İntegrasyon Çarpanı ile Tamlaştırma: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği
İntegrasyon Çarpanı ile Tamlaştırma: Alıştırmalar
Tam olmayan her denklem için kolay bir integrasyon çarpanı bulunmaz. Ancak
\[ \frac{M_y-N_x}{N} \]
yalnız \(x\)’in fonksiyonuysa \(\mu(x)\);
\[ \frac{N_x-M_y}{M} \]
yalnız \(y\)’nin fonksiyonuysa \(\mu(y)\) aranabilir. Çarpımdan sonra tamlık testi yeniden yapılmalıdır.
Yalnız x’e veya yalnız y’ye bağlı integrasyon çarpanı bulunan altı denklem üret. Önce iki oranı benim hesaplamamı bekle. Uygun çarpanı bulduktan sonra yeni M ve N ile tamlık testini tekrar yapmamı iste.
\(\mu(x)\) Testi
Örnek 1
\[ 2y\,dx+(x-y)\,dy=0. \]
\(M=2y\), \(N=x-y\):
\[ M_y=2,\qquad N_x=1. \]
\[ \frac{M_y-N_x}{N}=\frac{1}{x-y} \]
yalnız \(x\)’e bağlı değildir. Dolayısıyla bu test \(\mu(x)\) vermez.
\(\mu(y)\) Testi
Örnek 2
Aynı denklemde
\[ \frac{N_x-M_y}{M}=\frac{1-2}{2y}=-\frac1{2y} \]
yalnız \(y\)’ye bağlıdır:
\[ \mu(y)=e^{\int-1/(2y)\,dy}=|y|^{-1/2}. \]
Sabit işaretli bir bölgede, örneğin \(y>0\) için \(\mu(y)=y^{-1/2}\) seçilebilir. Çarpımdan sonra
\[ 2\sqrt y\,dx+\left(\frac{x}{\sqrt y}-\sqrt y\right)\,dy=0. \]
Yeni denklem tamdır. Potansiyel:
\[ F=\int2\sqrt y\,dx=2x\sqrt y+g(y). \]
\[ F_y=\frac{x}{\sqrt y}+g'(y) =\frac{x}{\sqrt y}-\sqrt y \]
eşitliğinden \(g(y)=-\tfrac23y^{3/2}\):
\[ \boxed{2x\sqrt y-\frac23y^{3/2}=C},\qquad y>0. \]
Tamlaştırma ve Çözüm
Örnek 3: Yeni Katsayıları Yazma
Çarpımdan sonra
\[ \widetilde M=\mu M,\qquad \widetilde N=\mu N \]
olarak adlandırmak işlemi düzenler. Potansiyel fonksiyon yalnız \(\widetilde M\,dx+\widetilde N\,dy=0\) denklemi için kurulur.
Hata Avı
Örnek 4: Oran Değişken Taşıyor
Test oranında hem \(x\) hem \(y\) kalıyorsa yöntem başarısızdır; oranı zorla yalnız bir değişkenin fonksiyonuymuş gibi integralleyemeyiz.
Örnek 5: Eski Denklemle Devam Etmek
İntegrasyon çarpanı bulunduktan sonra potansiyel, eski \(M\) ve \(N\) ile değil, çarpılmış katsayılarla hesaplanır.
Örnek 6: Bölge Koşulunu Atlamak
\(\mu(y)=y^{-1/2}\) gibi bir çarpan \(y=0\)’da tanımsızdır ve gerçek değerli yorumda \(y>0\) gibi bir bölge seçimi gerektirir.
Adım Adım İşlem Pratiği
Örnek 7
\[ (2xy+y)\,dx+x^2\,dy=0 \]
için \(M_y=2x+1\), \(N_x=2x\) ve
\[ \frac{M_y-N_x}{N}=\frac1{x^2}. \]
Bu yalnız \(x\)’e bağlıdır:
\[ \mu(x)=e^{\int x^{-2}\,dx}=e^{-1/x},\qquad x\neq0. \]
Çarpımdan sonra
\[ \widetilde M=y(2x+1)e^{-1/x}, \qquad \widetilde N=x^2e^{-1/x}. \]
Potansiyeli \(\widetilde N\) üzerinden kurmak kısadır:
\[ F=\int\widetilde N\,dy=x^2e^{-1/x}y+h(x). \]
\(F_x=\widetilde M\) karşılaştırması \(h'(x)=0\) verir:
\[ \boxed{x^2e^{-1/x}y=C}. \]
Çözüm \(x=0\)’ı geçmeyen bağlı aralıklarda ele alınır.
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\((xy+y)\,dx+x\,dy=0\) denklemi için \(\mu(x)\) veya \(\mu(y)\) testlerini uygulayın.
Soru 2
\((3xy+y^2)\,dx+x^2\,dy=0\) denkleminin tam olmadığını gösterip uygun tek değişkenli çarpan olup olmadığını inceleyin.
Soru 3
\((y+2xy)\,dx+x\,dy=0\) denklemi için test oranlarını hesaplayın.
Soru 4
Bir \(\mu(x)\) bulunduğunda \((\mu M)_y=(\mu N)_x\) eşitliğini cebirsel olarak doğrulayın.
Soru 5
Bir \(\mu(y)\) örneğinde çarpanın tanımsız olduğu doğruları belirleyin.
Soru 6
Her iki test oranının da iki değişkene bağlı kaldığı bir denklem örneği verin. Bu sonucun ne söylediğini açıklayın.
Soru 7
İntegrasyon çarpanının sıfırdan farklı sabit katlarının neden eşdeğer olduğunu gösterin.
Soru 8
Tamlaştırdığınız bir denklemi potansiyel fonksiyonla çözün ve toplam diferansiyelle doğrulayın.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümümü oran formüllerinin işareti, oranın gerçekten tek değişkene bağlı olması, integrasyon çarpanı, çarpımdan sonra tamlık testi, bölge koşulu ve yeni katsayılarla potansiyel kurma açısından incele. Hata varsa doğru çarpanı vermeden yanlış oranı belirt.