Özel Çözüm Yöntem Seçimi: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği

Homojen olmayan lineer denklemlerde belirsiz katsayılar ve sabitlerin değişimi arasında yöntem seçme, çakışmayı düzeltme ve tam çözüm kurma pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

23 Ağustos 2026

Özel Çözüm Yöntem Seçimi: Alıştırmalar

Standart biçimdeki

\[ y''+P(x)y'+Q(x)y=g(x) \]

denkleminde önce ilişkili homojen denklem çözülür. Genel çözüm

\[ y=y_h+y_p \]

biçimindedir. Sabit katsayılı bir denklemde $g(x)$ polinom, üstel, sinüs–kosinüs veya bunların sonlu toplam ve çarpımlarından oluşuyorsa belirsiz katsayılar yöntemi genellikle daha kısadır. Bu yapı yoksa veya katsayılar değişkense sabitlerin değişimi kullanılır.

Belirsiz katsayılarda aday $y_h$ ile çakışıyorsa, çakışma kalmayana kadar $x$ ile çarpılır. Sabitlerin değişiminde denklem önce standart biçime getirilir ve homojen çözümlerden Wronskian kurulur.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Önce yöntemi ve gerekçesini kendiniz yazın. Yapay zekâdan çözümü üretmesini değil, katsayıların sabit olup olmadığını, sağ tarafın aday ailesine girip girmediğini ve çakışma kontrolünü denetlemesini isteyin.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Polinom Sağ Taraf

\[ y''-3y'+2y=4x+6. \]

Tanı. Katsayılar sabittir ve sağ taraf birinci dereceden polinomdur. Belirsiz katsayılar yöntemi uygundur.

Homojen çözüm.

\[ r^2-3r+2=(r-1)(r-2)=0, \]

\[ y_h=C_1e^x+C_2e^{2x}. \]

Özel çözüm adayı. Polinom ailesi homojen çözümle çakışmaz:

\[ y_p=Ax+B. \]

Yerine koyma.

\[ 0-3A+2(Ax+B)=4x+6. \]

Katsayılar eşleştirilirse

\[ 2A=4, \qquad 2B-3A=6 \]

elde edilir. $A=2$ ve $B=6$:

\[ \boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}+2x+6}. \]

Kontrol. $y_p'=2$ ve $y_p''=0$ olduğundan $y_p''-3y_p'+2y_p=-6+4x+12=4x+6$ bulunur.

Örnek 2: Basit Kökle Çakışma

\[ y''-3y'+2y=e^x. \]

Tanı. Denklem sabit katsayılıdır ve sağ taraf üstel ailedendir. Belirsiz katsayılar kullanılabilir. Ancak $r=1$ karakteristik kök olduğu için $Ae^x$ adayı homojen çözümle çakışır.

Düzeltilmiş aday.

\[ y_p=Axe^x. \]

Türevler

\[ y_p'=A(1+x)e^x, \qquad y_p''=A(2+x)e^x \]

olur. Denklemde yerine koyunca

\[ A\bigl[(2+x)-3(1+x)+2x\bigr]e^x=e^x, \]

\[ -A=1. \]

Dolayısıyla $A=-1$ ve

\[ \boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}-xe^x}. \]

Örnek 3: Aday Tablosuna Girmeyen Sağ Taraf

\[ y''+y=\sec x, \qquad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}. \]

Tanı. $\sec x$ türev alındıkça sonlu bir polinom–üstel–trigonometrik aile içinde kalmaz. Sabitlerin değişimi kullanılır.

Homojen çözüm ve Wronskian.

\[ y_1=\cos x, \qquad y_2=\sin x, \qquad W=1. \]

Standart biçimde $g(x)=\sec x$ olduğundan

\[ u_1'=-\frac{y_2g}{W}=-\tan x, \qquad u_2'=\frac{y_1g}{W}=1. \]

İntegraller

\[ u_1=\ln(\cos x), \qquad u_2=x \]

verir. Seçilen aralıkta $\cos x>0$ olduğundan logaritma bu biçimde yazılabilir.

\[ y_p=u_1y_1+u_2y_2 =\cos x\ln(\cos x)+x\sin x. \]

Genel çözüm

\[ \boxed{ y=C_1\cos x+C_2\sin x+\cos x\ln(\cos x)+x\sin x } \]

olur.

Örnek 4: Değişken Katsayılı Denklem

\[ x^2y''-2xy'+2y=x^3, \qquad x>0, \]

ve homojen çözümler $y_1=x$, $y_2=x^2$ olarak verilsin.

Tanı. Katsayılar değişkendir. Denklem $x^2$’ye bölünmeden sabitlerin değişimi formülleri uygulanamaz.

Standart biçim.

\[ y''-\frac{2}{x}y'+\frac{2}{x^2}y=x. \]

Burada $g(x)=x$ ve

\[ W= \begin{vmatrix} x&x^2\\ 1&2x \end{vmatrix} =x^2. \]

Bu nedenle

\[ u_1'=-\frac{x^2\cdot x}{x^2}=-x, \qquad u_2'=\frac{x\cdot x}{x^2}=1. \]

\[ u_1=-\frac{x^2}{2}, \qquad u_2=x. \]

Özel çözüm

\[ y_p=u_1x+u_2x^2 =-\frac{x^3}{2}+x^3 =\frac{x^3}{2} \]

ve genel çözüm

\[ \boxed{y=C_1x+C_2x^2+\frac{x^3}{2},\qquad x>0} \]

olur.

Örnek 5: Trigonometrik Çakışma

\[ y''+4y=\sin 2x. \]

Tanı. Sabit katsayılı denklem ve trigonometrik sağ taraf belirsiz katsayılara uygundur. Homojen çözüm

\[ y_h=C_1\cos2x+C_2\sin2x \]

olduğu için standart $A\cos2x+B\sin2x$ adayı bütünüyle çakışır. Aday bir kez $x$ ile çarpılır:

\[ y_p=x(A\cos2x+B\sin2x). \]

Katsayı hesabı sonucunda $A=-1/4$ ve $B=0$ bulunur:

\[ y_p=-\frac{x}{4}\cos2x. \]

Dolayısıyla

\[ \boxed{ y=C_1\cos2x+C_2\sin2x-\frac{x}{4}\cos2x }. \]

Kontrol. $y_p''+4y_p=\sin2x$ eşitliği doğrudan türev alınarak doğrulanır.

Hata Avı

Örnek 6: Sağ Tarafa Bakarak Acele Etmek

\[ x^2y''-xy'+y=x^2 \]

denkleminde sağ taraf polinom olsa da katsayılar sabit değildir. Yalnız $g(x)$’in polinom olmasına bakarak belirsiz katsayılar seçilemez.

Örnek 7: Çakışmayı Yöntem Hatası Sanmak

\[ y''-3y'+2y=e^x \]

denkleminde $y_p=Ae^x$ yazınca sol tarafın sıfır olması, yöntemin uygulanamadığını göstermez. Aday homojen çözümle çakışmıştır; $x$ ile çarpılması gerekir.

Örnek 8: Standart Biçimi Atlamak

\[ 3y''+3y=\sec x \]

denkleminde sabitlerin değişimi formülündeki sağ taraf $\sec x$ değil, denklem $3$’e bölündükten sonra elde edilen $\frac13\sec x$’tir.

Yöntem Seçme Soruları

Aşağıdaki denklemleri çözmeden uygun özel çözüm yöntemini seçin. Belirsiz katsayılar seçiyorsanız aday biçimini ve varsa çakışma düzeltmesini yazın.

Soru 1

\[ y''-y=xe^{2x}. \]

Soru 2

\[ y''+y=\tan x. \]

Soru 3

\[ y''-4y'+4y=e^{2x}. \]

Soru 4

\[ y''+9y=\cos3x. \]

Soru 5

\[ x^2y''-3xy'+3y=x^2. \]

Soru 6

\[ y''+2y'+y=x^2e^{-x}. \]

Soru 7

\[ y''-2y=e^{x^2}. \]

Soru 8

\[ y''+4y=3x+2\sin x. \]

Tam Çözüm Soruları

Soru 9

\[ y''-5y'+6y=4x. \]

Genel çözümü belirsiz katsayılar yöntemiyle bulun.

Soru 10

\[ y''-2y'+y=e^x. \]

Çakışma derecesini belirleyin ve genel çözümü bulun.

Soru 11

\[ y''+y=\csc x, \qquad 0<x<\pi. \]

Genel çözümü sabitlerin değişimiyle bulun.

Soru 12

\[ x^2y''-2xy'+2y=x^2, \qquad x>0, \]

homojen çözümleri $y_1=x$, $y_2=x^2$ olmak üzere genel çözümü bulun.

Soru 13

\[ y''+4y=\cos2x, \qquad y(0)=0, \qquad y'(0)=1. \]

Başlangıç değer problemini çözün.

Soru 14

\[ y''-y=e^x+\frac{1}{1+e^x}. \]

Sağ tarafın iki parçası için yöntem seçimini ayrı yapın. Özel çözümü uygun iki parçanın toplamı olarak kurun.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü standart biçim, homojen çözüm, yöntem seçiminin gerekçesi, belirsiz katsayılarda aday ailesi ve çakışma derecesi, sabitlerin değişiminde Wronskian ve işaretler, genel çözümün $y_h+y_p$ biçiminde tamamlanması açısından incele. Hata varsa doğru sonucu vermeden ilk yanlış kararı veya işlemi belirt.

--- title: "Özel Çözüm Yöntem Seçimi: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-23 description: "Homojen olmayan lineer denklemlerde belirsiz katsayılar ve sabitlerin değişimi arasında yöntem seçme, çakışmayı düzeltme ve tam çözüm kurma pratiği." execute: echo: false --- # Özel Çözüm Yöntem Seçimi: Alıştırmalar Standart biçimdeki $$ y''+P(x)y'+Q(x)y=g(x) $$ denkleminde önce ilişkili homojen denklem çözülür. Genel çözüm $$ y=y_h+y_p $$ biçimindedir. Sabit katsayılı bir denklemde $g(x)$ polinom, üstel, sinüs–kosinüs veya bunların sonlu toplam ve çarpımlarından oluşuyorsa belirsiz katsayılar yöntemi genellikle daha kısadır. Bu yapı yoksa veya katsayılar değişkense sabitlerin değişimi kullanılır. Belirsiz katsayılarda aday $y_h$ ile çakışıyorsa, çakışma kalmayana kadar $x$ ile çarpılır. Sabitlerin değişiminde denklem önce standart biçime getirilir ve homojen çözümlerden Wronskian kurulur. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Önce yöntemi ve gerekçesini kendiniz yazın. Yapay zekâdan çözümü üretmesini > değil, katsayıların sabit olup olmadığını, sağ tarafın aday ailesine girip > girmediğini ve çakışma kontrolünü denetlemesini isteyin. ::: ## Çözümlü Örnekler ### Örnek 1: Polinom Sağ Taraf $$ y''-3y'+2y=4x+6. $$ **Tanı.** Katsayılar sabittir ve sağ taraf birinci dereceden polinomdur. Belirsiz katsayılar yöntemi uygundur. **Homojen çözüm.** $$ r^2-3r+2=(r-1)(r-2)=0, $$ $$ y_h=C_1e^x+C_2e^{2x}. $$ **Özel çözüm adayı.** Polinom ailesi homojen çözümle çakışmaz: $$ y_p=Ax+B. $$ **Yerine koyma.** $$ 0-3A+2(Ax+B)=4x+6. $$ Katsayılar eşleştirilirse $$ 2A=4, \qquad 2B-3A=6 $$ elde edilir. $A=2$ ve $B=6$: $$ \boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}+2x+6}. $$ **Kontrol.** $y_p'=2$ ve $y_p''=0$ olduğundan $y_p''-3y_p'+2y_p=-6+4x+12=4x+6$ bulunur. ### Örnek 2: Basit Kökle Çakışma $$ y''-3y'+2y=e^x. $$ **Tanı.** Denklem sabit katsayılıdır ve sağ taraf üstel ailedendir. Belirsiz katsayılar kullanılabilir. Ancak $r=1$ karakteristik kök olduğu için $Ae^x$ adayı homojen çözümle çakışır. **Düzeltilmiş aday.** $$ y_p=Axe^x. $$ Türevler $$ y_p'=A(1+x)e^x, \qquad y_p''=A(2+x)e^x $$ olur. Denklemde yerine koyunca $$ A\bigl[(2+x)-3(1+x)+2x\bigr]e^x=e^x, $$ $$ -A=1. $$ Dolayısıyla $A=-1$ ve $$ \boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}-xe^x}. $$ ### Örnek 3: Aday Tablosuna Girmeyen Sağ Taraf $$ y''+y=\sec x, \qquad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}. $$ **Tanı.** $\sec x$ türev alındıkça sonlu bir polinom–üstel–trigonometrik aile içinde kalmaz. Sabitlerin değişimi kullanılır. **Homojen çözüm ve Wronskian.** $$ y_1=\cos x, \qquad y_2=\sin x, \qquad W=1. $$ Standart biçimde $g(x)=\sec x$ olduğundan $$ u_1'=-\frac{y_2g}{W}=-\tan x, \qquad u_2'=\frac{y_1g}{W}=1. $$ İntegraller $$ u_1=\ln(\cos x), \qquad u_2=x $$ verir. Seçilen aralıkta $\cos x>0$ olduğundan logaritma bu biçimde yazılabilir. $$ y_p=u_1y_1+u_2y_2 =\cos x\ln(\cos x)+x\sin x. $$ Genel çözüm $$ \boxed{ y=C_1\cos x+C_2\sin x+\cos x\ln(\cos x)+x\sin x } $$ olur. ### Örnek 4: Değişken Katsayılı Denklem $$ x^2y''-2xy'+2y=x^3, \qquad x>0, $$ ve homojen çözümler $y_1=x$, $y_2=x^2$ olarak verilsin. **Tanı.** Katsayılar değişkendir. Denklem $x^2$'ye bölünmeden sabitlerin değişimi formülleri uygulanamaz. **Standart biçim.** $$ y''-\frac{2}{x}y'+\frac{2}{x^2}y=x. $$ Burada $g(x)=x$ ve $$ W= \begin{vmatrix} x&x^2\\ 1&2x \end{vmatrix} =x^2. $$ Bu nedenle $$ u_1'=-\frac{x^2\cdot x}{x^2}=-x, \qquad u_2'=\frac{x\cdot x}{x^2}=1. $$ $$ u_1=-\frac{x^2}{2}, \qquad u_2=x. $$ Özel çözüm $$ y_p=u_1x+u_2x^2 =-\frac{x^3}{2}+x^3 =\frac{x^3}{2} $$ ve genel çözüm $$ \boxed{y=C_1x+C_2x^2+\frac{x^3}{2},\qquad x>0} $$ olur. ### Örnek 5: Trigonometrik Çakışma $$ y''+4y=\sin 2x. $$ **Tanı.** Sabit katsayılı denklem ve trigonometrik sağ taraf belirsiz katsayılara uygundur. Homojen çözüm $$ y_h=C_1\cos2x+C_2\sin2x $$ olduğu için standart $A\cos2x+B\sin2x$ adayı bütünüyle çakışır. Aday bir kez $x$ ile çarpılır: $$ y_p=x(A\cos2x+B\sin2x). $$ Katsayı hesabı sonucunda $A=-1/4$ ve $B=0$ bulunur: $$ y_p=-\frac{x}{4}\cos2x. $$ Dolayısıyla $$ \boxed{ y=C_1\cos2x+C_2\sin2x-\frac{x}{4}\cos2x }. $$ **Kontrol.** $y_p''+4y_p=\sin2x$ eşitliği doğrudan türev alınarak doğrulanır. ## Hata Avı ### Örnek 6: Sağ Tarafa Bakarak Acele Etmek $$ x^2y''-xy'+y=x^2 $$ denkleminde sağ taraf polinom olsa da katsayılar sabit değildir. Yalnız $g(x)$'in polinom olmasına bakarak belirsiz katsayılar seçilemez. ### Örnek 7: Çakışmayı Yöntem Hatası Sanmak $$ y''-3y'+2y=e^x $$ denkleminde $y_p=Ae^x$ yazınca sol tarafın sıfır olması, yöntemin uygulanamadığını göstermez. Aday homojen çözümle çakışmıştır; $x$ ile çarpılması gerekir. ### Örnek 8: Standart Biçimi Atlamak $$ 3y''+3y=\sec x $$ denkleminde sabitlerin değişimi formülündeki sağ taraf $\sec x$ değil, denklem $3$'e bölündükten sonra elde edilen $\frac13\sec x$'tir. ## Yöntem Seçme Soruları Aşağıdaki denklemleri çözmeden uygun özel çözüm yöntemini seçin. Belirsiz katsayılar seçiyorsanız aday biçimini ve varsa çakışma düzeltmesini yazın. ### Soru 1 $$ y''-y=xe^{2x}. $$ ### Soru 2 $$ y''+y=\tan x. $$ ### Soru 3 $$ y''-4y'+4y=e^{2x}. $$ ### Soru 4 $$ y''+9y=\cos3x. $$ ### Soru 5 $$ x^2y''-3xy'+3y=x^2. $$ ### Soru 6 $$ y''+2y'+y=x^2e^{-x}. $$ ### Soru 7 $$ y''-2y=e^{x^2}. $$ ### Soru 8 $$ y''+4y=3x+2\sin x. $$ ## Tam Çözüm Soruları ### Soru 9 $$ y''-5y'+6y=4x. $$ Genel çözümü belirsiz katsayılar yöntemiyle bulun. ### Soru 10 $$ y''-2y'+y=e^x. $$ Çakışma derecesini belirleyin ve genel çözümü bulun. ### Soru 11 $$ y''+y=\csc x, \qquad 0<x<\pi. $$ Genel çözümü sabitlerin değişimiyle bulun. ### Soru 12 $$ x^2y''-2xy'+2y=x^2, \qquad x>0, $$ homojen çözümleri $y_1=x$, $y_2=x^2$ olmak üzere genel çözümü bulun. ### Soru 13 $$ y''+4y=\cos2x, \qquad y(0)=0, \qquad y'(0)=1. $$ Başlangıç değer problemini çözün. ### Soru 14 $$ y''-y=e^x+\frac{1}{1+e^x}. $$ Sağ tarafın iki parçası için yöntem seçimini ayrı yapın. Özel çözümü uygun iki parçanın toplamı olarak kurun. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü standart biçim, homojen çözüm, yöntem seçiminin gerekçesi, > belirsiz katsayılarda aday ailesi ve çakışma derecesi, sabitlerin > değişiminde Wronskian ve işaretler, genel çözümün $y_h+y_p$ biçiminde > tamamlanması açısından incele. Hata varsa doğru sonucu vermeden ilk yanlış > kararı veya işlemi belirt.