Euler Yöntemi: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği
Euler Yöntemi: Alıştırmalar
Euler yöntemi, çözüm eğrisini bulunduğu noktadaki teğetle kısa bir adım izler:
\[ t_{n+1}=t_n+h,\q\quad y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n). \]
Her adımda \((t_n,y_n)\) noktasını ve eğimi önce kendiniz yazın. Yapay zekâdan yalnız ilk yanlış eğim değerlendirmesini veya aritmetik adımı göstermesini; sonraki iterasyonları tamamlamamasını isteyin.
Tanıma ve Karar
Örnek 1: Döngünün Sırası
Önce \(f(t_n,y_n)\) hesaplanır, sonra \(y_{n+1}\) bulunur, en son yeni noktaya geçilir. Yeni eğim eski noktadaki adımı düzeltmek için kullanılmaz.
Örnek 2: Adım Sayısı
\(t_0=0\), hedef \(t=1\) ve \(h=0.25\) ise dört adım gerekir. Adım sayısı \((1-0)/0.25=4\)’tür.
Örnek 3: Adımı Küçültme
Euler yönteminin toplam hatası genel olarak \(h\) ile orantılıdır. \(h\) yarıya indiğinde hata da yeterince düzgün problemlerde yaklaşık yarıya iner.
Örnek 4: Yaklaşık Sonuç
Euler tablosundaki değerler tam çözüm değildir. Güvenilirlik için aynı hedef noktaya daha küçük bir \(h\) ile gidilip sonuçların değişimi karşılaştırılır.
Mekanizmayı Kurma
Örnek 5: İlk Adımı Yazma
\[ y'=t+y,\q\quad y(0)=1,\q\quad h=0.5 \]
\(f(0,1)=1\) olduğundan
\[ t_1=0.5,\q\quad y_1=1+0.5(1)=1.5. \]
Örnek 6: Simgesel Euler Adımı
\[ y'=y(1-y) \]
için bir sonraki değer
\[ y_{n+1}=y_n+h,y_n(1-y_n) \]
olur. Bu soru iterasyon yapmayı değil, formülü doğru kurmayı ölçer.
Temel Tam Çözümler
Örnek 7: İki Adım
\[ y'=y,\q\quad y(0)=1,\q\quad h=0.5 \]
Birinci adım:
\[ f(0,1)=1,\q\quad y_1=1+0.5(1)=1.5. \]
İkinci adım:
\[ f(0.5,1.5)=1.5,\q\quad y_2=1.5+0.5(1.5)=2.25. \]
Dolayısıyla
\[ \boxed{y(1)\approx2.25}. \]
Tam değer \(e\approx2.718\) olduğundan Euler yaklaşımı bu dışbükey çözümün altında kalır.
Örnek 8: Eğimin Hem \(t\)’ye Hem \(y\)’ye Bağlı Olması
\[ y'=t+y,\q\quad y(0)=1,\q\quad h=0.5 \]
İlk adım Örnek 5’ten \((t_1,y_1)=(0.5,1.5)\)’tir. İkinci eğim
\[ f(0.5,1.5)=0.5+1.5=2 \]
ve
\[ y_2=1.5+0.5(2)=2.5. \]
Sonuç
\[ \boxed{y(1)\approx2.5}. \]
Her adımda hem zamanın hem yaklaşık çözümün güncellenmesi gerekir.
Hata Avı
Örnek 9: İlk Hata Nerede?
Bir öğrenci Örnek 8’in ikinci adımında \(f(1,1.5)\) hesaplıyor. İlk hata, eğimi henüz ulaşılmamış \(t_2=1\) noktasında değerlendirmektir. Açık Euler yöntemi eğimi mevcut \((t_1,y_1)=(0.5,1.5)\) noktasında alır.
Karşılaştırma
Örnek 10: \(h=0.5\) ve \(h=0.25\)
\(y'=y\), \(y(0)=1\) için \(h=0.5\) ile \(y(1)\approx2.25\) bulunmuştu. \(h=0.25\) için her adım \(1.25\) ile çarpar ve
\[ y(1)\approx1.25^4=2.44140625. \]
İkinci değer \(e\)’ye daha yakındır. Karşılaştırma, çok sayıda yeni iterasyon yerine adım büyüklüğünün etkisini görünür kılar.
Hafif Karma Örnek
Örnek 11: Sayısal Kararlılık Kararı
\[ y'=-2y \]
için Euler adımı \(y_{n+1}=(1-2h)y_n\) olur. \(h=0.75\) için çarpan \(-0.5\) ve yaklaşım işaret değiştirerek söner. \(h=1.25\) için çarpan \(-1.5\) ve yaklaşım büyür; gerçek çözüm \(e^{-2t}\) söndüğü hâlde sayısal yöntem yanlış davranış üretir.
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\[ y'=t-y,\q\quad y(0)=1 \]
problemi için \(h=0.2\) alarak ilk üç Euler adımını tablo hâlinde hesaplayın.
Soru 2
\(y'=y\), \(y(0)=1\) problemi için \(h=0.25\) ile \(y(1)\) yaklaşımını bulun ve \(e\) ile karşılaştırın.
Soru 3
\(y'=-y\), \(y(0)=2\) problemi için \(t=1\) noktasına kadar hem \(h=0.5\) hem \(h=0.25\) kullanın. İki yaklaşımın mutlak hatalarını karşılaştırın.
Soru 4
\(y'=2t\), \(y(0)=1\) problemi için \(h=0.5\) ile \(y(1)\) yaklaşımını bulun. Tam çözümü kullanarak son noktadaki hatayı hesaplayın.
Soru 5
\(y'=y(1-y)\) denklemi için Euler yineleme bağıntısını simgesel olarak yazın. \(y_0=0.2\) ve \(h=0.5\) ile iki adım yürütün.
Soru 6
Bir öğrenci \(y_{n+1}=y_n+h f(t_{n+1},y_n)\) kullanıyor. Bu güncellemenin açık Euler formülünden ayrıldığı noktayı açıklayın ve doğru formülü yazın.
Soru 7
\(t_0=1.2\), hedef \(t=2.0\) ve \(h=0.1\) olduğunda kaç Euler adımı gerekir? Başlangıç ve bitiş indislerini gösterin.
Soru 8
\(y'=-5y\) denklemi için Euler çarpanını bulun. Yaklaşımın büyüklük olarak sönmesi için \(h>0\) üzerinde gereken aralığı belirleyin.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Euler tablomda adım sayısını, eğimin \((t_n,y_n)\) noktasında alınmasını, \(t\) ve \(y\) değerlerinin birlikte güncellenmesini, adım küçülünce sonucun değişimini ve kararlılık çarpanını incele. Hata varsa sonraki adımları yapmadan ilk yanlış noktayı belirt.