Özdeğerlerle Homojen Sistemler: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği

İki boyutlu homojen sistemlerde özdeğer ve özvektörleri bulma, üstel vektör çözümleri kurma ve başlangıç koşulunu uygulama pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

24 Ağustos 2026

Özdeğerlerle Homojen Sistemler: Alıştırmalar

$\mathbf{x}=e^{\lambda t}\mathbf{v}$ adayı, diferansiyel denklem sistemini $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ özdeğer problemine dönüştürür. Özdeğer zaman davranışını, özvektör faz düzlemindeki doğrultuyu belirler.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Karakteristik denklemi ve özvektör sistemini önce kendiniz kurun. Yapay zekâdan özdeğerleri vermesini değil, determinant işaretlerini ve bulduğunuz vektörün $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ eşitliğini kontrol etmesini isteyin.

Tanıma ve Karar

Örnek 1: Adayın İki Parçası

$e^{\lambda t}$ zamanla büyüme ya da sönmeyi; sabit $\mathbf{v}$ ise yönü taşır. Çözüm, özvektör doğrusu üzerinde kalır.

Örnek 2: Özdeğer Koşulu

Sıfırdan farklı $\mathbf{v}$ için $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$ sisteminin katsayı matrisi tersinir olmamalıdır. Bu nedenle $\det(A-\lambda I)=0$ yazılır.

Örnek 3: Köşegen Matris

\[ A=\begin{bmatrix}1&0\\0&-2\end{bmatrix} \]

için özdeğerler köşegen elemanlarıdır. Çözümler $e^t[1,0]^T$ ve $e^{-2t}[0,1]^T$ olur.

Örnek 4: Davranışı Okuma

Özdeğerler $-1$ ve $-3$ ise her iki üstel de söner. Özdeğerler $1$ ve $-2$ ise bir bileşen büyür, diğeri söner; genel davranış kararsızdır.

Mekanizmayı Kurma

Örnek 5: Karakteristik Denklem

\[ A=\begin{bmatrix}-2&1\\1&-2\end{bmatrix} \]

için

\[ \det(A-\lambda I) =(-2-\lambda)^2-1 =(\lambda+1)(\lambda+3) \]

olur. Özdeğerler $-1$ ve $-3$’tür.

Örnek 6: Özvektör Sistemini Yazma

$\lambda=-1$ için

\[ (A+I)\mathbf{v} =\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}\mathbf{v}=0 \]

yazılır ve $v_1=v_2$ bulunur. Basit bir seçim $\mathbf{v}_1=[1,1]^T$’dir.

Temel Tam Çözümler

Örnek 7: İki Ayrık Özdeğer

\[ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}-2&1\\1&-2\end{bmatrix}\mathbf{x} \]

Karakteristik denklem $(\lambda+1)(\lambda+3)=0$ verir. $\lambda=-1$ için $\mathbf{v}_1=[1,1]^T$, $\lambda=-3$ için $\mathbf{v}_2=[1,-1]^T$ seçilebilir. İki özdeğer ayrık olduğundan vektörler bağımsızdır. Genel çözüm

\[ \boxed{ \mathbf{x}=C_1e^{-t}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +C_2e^{-3t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}} \]

olur. Her iki bileşen söndüğü için çözüm orijine gider.

Örnek 8: Köşegen Sistemde Başlangıç Değeri

\[ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}1&0\\0&-2\end{bmatrix}\mathbf{x},\q\quad \mathbf{x}(0)=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix} \]

Genel çözüm

\[ \mathbf{x}=C_1e^t\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} +C_2e^{-2t}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} \]

biçimindedir. Başlangıç koşulu $C_1=3$, $C_2=4$ verir:

\[ \boxed{\mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix}3e^t\\4e^{-2t}\end{bmatrix}}. \]

Birinci bileşen büyüdüğü için sistem kararsızdır.

Hata Avı

Örnek 9: İlk Hata Nerede?

Bir öğrenci yalnız $\lambda_1=-1$, $\lambda_2=-3$ değerlerini bulup $\mathbf{x}=C_1e^{-t}+C_2e^{-3t}$ yazıyor. İlk hata, çözümün vektör olduğunu unutmaktır. Her üstel kendi özvektörüyle çarpılmalıdır.

Karşılaştırma

Örnek 10: Skaler ve Vektörel Kök Sözlüğü

Sabit katsayılı tek denklemde karakteristik kök $e^{rt}$ üretir. Sistemde özdeğer $e^{\lambda t}$ üretir, fakat ayrıca bir $\mathbf{v}$ doğrultusu gerekir. Matris, büyüme hızının yanında yön bilgisini de taşır.

Hafif Karma Örnek

Örnek 11: Başlangıç Koşulunu Özvektörlere Ayırma

Örnek 7’deki sistem için $\mathbf{x}(0)=[4,0]^T$ olsun. Koşul

\[ C_1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +C_2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix} \]

verir. $C_1+C_2=4$, $C_1-C_2=0$ olduğundan $C_1=C_2=2$ ve

\[ \boxed{ \mathbf{x}=2e^{-t}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +2e^{-3t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}} \]

bulunur.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

\[ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}2&0\\0&-1\end{bmatrix}\mathbf{x}, \q\quad \mathbf{x}(0)=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix} \]

başlangıç değer problemini çözün.

Soru 2

\[ A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix} \]

matrisinin özdeğer ve özvektörlerini bulun; homojen sistemin genel çözümünü yazın.

Soru 3

\[ A=\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\end{bmatrix} \]

için karakteristik denklemi kurun, her özdeğere karşılık bir özvektör bulun ve genel çözümü yazın.

Soru 4

$\lambda=-2$ ve $\mathbf{v}=[1,-3]^T$ için $\mathbf{x}=e^{-2t}\mathbf{v}$ çözümünün $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ denklemini sağlaması adına $A\mathbf{v}$’nin ne olması gerektiğini yazın.

Soru 5

Özvektörleri $[1,1]^T$ ve $[1,-1]^T$ olan bir sistemde $\mathbf{x}(0)=[6,2]^T$ başlangıç durumunu bu iki doğrultuya ayırın.

Soru 6

Özdeğerleri $-1$ ve $4$ olan bir sistemin genel çözümünün uzun zamandaki davranışını başlangıç sabitlerine bağlı olarak açıklayın.

Soru 7

Bir öğrenci $\det(\lambda I-A)=0$ kullanırken özvektörü $(\lambda I-A)\mathbf{v}=\mathbf{v}$ denkleminden arıyor. Hatalı adımı belirleyip doğru homojen sistemi yazın.

Soru 8

\[ \mathbf{x}_1=e^t\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \q\quad \mathbf{x}_2=e^{-2t}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \]

çözümlerinden oluşan temel matrisi yazın ve determinantının sıfır olmadığını gösterin.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü $\det(A-\lambda I)$ kurulumu, her özdeğer için özvektör, vektörlerin sütun biçimi, başlangıç durumunun özvektörlere ayrılması ve üstel işaretlerinden davranış okuma açısından incele. Hata varsa doğru özdeğeri vermeden ilk yanlış determinant ya da vektör adımını belirt.

--- title: "Özdeğerlerle Homojen Sistemler: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-24 description: "İki boyutlu homojen sistemlerde özdeğer ve özvektörleri bulma, üstel vektör çözümleri kurma ve başlangıç koşulunu uygulama pratiği." execute: echo: false --- # Özdeğerlerle Homojen Sistemler: Alıştırmalar $\mathbf{x}=e^{\lambda t}\mathbf{v}$ adayı, diferansiyel denklem sistemini $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ özdeğer problemine dönüştürür. Özdeğer zaman davranışını, özvektör faz düzlemindeki doğrultuyu belirler. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Karakteristik denklemi ve özvektör sistemini önce kendiniz kurun. Yapay > zekâdan özdeğerleri vermesini değil, determinant işaretlerini ve bulduğunuz > vektörün $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ eşitliğini kontrol etmesini > isteyin. ::: ## Tanıma ve Karar ### Örnek 1: Adayın İki Parçası $e^{\lambda t}$ zamanla büyüme ya da sönmeyi; sabit $\mathbf{v}$ ise yönü taşır. Çözüm, özvektör doğrusu üzerinde kalır. ### Örnek 2: Özdeğer Koşulu Sıfırdan farklı $\mathbf{v}$ için $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$ sisteminin katsayı matrisi tersinir olmamalıdır. Bu nedenle $\det(A-\lambda I)=0$ yazılır. ### Örnek 3: Köşegen Matris $$ A=\begin{bmatrix}1&0\\0&-2\end{bmatrix} $$ için özdeğerler köşegen elemanlarıdır. Çözümler $e^t[1,0]^T$ ve $e^{-2t}[0,1]^T$ olur. ### Örnek 4: Davranışı Okuma Özdeğerler $-1$ ve $-3$ ise her iki üstel de söner. Özdeğerler $1$ ve $-2$ ise bir bileşen büyür, diğeri söner; genel davranış kararsızdır. ## Mekanizmayı Kurma ### Örnek 5: Karakteristik Denklem $$ A=\begin{bmatrix}-2&1\\1&-2\end{bmatrix} $$ için $$ \det(A-\lambda I) =(-2-\lambda)^2-1 =(\lambda+1)(\lambda+3) $$ olur. Özdeğerler $-1$ ve $-3$'tür. ### Örnek 6: Özvektör Sistemini Yazma $\lambda=-1$ için $$ (A+I)\mathbf{v} =\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}\mathbf{v}=0 $$ yazılır ve $v_1=v_2$ bulunur. Basit bir seçim $\mathbf{v}_1=[1,1]^T$'dir. ## Temel Tam Çözümler ### Örnek 7: İki Ayrık Özdeğer $$ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}-2&1\\1&-2\end{bmatrix}\mathbf{x} $$ Karakteristik denklem $(\lambda+1)(\lambda+3)=0$ verir. $\lambda=-1$ için $\mathbf{v}_1=[1,1]^T$, $\lambda=-3$ için $\mathbf{v}_2=[1,-1]^T$ seçilebilir. İki özdeğer ayrık olduğundan vektörler bağımsızdır. Genel çözüm $$ \boxed{ \mathbf{x}=C_1e^{-t}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +C_2e^{-3t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}} $$ olur. Her iki bileşen söndüğü için çözüm orijine gider. ### Örnek 8: Köşegen Sistemde Başlangıç Değeri $$ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}1&0\\0&-2\end{bmatrix}\mathbf{x},\q\quad \mathbf{x}(0)=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix} $$ Genel çözüm $$ \mathbf{x}=C_1e^t\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} +C_2e^{-2t}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} $$ biçimindedir. Başlangıç koşulu $C_1=3$, $C_2=4$ verir: $$ \boxed{\mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix}3e^t\\4e^{-2t}\end{bmatrix}}. $$ Birinci bileşen büyüdüğü için sistem kararsızdır. ## Hata Avı ### Örnek 9: İlk Hata Nerede? Bir öğrenci yalnız $\lambda_1=-1$, $\lambda_2=-3$ değerlerini bulup $\mathbf{x}=C_1e^{-t}+C_2e^{-3t}$ yazıyor. İlk hata, çözümün vektör olduğunu unutmaktır. Her üstel kendi özvektörüyle çarpılmalıdır. ## Karşılaştırma ### Örnek 10: Skaler ve Vektörel Kök Sözlüğü Sabit katsayılı tek denklemde karakteristik kök $e^{rt}$ üretir. Sistemde özdeğer $e^{\lambda t}$ üretir, fakat ayrıca bir $\mathbf{v}$ doğrultusu gerekir. Matris, büyüme hızının yanında yön bilgisini de taşır. ## Hafif Karma Örnek ### Örnek 11: Başlangıç Koşulunu Özvektörlere Ayırma Örnek 7'deki sistem için $\mathbf{x}(0)=[4,0]^T$ olsun. Koşul $$ C_1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +C_2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix} $$ verir. $C_1+C_2=4$, $C_1-C_2=0$ olduğundan $C_1=C_2=2$ ve $$ \boxed{ \mathbf{x}=2e^{-t}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +2e^{-3t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}} $$ bulunur. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 $$ \mathbf{x}'= \begin{bmatrix}2&0\\0&-1\end{bmatrix}\mathbf{x}, \q\quad \mathbf{x}(0)=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix} $$ başlangıç değer problemini çözün. ### Soru 2 $$ A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix} $$ matrisinin özdeğer ve özvektörlerini bulun; homojen sistemin genel çözümünü yazın. ### Soru 3 $$ A=\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\end{bmatrix} $$ için karakteristik denklemi kurun, her özdeğere karşılık bir özvektör bulun ve genel çözümü yazın. ### Soru 4 $\lambda=-2$ ve $\mathbf{v}=[1,-3]^T$ için $\mathbf{x}=e^{-2t}\mathbf{v}$ çözümünün $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ denklemini sağlaması adına $A\mathbf{v}$'nin ne olması gerektiğini yazın. ### Soru 5 Özvektörleri $[1,1]^T$ ve $[1,-1]^T$ olan bir sistemde $\mathbf{x}(0)=[6,2]^T$ başlangıç durumunu bu iki doğrultuya ayırın. ### Soru 6 Özdeğerleri $-1$ ve $4$ olan bir sistemin genel çözümünün uzun zamandaki davranışını başlangıç sabitlerine bağlı olarak açıklayın. ### Soru 7 Bir öğrenci $\det(\lambda I-A)=0$ kullanırken özvektörü $(\lambda I-A)\mathbf{v}=\mathbf{v}$ denkleminden arıyor. Hatalı adımı belirleyip doğru homojen sistemi yazın. ### Soru 8 $$ \mathbf{x}_1=e^t\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \q\quad \mathbf{x}_2=e^{-2t}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} $$ çözümlerinden oluşan temel matrisi yazın ve determinantının sıfır olmadığını gösterin. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü $\det(A-\lambda I)$ kurulumu, her özdeğer için özvektör, > vektörlerin sütun biçimi, başlangıç durumunun özvektörlere ayrılması ve > üstel işaretlerinden davranış okuma açısından incele. Hata varsa doğru > özdeğeri vermeden ilk yanlış determinant ya da vektör adımını belirt.