Laplace ile İntegral Denklemler: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği

Konvolüsyon içeren Volterra integral ve integro-diferansiyel denklemlerini Laplace dönüşümüyle cebirselleştirme, çözme ve doğrulama pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

23 Ağustos 2026

Laplace ile İntegral Denklemler: Alıştırmalar

Üst sınırı $t$ olan

\[ \int_0^t k(t-\tau)y(\tau)\,d\tau \]

integrali, $k$ ile $y$ fonksiyonlarının konvolüsyonudur:

\[ (k*y)(t)=\int_0^t k(t-\tau)y(\tau)\,d\tau. \]

$K(s)=\mathcal L\{k(t)\}$ ve $Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}$ olmak üzere

\[ \mathcal L\{k*y\}=K(s)Y(s). \]

İntegral denklem böylece $Y(s)$ için cebirsel bir denkleme dönüşür. $Y(s)$ yalnız bırakılır, gerekirse kısmi kesirlere ayrılır ve ters Laplace dönüşümü alınır.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

İntegrali önce kendiniz konvolüsyon biçiminde yazın. Yapay zekâdan yalnız çekirdeğin $k(t-\tau)$ biçiminde doğru okunup okunmadığını, dönüşüm denklemindeki çarpanı ve kısmi kesir hesabını denetlemesini isteyin.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Sabit Çekirdek

\[ y(t)=1+\int_0^t y(\tau)\,d\tau. \]

Tanı. İntegral

\[ \int_0^t 1\cdot y(\tau)\,d\tau=(1*y)(t) \]

biçimindedir. Sabit çekirdeğin dönüşümü $1/s$’dir.

Laplace dönüşümü.

\[ Y(s)=\frac1s+\frac1sY(s). \]

Cebirsel çözüm.

\[ \left(1-\frac1s\right)Y=\frac1s, \]

\[ Y(s)=\frac1{s-1}. \]

Ters dönüşüm.

\[ \boxed{y(t)=e^t}. \]

Kontrol.

\[ 1+\int_0^t e^\tau\,d\tau =1+(e^t-1) =e^t. \]

Örnek 2: Doğrusal Çekirdek

\[ y(t)=t+\int_0^t(t-\tau)y(\tau)\,d\tau. \]

Tanı. Çekirdek $k(t)=t$ olduğundan integral $(t*y)(t)$ biçimindedir.

\[ K(s)=\mathcal L\{t\}=\frac1{s^2}. \]

Laplace dönüşümü.

\[ Y(s)=\frac1{s^2}+\frac1{s^2}Y(s). \]

Cebirsel çözüm.

\[ (s^2-1)Y=1, \qquad Y(s)=\frac1{s^2-1}. \]

Ters dönüşüm.

\[ \frac1{s^2-1} =\frac12\left(\frac1{s-1}-\frac1{s+1}\right), \]

\[ \boxed{y(t)=\sinh t}. \]

Kontrol. Denklem iki kez türetilirse $y''=y$ elde edilir. Özgün denklemden $y(0)=0$ ve $y'(0)=1$ çıkar. $\sinh t$ bu diferansiyel denklemi ve iki başlangıç değerini sağlar.

Örnek 3: Üstel Çekirdek

\[ y(t)=e^{-t}+\int_0^t e^{-(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau. \]

Tanı. İntegral $(e^{-t}*y)(t)$ biçimindedir ve çekirdeğin dönüşümü $1/(s+1)$’dir.

Laplace dönüşümü.

\[ Y(s)=\frac1{s+1}+\frac1{s+1}Y(s). \]

Cebirsel çözüm.

\[ (s+1)Y=1+Y, \qquad sY=1, \]

\[ Y(s)=\frac1s. \]

Ters dönüşüm.

\[ \boxed{y(t)=1}. \]

Kontrol.

\[ e^{-t}+\int_0^t e^{-(t-\tau)}\,d\tau =e^{-t}+1-e^{-t} =1. \]

Örnek 4: İntegral İçeren Başlangıç Değer Problemi

\[ y'(t)+2y(t) =1+\int_0^t e^{-2(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau, \qquad y(0)=0. \]

Tanı.

\[ \int_0^t e^{-2(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau =(e^{-2t}*y)(t). \]

Laplace dönüşümü.

\[ sY+2Y =\frac1s+\frac1{s+2}Y. \]

Başlangıç değeri sıfır olduğu için türev dönüşümünde ek sabit kalmaz.

Cebirsel çözüm.

\[ \left[(s+2)-\frac1{s+2}\right]Y=\frac1s, \]

\[ Y(s) =\frac{s+2}{s\bigl((s+2)^2-1\bigr)} =\frac{s+2}{s(s+1)(s+3)}. \]

Kısmi kesirler.

\[ Y(s) =\frac{2}{3s} -\frac{1}{2(s+1)} -\frac{1}{6(s+3)}. \]

Ters dönüşüm.

\[ \boxed{ y(t)=\frac23-\frac12e^{-t}-\frac16e^{-3t} }. \]

Başlangıç kontrolü

\[ y(0)=\frac23-\frac12-\frac16=0 \]

verir. Bulunan fonksiyonun türevi ve konvolüsyon integrali özgün denklemde yerine yazıldığında iki taraf eşit çıkar.

Örnek 5: Önce Cebirsel Denklem

\[ y(t)+2\int_0^t y(\tau)\,d\tau=t. \]

Laplace dönüşümü.

\[ Y+\frac{2}{s}Y=\frac1{s^2}. \]

Cebirsel çözüm.

\[ Y(s)=\frac1{s(s+2)} =\frac12\left(\frac1s-\frac1{s+2}\right). \]

Ters dönüşüm.

\[ \boxed{y(t)=\frac12(1-e^{-2t})}. \]

Kontrol. $y(0)=0$’dır. Denklem türetilirse $y'+2y=1$ elde edilir; bulunan fonksiyon bu başlangıç değer problemini sağlar.

Hata Avı

Örnek 6: Noktasal Çarpım Sanmak

\[ \int_0^t e^{-(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau \]

ifadesinin dönüşümü $\mathcal L\{e^{-t}y(t)\}$ değildir. İntegral bir konvolüsyondur ve dönüşümü $Y(s)/(s+1)$ olur.

Örnek 7: Türevde Başlangıç Değerini Atlamak

$y(0)=2$ ise

\[ \mathcal L\{y'\}=sY-2 \]

yazılır. $sY$ yazıp başlangıç değerini atlamak, elde edilen cebirsel denklemi ve çözümün tamamını değiştirir.

Örnek 8: Çekirdeği Yanlış Okumak

\[ \int_0^t e^{-2\tau}y(t-\tau)\,d\tau \]

ile

\[ \int_0^t e^{-2(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau \]

aynı konvolüsyonun değişme özelliğiyle yazılmış iki biçimidir. Buna karşılık $e^{-2t}y(\tau)$ yazılırsa çekirdek artık doğru kaydırmayı taşımaz.

Kurulum Soruları

Aşağıdaki sorularda yalnız konvolüsyon biçimini ve $Y(s)$ için oluşan cebirsel denklemi yazın. $Y(s)$’yi çözmeyin.

Soru 1

\[ y(t)=t^2+\int_0^t(t-\tau)y(\tau)\,d\tau. \]

Soru 2

\[ y(t)=\cos t+\int_0^t\sin(t-\tau)y(\tau)\,d\tau. \]

Soru 3

\[ y'(t)+y(t) =e^{-t}+\int_0^t y(\tau)\,d\tau, \qquad y(0)=1. \]

Soru 4

\[ y''(t)+y(t) =1+\int_0^t e^{-(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau, \qquad y(0)=0, \qquad y'(0)=2. \]

Tam Çözüm Soruları

Soru 5

\[ y(t)=2+\int_0^t y(\tau)\,d\tau. \]

Laplace dönüşümüyle çözün ve sonucu integral denkleminde doğrulayın.

Soru 6

\[ y(t)=\cos t+\int_0^t\sin(t-\tau)y(\tau)\,d\tau. \]

Laplace dönüşümüyle çözün.

Soru 7

\[ y(t)+\int_0^t y(\tau)\,d\tau=t. \]

Laplace dönüşümüyle çözün ve türev alarak kontrol edin.

Soru 8

\[ y(t)=e^{-2t} +\int_0^t e^{-2(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau. \]

Laplace dönüşümüyle çözün ve sonucu yerine koyarak doğrulayın.

Soru 9

\[ y'(t)+3y(t) =1+\int_0^t e^{-3(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau, \qquad y(0)=0. \]

Uçtan uca çözün.

Soru 10

\[ y'(t)+y(t) =t+\int_0^t(t-\tau)y(\tau)\,d\tau, \qquad y(0)=0. \]

Laplace dönüşümüyle çözün.

Soru 11

\[ y(t)-2\int_0^t e^{-(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau=e^{-t}. \]

$Y(s)$’yi bulun, ters dönüşümü alın ve çözümün tanımlı olduğu aralığı belirtin.

Soru 12

Kendi seçtiğiniz basit bir çekirdek $k(t)$ ve sağ taraf $f(t)$ ile

\[ y=f+k*y \]

biçiminde bir integral denklem kurun. Laplace dönüşümüyle çözülebilmesi için $F(s)$ ve $K(s)$ ifadelerinin hangi özelliklere sahip olması gerektiğini çözümünüz üzerinden açıklayın.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü integralin konvolüsyon olarak yazılması, çekirdeğin doğru dönüşümü, türevlerde başlangıç değerleri, $Y(s)$ için cebirsel düzenleme, kısmi kesirler, ters dönüşüm ve özgün integral denkleminde doğrulama açısından incele. Hata varsa sonucu vermeden ilk yanlış dönüşümü veya cebir adımını belirt.

--- title: "Laplace ile İntegral Denklemler: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-23 description: "Konvolüsyon içeren Volterra integral ve integro-diferansiyel denklemlerini Laplace dönüşümüyle cebirselleştirme, çözme ve doğrulama pratiği." execute: echo: false --- # Laplace ile İntegral Denklemler: Alıştırmalar Üst sınırı $t$ olan $$ \int_0^t k(t-\tau)y(\tau)\,d\tau $$ integrali, $k$ ile $y$ fonksiyonlarının konvolüsyonudur: $$ (k*y)(t)=\int_0^t k(t-\tau)y(\tau)\,d\tau. $$ $K(s)=\mathcal L\{k(t)\}$ ve $Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}$ olmak üzere $$ \mathcal L\{k*y\}=K(s)Y(s). $$ İntegral denklem böylece $Y(s)$ için cebirsel bir denkleme dönüşür. $Y(s)$ yalnız bırakılır, gerekirse kısmi kesirlere ayrılır ve ters Laplace dönüşümü alınır. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > İntegrali önce kendiniz konvolüsyon biçiminde yazın. Yapay zekâdan yalnız > çekirdeğin $k(t-\tau)$ biçiminde doğru okunup okunmadığını, dönüşüm > denklemindeki çarpanı ve kısmi kesir hesabını denetlemesini isteyin. ::: ## Çözümlü Örnekler ### Örnek 1: Sabit Çekirdek $$ y(t)=1+\int_0^t y(\tau)\,d\tau. $$ **Tanı.** İntegral $$ \int_0^t 1\cdot y(\tau)\,d\tau=(1*y)(t) $$ biçimindedir. Sabit çekirdeğin dönüşümü $1/s$'dir. **Laplace dönüşümü.** $$ Y(s)=\frac1s+\frac1sY(s). $$ **Cebirsel çözüm.** $$ \left(1-\frac1s\right)Y=\frac1s, $$ $$ Y(s)=\frac1{s-1}. $$ **Ters dönüşüm.** $$ \boxed{y(t)=e^t}. $$ **Kontrol.** $$ 1+\int_0^t e^\tau\,d\tau =1+(e^t-1) =e^t. $$ ### Örnek 2: Doğrusal Çekirdek $$ y(t)=t+\int_0^t(t-\tau)y(\tau)\,d\tau. $$ **Tanı.** Çekirdek $k(t)=t$ olduğundan integral $(t*y)(t)$ biçimindedir. $$ K(s)=\mathcal L\{t\}=\frac1{s^2}. $$ **Laplace dönüşümü.** $$ Y(s)=\frac1{s^2}+\frac1{s^2}Y(s). $$ **Cebirsel çözüm.** $$ (s^2-1)Y=1, \qquad Y(s)=\frac1{s^2-1}. $$ **Ters dönüşüm.** $$ \frac1{s^2-1} =\frac12\left(\frac1{s-1}-\frac1{s+1}\right), $$ $$ \boxed{y(t)=\sinh t}. $$ **Kontrol.** Denklem iki kez türetilirse $y''=y$ elde edilir. Özgün denklemden $y(0)=0$ ve $y'(0)=1$ çıkar. $\sinh t$ bu diferansiyel denklemi ve iki başlangıç değerini sağlar. ### Örnek 3: Üstel Çekirdek $$ y(t)=e^{-t}+\int_0^t e^{-(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau. $$ **Tanı.** İntegral $(e^{-t}*y)(t)$ biçimindedir ve çekirdeğin dönüşümü $1/(s+1)$'dir. **Laplace dönüşümü.** $$ Y(s)=\frac1{s+1}+\frac1{s+1}Y(s). $$ **Cebirsel çözüm.** $$ (s+1)Y=1+Y, \qquad sY=1, $$ $$ Y(s)=\frac1s. $$ **Ters dönüşüm.** $$ \boxed{y(t)=1}. $$ **Kontrol.** $$ e^{-t}+\int_0^t e^{-(t-\tau)}\,d\tau =e^{-t}+1-e^{-t} =1. $$ ### Örnek 4: İntegral İçeren Başlangıç Değer Problemi $$ y'(t)+2y(t) =1+\int_0^t e^{-2(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau, \qquad y(0)=0. $$ **Tanı.** $$ \int_0^t e^{-2(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau =(e^{-2t}*y)(t). $$ **Laplace dönüşümü.** $$ sY+2Y =\frac1s+\frac1{s+2}Y. $$ Başlangıç değeri sıfır olduğu için türev dönüşümünde ek sabit kalmaz. **Cebirsel çözüm.** $$ \left[(s+2)-\frac1{s+2}\right]Y=\frac1s, $$ $$ Y(s) =\frac{s+2}{s\bigl((s+2)^2-1\bigr)} =\frac{s+2}{s(s+1)(s+3)}. $$ **Kısmi kesirler.** $$ Y(s) =\frac{2}{3s} -\frac{1}{2(s+1)} -\frac{1}{6(s+3)}. $$ **Ters dönüşüm.** $$ \boxed{ y(t)=\frac23-\frac12e^{-t}-\frac16e^{-3t} }. $$ Başlangıç kontrolü $$ y(0)=\frac23-\frac12-\frac16=0 $$ verir. Bulunan fonksiyonun türevi ve konvolüsyon integrali özgün denklemde yerine yazıldığında iki taraf eşit çıkar. ### Örnek 5: Önce Cebirsel Denklem $$ y(t)+2\int_0^t y(\tau)\,d\tau=t. $$ **Laplace dönüşümü.** $$ Y+\frac{2}{s}Y=\frac1{s^2}. $$ **Cebirsel çözüm.** $$ Y(s)=\frac1{s(s+2)} =\frac12\left(\frac1s-\frac1{s+2}\right). $$ **Ters dönüşüm.** $$ \boxed{y(t)=\frac12(1-e^{-2t})}. $$ **Kontrol.** $y(0)=0$'dır. Denklem türetilirse $y'+2y=1$ elde edilir; bulunan fonksiyon bu başlangıç değer problemini sağlar. ## Hata Avı ### Örnek 6: Noktasal Çarpım Sanmak $$ \int_0^t e^{-(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau $$ ifadesinin dönüşümü $\mathcal L\{e^{-t}y(t)\}$ değildir. İntegral bir konvolüsyondur ve dönüşümü $Y(s)/(s+1)$ olur. ### Örnek 7: Türevde Başlangıç Değerini Atlamak $y(0)=2$ ise $$ \mathcal L\{y'\}=sY-2 $$ yazılır. $sY$ yazıp başlangıç değerini atlamak, elde edilen cebirsel denklemi ve çözümün tamamını değiştirir. ### Örnek 8: Çekirdeği Yanlış Okumak $$ \int_0^t e^{-2\tau}y(t-\tau)\,d\tau $$ ile $$ \int_0^t e^{-2(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau $$ aynı konvolüsyonun değişme özelliğiyle yazılmış iki biçimidir. Buna karşılık $e^{-2t}y(\tau)$ yazılırsa çekirdek artık doğru kaydırmayı taşımaz. ## Kurulum Soruları Aşağıdaki sorularda yalnız konvolüsyon biçimini ve $Y(s)$ için oluşan cebirsel denklemi yazın. $Y(s)$'yi çözmeyin. ### Soru 1 $$ y(t)=t^2+\int_0^t(t-\tau)y(\tau)\,d\tau. $$ ### Soru 2 $$ y(t)=\cos t+\int_0^t\sin(t-\tau)y(\tau)\,d\tau. $$ ### Soru 3 $$ y'(t)+y(t) =e^{-t}+\int_0^t y(\tau)\,d\tau, \qquad y(0)=1. $$ ### Soru 4 $$ y''(t)+y(t) =1+\int_0^t e^{-(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau, \qquad y(0)=0, \qquad y'(0)=2. $$ ## Tam Çözüm Soruları ### Soru 5 $$ y(t)=2+\int_0^t y(\tau)\,d\tau. $$ Laplace dönüşümüyle çözün ve sonucu integral denkleminde doğrulayın. ### Soru 6 $$ y(t)=\cos t+\int_0^t\sin(t-\tau)y(\tau)\,d\tau. $$ Laplace dönüşümüyle çözün. ### Soru 7 $$ y(t)+\int_0^t y(\tau)\,d\tau=t. $$ Laplace dönüşümüyle çözün ve türev alarak kontrol edin. ### Soru 8 $$ y(t)=e^{-2t} +\int_0^t e^{-2(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau. $$ Laplace dönüşümüyle çözün ve sonucu yerine koyarak doğrulayın. ### Soru 9 $$ y'(t)+3y(t) =1+\int_0^t e^{-3(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau, \qquad y(0)=0. $$ Uçtan uca çözün. ### Soru 10 $$ y'(t)+y(t) =t+\int_0^t(t-\tau)y(\tau)\,d\tau, \qquad y(0)=0. $$ Laplace dönüşümüyle çözün. ### Soru 11 $$ y(t)-2\int_0^t e^{-(t-\tau)}y(\tau)\,d\tau=e^{-t}. $$ $Y(s)$'yi bulun, ters dönüşümü alın ve çözümün tanımlı olduğu aralığı belirtin. ### Soru 12 Kendi seçtiğiniz basit bir çekirdek $k(t)$ ve sağ taraf $f(t)$ ile $$ y=f+k*y $$ biçiminde bir integral denklem kurun. Laplace dönüşümüyle çözülebilmesi için $F(s)$ ve $K(s)$ ifadelerinin hangi özelliklere sahip olması gerektiğini çözümünüz üzerinden açıklayın. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü integralin konvolüsyon olarak yazılması, çekirdeğin doğru > dönüşümü, türevlerde başlangıç değerleri, $Y(s)$ için cebirsel düzenleme, > kısmi kesirler, ters dönüşüm ve özgün integral denkleminde doğrulama > açısından incele. Hata varsa sonucu vermeden ilk yanlış dönüşümü veya > cebir adımını belirt.