Faz Portresi ve Kararlılık: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği

Özdeğer işaretlerinden ve iz-determinant bilgilerinden faz portresi tipini, yönü ve kararlılığı az hesapla belirleme pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

24 Ağustos 2026

Faz Portresi ve Kararlılık: Alıştırmalar

Faz portresi, bütün başlangıç durumlarının $x_1$–$x_2$ düzlemindeki yörüngelerini gösterir. Tipi özdeğerler, yönleri özvektörler belirler.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Önce özdeğerlerin reel kısımlarından tip ve kararlılık kararınızı yazın. Yapay zekâdan yalnız ilk yanlış sınıflandırmayı göstermesini; faz portresini veya çözümü sizin yerinize üretmemesini isteyin.

Tanıma ve Karar

Örnek 1: Kararlı Düğüm

$\lambda_1=-1$, $\lambda_2=-3$ ayrık reel ve negatiftir. Denge asimptotik kararlı düğümdür; yörüngeler orijine yaklaşır.

Örnek 2: Eyer

$\lambda_1=2$, $\lambda_2=-1$ zıt işaretlidir. Bir doğrultuda yaklaşma olsa da diğer doğrultuda uzaklaşma vardır; denge eyer ve kararsızdır.

Örnek 3: Sarmal

$\lambda=-2\pm3i$ için yörüngeler dönerek orijine yaklaşır. Reel kısım negatif olduğundan içe sarmal ve asimptotik kararlıdır.

Örnek 4: Merkez

$\lambda=\pm2i$ saf sanaldır. Yörüngeler kapalıdır; merkez kararlıdır fakat orijine yaklaşmadığı için asimptotik kararlı değildir.

Mekanizmayı Kurma

Örnek 5: İz ve Determinant

İki boyutlu sistemde karakteristik denklem

\[ \lambda^2-T\lambda+D=0,\q\quad T=\operatorname{tr}A,\quad D=\det A \]

biçimindedir. $D<0$ ise köklerin çarpımı negatiftir ve sistem doğrudan eyerdir.

Örnek 6: Yönü Belirleme

Bir faz portresinin saat yönünde mi, ters yönde mi döndüğü yalnız $\pm\beta$ işaretinden okunmaz. Örneğin $\mathbf{x}=[1,0]^T$ noktasında $A\mathbf{x}$ hesaplanır; elde edilen vektör yörüngenin o noktadaki yönünü gösterir.

Temel Tam Çözümler

Örnek 7: İz–Determinantla Düğüm

\[ A=\begin{bmatrix}-3&1\\1&-3\end{bmatrix} \]

İz $T=-6$, determinant $D=8$ ve diskriminant $T^2-4D=36-32=4>0$’dır. Kökler reel; $D>0$ ve $T<0$ olduğundan ikisi de negatiftir. Sistem

\[ \boxed{\text{asimptotik kararlı düğümdür}.} \]

Doğrulama için kökler $-2$ ve $-4$ bulunur.

Örnek 8: İz–Determinantla Sarmal

\[ A=\begin{bmatrix}-1&-2\\2&-1\end{bmatrix} \]

$T=-2$, $D=5$ ve $T^2-4D=-16<0$’dır. Kökler kompleks, reel kısımları $T/2=-1$’dir. Bu nedenle sistem

\[ \boxed{\text{içe sarmal ve asimptotik kararlıdır}.} \]

$(1,0)$ noktasında $A[1,0]^T=[-1,2]^T$ olduğundan başlangıç yönü yukarı ve soladır.

Hata Avı

Örnek 9: İlk Hata Nerede?

Bir öğrenci iki negatif özdeğerin iki yönde de azalan koordinat verdiğini düşünüp sistemi kararsız ilan ediyor. İlk hata, negatif özdeğerin üstel $e^{\lambda t}$ bileşenini söndürdüğünü ters yorumlamaktır. İki negatif reel özdeğer kararlı düğüm verir.

Karşılaştırma

Örnek 10: Düğüm ve Eyer

$(-1,-3)$ köklerinde bütün doğrultular sonunda orijine yaklaşır. $(1,-3)$ köklerinde yalnız negatif özdeğer doğrusu üzerinde başlayanlar yaklaşır; genel yörüngeler pozitif özdeğer doğrultusunda uzaklaşır. Tek işaret değişimi kararlı düğümü eyere dönüştürür.

Hafif Karma Örnek

Örnek 11: Üç Veriyi Sınıflandırma

$T=0$, $D=4$: diskriminant $-16$, kökler $\pm2i$; merkez.
$T=5$, $D=6$: kökler $2,3$; kararsız düğüm.
$T=-1$, $D=-2$: determinant negatif; eyer ve kararsız.

Burada hiçbir özvektör hesabı gerekmez; soru yalnız nitel karar ölçer.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

Özdeğerleri $-2$ ve $-5$ olan iki boyutlu bir sistemin denge tipini ve kararlılığını belirleyin.

Soru 2

Özdeğerleri $3$ ve $-1$ olan bir sistemde hangi başlangıç durumlarının orijine yaklaşabileceğini özvektör doğrultuları üzerinden açıklayın.

Soru 3

$T=-4$, $D=13$ verilen bir sistemin özdeğer türünü, faz portresi tipini ve kararlılığını belirleyin.

Soru 4

$T=0$, $D=9$ için dengeyi sınıflandırın. Kararlı olma ile asimptotik kararlı olma ayrımını bu örnek üzerinde açıklayın.

Soru 5

\[ A=\begin{bmatrix}2&0\\0&-3\end{bmatrix} \]

matrisi için faz portresinin temel doğrultularını ve ok yönlerini belirleyin.

Soru 6

\[ A=\begin{bmatrix}-1&-2\\2&-1\end{bmatrix} \]

sistemini iz–determinant yöntemiyle sınıflandırın; $(1,0)$ noktasındaki vektör alanını kullanarak dönme yönünü belirleyin.

Soru 7

$D<0$ koşulunun neden her zaman eyer verdiğini karakteristik polinomun kök işaretleri üzerinden açıklayın.

Soru 8

Aşağıdaki üç veri çiftini sınıflandırın ve sonucu tek tabloda gösterin:

\[ (T,D)=(-6,8),\q\quad (4,8),\q\quad (1,-6). \]

Çalışmanızı Kontrol Etme

Kararımı özdeğerlerin reel kısımları, iz ve determinant işaretleri, diskriminant, merkez ile asimptotik kararlılık ayrımı ve eyerin kaçış yönü açısından incele. Hata varsa doğru tipi vermeden ilk çelişen işareti belirt.

--- title: "Faz Portresi ve Kararlılık: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-24 description: "Özdeğer işaretlerinden ve iz-determinant bilgilerinden faz portresi tipini, yönü ve kararlılığı az hesapla belirleme pratiği." execute: echo: false --- # Faz Portresi ve Kararlılık: Alıştırmalar Faz portresi, bütün başlangıç durumlarının $x_1$–$x_2$ düzlemindeki yörüngelerini gösterir. Tipi özdeğerler, yönleri özvektörler belirler. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Önce özdeğerlerin reel kısımlarından tip ve kararlılık kararınızı yazın. > Yapay zekâdan yalnız ilk yanlış sınıflandırmayı göstermesini; faz portresini > veya çözümü sizin yerinize üretmemesini isteyin. ::: ## Tanıma ve Karar ### Örnek 1: Kararlı Düğüm $\lambda_1=-1$, $\lambda_2=-3$ ayrık reel ve negatiftir. Denge asimptotik kararlı düğümdür; yörüngeler orijine yaklaşır. ### Örnek 2: Eyer $\lambda_1=2$, $\lambda_2=-1$ zıt işaretlidir. Bir doğrultuda yaklaşma olsa da diğer doğrultuda uzaklaşma vardır; denge eyer ve kararsızdır. ### Örnek 3: Sarmal $\lambda=-2\pm3i$ için yörüngeler dönerek orijine yaklaşır. Reel kısım negatif olduğundan içe sarmal ve asimptotik kararlıdır. ### Örnek 4: Merkez $\lambda=\pm2i$ saf sanaldır. Yörüngeler kapalıdır; merkez kararlıdır fakat orijine yaklaşmadığı için asimptotik kararlı değildir. ## Mekanizmayı Kurma ### Örnek 5: İz ve Determinant İki boyutlu sistemde karakteristik denklem $$ \lambda^2-T\lambda+D=0,\q\quad T=\operatorname{tr}A,\quad D=\det A $$ biçimindedir. $D<0$ ise köklerin çarpımı negatiftir ve sistem doğrudan eyerdir. ### Örnek 6: Yönü Belirleme Bir faz portresinin saat yönünde mi, ters yönde mi döndüğü yalnız $\pm\beta$ işaretinden okunmaz. Örneğin $\mathbf{x}=[1,0]^T$ noktasında $A\mathbf{x}$ hesaplanır; elde edilen vektör yörüngenin o noktadaki yönünü gösterir. ## Temel Tam Çözümler ### Örnek 7: İz–Determinantla Düğüm $$ A=\begin{bmatrix}-3&1\\1&-3\end{bmatrix} $$ İz $T=-6$, determinant $D=8$ ve diskriminant $T^2-4D=36-32=4>0$'dır. Kökler reel; $D>0$ ve $T<0$ olduğundan ikisi de negatiftir. Sistem $$ \boxed{\text{asimptotik kararlı düğümdür}.} $$ Doğrulama için kökler $-2$ ve $-4$ bulunur. ### Örnek 8: İz–Determinantla Sarmal $$ A=\begin{bmatrix}-1&-2\\2&-1\end{bmatrix} $$ $T=-2$, $D=5$ ve $T^2-4D=-16<0$'dır. Kökler kompleks, reel kısımları $T/2=-1$'dir. Bu nedenle sistem $$ \boxed{\text{içe sarmal ve asimptotik kararlıdır}.} $$ $(1,0)$ noktasında $A[1,0]^T=[-1,2]^T$ olduğundan başlangıç yönü yukarı ve soladır. ## Hata Avı ### Örnek 9: İlk Hata Nerede? Bir öğrenci iki negatif özdeğerin iki yönde de azalan koordinat verdiğini düşünüp sistemi kararsız ilan ediyor. İlk hata, negatif özdeğerin üstel $e^{\lambda t}$ bileşenini söndürdüğünü ters yorumlamaktır. İki negatif reel özdeğer kararlı düğüm verir. ## Karşılaştırma ### Örnek 10: Düğüm ve Eyer $(-1,-3)$ köklerinde bütün doğrultular sonunda orijine yaklaşır. $(1,-3)$ köklerinde yalnız negatif özdeğer doğrusu üzerinde başlayanlar yaklaşır; genel yörüngeler pozitif özdeğer doğrultusunda uzaklaşır. Tek işaret değişimi kararlı düğümü eyere dönüştürür. ## Hafif Karma Örnek ### Örnek 11: Üç Veriyi Sınıflandırma 1. $T=0$, $D=4$: diskriminant $-16$, kökler $\pm2i$; merkez. 2. $T=5$, $D=6$: kökler $2,3$; kararsız düğüm. 3. $T=-1$, $D=-2$: determinant negatif; eyer ve kararsız. Burada hiçbir özvektör hesabı gerekmez; soru yalnız nitel karar ölçer. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 Özdeğerleri $-2$ ve $-5$ olan iki boyutlu bir sistemin denge tipini ve kararlılığını belirleyin. ### Soru 2 Özdeğerleri $3$ ve $-1$ olan bir sistemde hangi başlangıç durumlarının orijine yaklaşabileceğini özvektör doğrultuları üzerinden açıklayın. ### Soru 3 $T=-4$, $D=13$ verilen bir sistemin özdeğer türünü, faz portresi tipini ve kararlılığını belirleyin. ### Soru 4 $T=0$, $D=9$ için dengeyi sınıflandırın. Kararlı olma ile asimptotik kararlı olma ayrımını bu örnek üzerinde açıklayın. ### Soru 5 $$ A=\begin{bmatrix}2&0\\0&-3\end{bmatrix} $$ matrisi için faz portresinin temel doğrultularını ve ok yönlerini belirleyin. ### Soru 6 $$ A=\begin{bmatrix}-1&-2\\2&-1\end{bmatrix} $$ sistemini iz–determinant yöntemiyle sınıflandırın; $(1,0)$ noktasındaki vektör alanını kullanarak dönme yönünü belirleyin. ### Soru 7 $D<0$ koşulunun neden her zaman eyer verdiğini karakteristik polinomun kök işaretleri üzerinden açıklayın. ### Soru 8 Aşağıdaki üç veri çiftini sınıflandırın ve sonucu tek tabloda gösterin: $$ (T,D)=(-6,8),\q\quad (4,8),\q\quad (1,-6). $$ ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Kararımı özdeğerlerin reel kısımları, iz ve determinant işaretleri, > diskriminant, merkez ile asimptotik kararlılık ayrımı ve eyerin kaçış yönü > açısından incele. Hata varsa doğru tipi vermeden ilk çelişen işareti belirt.