizmayı Kurma ### Örnek 5: Aday Denklemi $$ x^2y''-3xy'+4y=0 $$ $y=x^m$, $y'=mx^{m-1}$ ve $y''=m(m-1)x^{m-2}$ yazılır. Ortak $x^m$ çarpanı sadeleşince $$ m(m-1)-3m+4=0,\q\quad m^2-4m+4=0 $$ elde edilir. Kritik adım $m(m-1)$ katkısını korumaktır. ### Örnek 6: Kökten Çözüm Kalıbına Aday denkleminin kökleri $m_1=1$, $m_2=3$ ise genel çözüm $$ y=C_1x+C_2x^3 $$ olur. Kök $m=2$ çift olsaydı ikinci çözüm $x^2\ln x$ olurdu. ## Temel Tam Çözümler ### Örnek 7: Ayrık Reel Kökler $$ x^2y''-2xy'-4y=0,\q\quad x>0 $$ **Sınıflandırma.** Denklem Cauchy–Euler biçimindedir. **Kurulum.** $y=x^m$ adayı $$ m(m-1)-2m-4=0 $$ verir. Düzenleyip çarpanlara ayıralım: $$ m^2-3m-4=(m-4)(m+1)=0. $$ Kökler $4$ ve $-1$ olduğundan $$ \boxed{y=C_1x^4+C_2x^{-1}},\q\quad x>0. $$ Her terim aday denklemindeki bir kökten geldiği için denklemi sağlar. ### Örnek 8: Çift Kök $$ x^2y''-3xy'+4y=0,\q\quad x>0 $$ Aday denklemi $$ m(m-1)-3m+4=(m-2)^2=0 $$ olur. $m=2$ çift kök olduğundan $$ \boxed{y=C_1x^2+C_2x^2\ln x}. $$ İkinci terimin türevleri yerine konduğunda hem $\ln x$ içeren hem içermeyen terimler ayrı ayrı sıfırlanır. ## Hata Avı ### Örnek 9: İlk Hata Nerede? Bir öğrenci $x^2y''+5xy'+4y=0$ için aday denklemini $m^2+5m+4=0$ yazıyor. İlk hata $y''$ katkısını $m^2$ almak; doğru katkı $m(m-1)$'dir. Doğru aday denklemi $$ m(m-1)+5m+4=m^2+4m+4 $$ olur. ## Karşılaştırma ### Örnek 10: Hangi Yöntem? $$ y''+y=0,\q\quad x^2y''+xy'+y=0 $$ İlk denklem sabit katsayılıdır ve $y=e^{rx}$ adayı kullanılır. İkinci denklem Cauchy–Euler biçimindedir ve $y=x^m$ adayı kullanılır. İkinci denklemde aday denklemi $m^2+1=0$ olur; çözüm $\cos(\ln x)$ ve $\sin(\ln x)$ terimlerini taşır. ## Hafif Karma Örnek ### Örnek 11: Başlangıç Koşulları $$ x^2y''-3xy'+3y=0,\q\quad y(1)=0,\quad y'(1)=2 $$ Aday denklemi $(m-1)(m-3)=0$ olduğundan $y=C_1x+C_2x^3$'tür. Koşullar $$ C_1+C_2=0,\q\quad C_1+3C_2=2 $$ verir. $C_1=-1$, $C_2=1$ ve $$ \boxed{y=x^3-x},\q\quad x>0 $$ bulunur. Başlangıç noktası $1$ olduğu için çözüm aralığı sıfırı geçemez. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 Aşağıdaki denklemlerden hangilerinin Cauchy–Euler biçiminde olduğunu gerekçelendirin: $$ x^2y''+5xy'+2y=0, \q\quad x^2y''+5y'+2y=0. $$ ### Soru 2 $$ x^2y''-2xy'-4y=0,\q\quad x>0 $$ denkleminin genel çözümünü bulun. ### Soru 3 $$ x^2y''-xy'+y=0,\q\quad x>0 $$ denklemini çözün; katlı kökün ürettiği ikinci terimi açıkça gösterin. ### Soru 4 $$ x^2y''+xy'+4y=0,\q\quad x>0 $$ denkleminin reel genel çözümünü bulun. ### Soru 5 $$ x^2y''-3xy'+4y=0,\q\quad y(1)=1,\quad y'(1)=0 $$ başlangıç değer problemini çözün. ### Soru 6 $x<0$ aralığında çözülen bir Cauchy–Euler denkleminde $\ln x$ yerine neden $\ln|x|$ kullanıldığını açıklayın; Soru 2'nin çözümünü $x<0$ için yazın. ### Soru 7 $y=x^3$ fonksiyonunun $$ x^2y''-4xy'+6y=0 $$ denklemini sağlayıp sağlamadığını doğrudan yerine koyarak kontrol edin. ### Soru 8 $y''-4y'+4y=0$ ile $x^2y''-3xy'+4y=0$ denklemleri için uygun aday fonksiyonları ve karakteristik türdeki denklemleri ayrı ayrı yazın. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü Cauchy–Euler yapısını tanıma, $m(m-1)$ katkısı, kök türünden çözüm > biçimine geçiş ve $x=0$ nedeniyle seçilen çözüm aralığı açısından incele. > Hata varsa doğru kökleri vermeden ilk yanlış kurulum adımını belirt.