Doğrudan İntegralle Çözüm: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği

Türevi yalnız bağımsız değişkene bağlı denklemleri integralleyerek çözme ve başlangıç koşulunu uygulama pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

26 Temmuz 2026

Doğrudan İntegralle Çözüm: Alıştırmalar

$y'=f(x)$ biçimindeki denklemlerde bilinmeyen fonksiyon sağ tarafta yer almaz. Çözüm, $f$ fonksiyonunun bir ilkeli fonksiyonunu bulup integrasyon sabitini eklemektir. Daha yüksek türevli doğrudan integral denklemlerinde her integrasyon yeni bir sabit üretir.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Bana polinom, üstel ve trigonometrik sağ taraflardan oluşan altı doğrudan integral sorusu üret. İkisi ikinci mertebeden ve iki başlangıç koşullu olsun. Çözümleri gösterme; her integrasyonda kaç sabit çıkması gerektiğini bana sor.

Birinci Mertebeden Denklemler

Örnek 1: Polinom Sağ Taraf

\[ y'=3x^2-4x+1. \]

Terim terim integral alınır:

\[ y=x^3-2x^2+x+C. \]

Türev alarak kontrol edince başlangıçtaki sağ taraf geri gelir.

Örnek 2: Başlangıç Koşulu

\[ y'=e^x+\cos x,\qquad y(0)=3. \]

\[ y=e^x+\sin x+C. \]

$3=1+0+C$ olduğundan $C=2$:

\[ \boxed{y=e^x+\sin x+2}. \]

Daha Yüksek Türevler

Örnek 3: İki Kez İntegrasyon

\[ y''=6x,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=-2. \]

İlk integrasyon:

\[ y'=3x^2+C_1. \]

$y'(0)=-2$ koşulu $C_1=-2$ verir. İkinci integrasyon:

\[ y=x^3-2x+C_2. \]

$y(0)=1$ koşulundan $C_2=1$ bulunur.

Örnek 4: Sabit Sayısını Kontrol Etme

$y'''=\sin x$ denklemi üç kez integral gerektirir; genel çözümde üç bağımsız sabit bulunmalıdır:

\[ y=\cos x+\frac{C_1}{2}x^2+C_2x+C_3. \]

Hata Avı

Örnek 5: İntegrasyon Sabitini Unutmak

$y'=2x$ için yalnız $y=x^2$ yazmak çözüm ailesinin tek bir üyesini verir. Doğru genel çözüm $y=x^2+C$’dir.

Örnek 6: Her Terime Ayrı Sabit Eklemek

\[ \int(x+\sin x)\,dx=\frac{x^2}{2}-\cos x+C \]

biçimindedir. Her terime ayrı sabit eklemek gerekli değildir; sabitlerin toplamı yine tek bir sabittir.

Adım Adım İşlem Pratiği

Örnek 7

\[ y'=\frac1x,\quad x>0 \quad\Rightarrow\quad y=\ln x+C. \]

Örnek 8

\[ y''=4,\quad y'(0)=1,\quad y(0)=0 \]

için $y'=4x+1$ ve $y=2x^2+x$ bulunur.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

$y'=4x^3-2x$ denkleminin genel çözümünü bulun.

Soru 2

$y'=\sec^2x,\ y(0)=4$ problemini uygun bir aralıkta çözün.

Soru 3

$y'=e^{-2x},\ y(0)=1$ problemini çözün.

Soru 4

$y''=12x^2,\ y(0)=2,\ y'(0)=-1$ problemini çözün.

Soru 5

$y''=\cos x,\ y(\pi)=0,\ y'(\pi)=3$ problemini çözün.

Soru 6

$y'''=0$ denkleminin genel çözümünü bulun ve sabit sayısını mertebeyle karşılaştırın.

Soru 7

$Q'(t)=5-2t,\ Q(1)=10$ problemini çözün ve $Q$’nun en büyük olduğu zamanı bulun.

Soru 8

$y'=1/(1+x^2)$ denklemini çözün; çözüm ailesinin bütün gerçek sayılarda tanımlı olup olmadığını belirtin.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü integral hesabı, sabit sayısı, başlangıç koşullarının doğru türev düzeyine uygulanması ve türevle geri doğrulama açısından incele. Hata varsa doğru sonucu vermeden ilk yanlış integrasyon veya sabit adımını göster.

--- title: "Doğrudan İntegralle Çözüm: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-07-26 description: "Türevi yalnız bağımsız değişkene bağlı denklemleri integralleyerek çözme ve başlangıç koşulunu uygulama pratiği." execute: echo: false --- # Doğrudan İntegralle Çözüm: Alıştırmalar $y'=f(x)$ biçimindeki denklemlerde bilinmeyen fonksiyon sağ tarafta yer almaz. Çözüm, $f$ fonksiyonunun bir ilkeli fonksiyonunu bulup integrasyon sabitini eklemektir. Daha yüksek türevli doğrudan integral denklemlerinde her integrasyon yeni bir sabit üretir. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Bana polinom, üstel ve trigonometrik sağ taraflardan oluşan altı doğrudan > integral sorusu üret. İkisi ikinci mertebeden ve iki başlangıç koşullu olsun. > Çözümleri gösterme; her integrasyonda kaç sabit çıkması gerektiğini bana sor. ::: ## Birinci Mertebeden Denklemler ### Örnek 1: Polinom Sağ Taraf $$ y'=3x^2-4x+1. $$ Terim terim integral alınır: $$ y=x^3-2x^2+x+C. $$ Türev alarak kontrol edince başlangıçtaki sağ taraf geri gelir. ### Örnek 2: Başlangıç Koşulu $$ y'=e^x+\cos x,\qquad y(0)=3. $$ $$ y=e^x+\sin x+C. $$ $3=1+0+C$ olduğundan $C=2$: $$ \boxed{y=e^x+\sin x+2}. $$ ## Daha Yüksek Türevler ### Örnek 3: İki Kez İntegrasyon $$ y''=6x,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=-2. $$ İlk integrasyon: $$ y'=3x^2+C_1. $$ $y'(0)=-2$ koşulu $C_1=-2$ verir. İkinci integrasyon: $$ y=x^3-2x+C_2. $$ $y(0)=1$ koşulundan $C_2=1$ bulunur. ### Örnek 4: Sabit Sayısını Kontrol Etme $y'''=\sin x$ denklemi üç kez integral gerektirir; genel çözümde üç bağımsız sabit bulunmalıdır: $$ y=\cos x+\frac{C_1}{2}x^2+C_2x+C_3. $$ ## Hata Avı ### Örnek 5: İntegrasyon Sabitini Unutmak $y'=2x$ için yalnız $y=x^2$ yazmak çözüm ailesinin tek bir üyesini verir. Doğru genel çözüm $y=x^2+C$'dir. ### Örnek 6: Her Terime Ayrı Sabit Eklemek $$ \int(x+\sin x)\,dx=\frac{x^2}{2}-\cos x+C $$ biçimindedir. Her terime ayrı sabit eklemek gerekli değildir; sabitlerin toplamı yine tek bir sabittir. ## Adım Adım İşlem Pratiği ### Örnek 7 $$ y'=\frac1x,\quad x>0 \quad\Rightarrow\quad y=\ln x+C. $$ ### Örnek 8 $$ y''=4,\quad y'(0)=1,\quad y(0)=0 $$ için $y'=4x+1$ ve $y=2x^2+x$ bulunur. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 $y'=4x^3-2x$ denkleminin genel çözümünü bulun. ### Soru 2 $y'=\sec^2x,\ y(0)=4$ problemini uygun bir aralıkta çözün. ### Soru 3 $y'=e^{-2x},\ y(0)=1$ problemini çözün. ### Soru 4 $y''=12x^2,\ y(0)=2,\ y'(0)=-1$ problemini çözün. ### Soru 5 $y''=\cos x,\ y(\pi)=0,\ y'(\pi)=3$ problemini çözün. ### Soru 6 $y'''=0$ denkleminin genel çözümünü bulun ve sabit sayısını mertebeyle karşılaştırın. ### Soru 7 $Q'(t)=5-2t,\ Q(1)=10$ problemini çözün ve $Q$'nun en büyük olduğu zamanı bulun. ### Soru 8 $y'=1/(1+x^2)$ denklemini çözün; çözüm ailesinin bütün gerçek sayılarda tanımlı olup olmadığını belirtin. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü integral hesabı, sabit sayısı, başlangıç koşullarının doğru türev > düzeyine uygulanması ve türevle geri doğrulama açısından incele. Hata varsa > doğru sonucu vermeden ilk yanlış integrasyon veya sabit adımını göster.