Birim Basamak ve Parçalı Girdiler: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği

Tek anahtarlama zamanlı parçalı fonksiyonları birim basamakla yazma, ikinci öteleme kuralını kurma ve gecikmeli cevapları yorumlama pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

24 Ağustos 2026

Birim Basamak ve Parçalı Girdiler: Alıştırmalar

Birim basamak $u(t-a)$, bir girdinin $t=a$ anında devreye girmesini kodlar. İkinci öteleme kuralında gecikme hem basamakta hem fonksiyonun argümanında görünmelidir.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Parçalı fonksiyonu önce kendiniz basamak biçiminde yazın. Yapay zekâdan yalnız anahtarlama öncesi ve sonrası değerleri yerine koyarak gösteriminizi sınamasını; doğru formülü doğrudan vermemesini isteyin.

Tanıma ve Karar

Örnek 1: Açılan Anahtar

\[ f(t)= \begin{cases} 0,&t<2,\\ 1,&t\ge2 \end{cases} \]

fonksiyonu $u(t-2)$’dir. Dönüşümü $e^{-2s}/s$ olur.

Örnek 2: Gecikmeli Rampa

\[ u(t-3)(t-3) \]

$t=3$’e kadar sıfır, sonra sıfırdan başlayan eğimi $1$ olan rampadır. Dönüşümü $e^{-3s}/s^2$’dir.

Örnek 3: Kaydırılmamış Çarpan

$u(t-2)t$ ile $u(t-2)(t-2)$ aynı fonksiyon değildir. Birincisi $t=2$’de $2$ değerine sıçrar; ikincisi sıfırdan başlar.

Örnek 4: Üstel Çarpanı Okuma

$Y(s)=e^{-4s}F(s)$ biçimi, özgün tarafta $t=4$ gecikmesini gösterir. Ters dönüşüm $u(t-4)f(t-4)$’tür.

Mekanizmayı Kurma

Örnek 5: Parçalı Fonksiyonu Yazma

\[ f(t)= \begin{cases} t,&0\le t<2,\\ 4-t,&t\ge2 \end{cases} \]

İlk parçayla başlayıp farkı açalım:

\[ f(t)=t+(4-2t)u(t-2). \]

$t<2$ için basamak sıfırdır; $t\ge2$ için toplam $4-t$ olur.

Örnek 6: Kuralın İstediği Biçim

$u(t-2)t^2$ ifadesinde $t=(t-2)+2$ yazılır:

\[ u(t-2)\bigl[(t-2)^2+4(t-2)+4\bigr]. \]

Bu nedenle dönüşüm

\[ e^{-2s}\left(\frac2{s^3}+\frac4{s^2}+\frac4s\right) \]

olur.

Temel Tam Çözümler

Örnek 7: Parçalı Girdinin Dönüşümü

\[ f(t)= \begin{cases} 0,&t<2,\\ t-2,&t\ge2 \end{cases} \]

Fonksiyon doğrudan

\[ f(t)=u(t-2)(t-2) \]

biçimindedir. $\mathcal L\{t\}=1/s^2$ olduğundan ikinci öteleme kuralı

\[ \boxed{F(s)=\frac{e^{-2s}}{s^2}} \]

verir. Anahtarlama anında rampa sıfırdan başladığı için gösterim süreklidir.

Örnek 8: Sıçrayan Girdili Başlangıç Değeri

\[ y'+y=u(t-2),\q\quad y(0)=0 \]

Dönüşüm alalım:

\[ (s+1)Y=\frac{e^{-2s}}s,\q\quad Y=e^{-2s}\frac1{s(s+1)}. \]

Rasyonel kısmın ters dönüşümü $1-e^{-t}$’dir. Gecikmeyi uygulayınca

\[ \boxed{y(t)=u(t-2)\bigl(1-e^{-(t-2)}\bigr)}. \]

$t<2$ için çıktı sıfırdır; $t=2$’den sonra $1$ dengesine yaklaşır.

Hata Avı

Örnek 9: İlk Hata Nerede?

Bir öğrenci

\[ \mathcal L^{-1}\left\{\frac{e^{-3s}}{s^2}\right\}=u(t-3)t \]

yazıyor. İlk hata, $f(t)$ içindeki zamanı kaydırmamaktır. Doğru gecikmeli fonksiyon $u(t-3)(t-3)$ olmalıdır.

Karşılaştırma

Örnek 10: Açılma ve Kapanma

$u(t-1)$ girdiyi $t=1$’de açıp açık tutar. $u(t-1)-u(t-4)$ ise girdiyi $t=1$’de açar, $t=4$’te kapatır. İkinci gösterimde iki anahtarlama zamanı ve dönüşümde iki üstel çarpan bulunur.

Hafif Karma Örnek

Örnek 11: Sonlu Süreli Sabit Girdi

\[ g(t)= \begin{cases} 0,&t<1,\\ 2,&1\le t<3,\\ 0,&t\ge3 \end{cases} \]

İki basamak yeterlidir:

\[ g(t)=2u(t-1)-2u(t-3). \]

Lineerlikle

\[ \boxed{G(s)=\frac{2e^{-s}-2e^{-3s}}s}. \]

Her üstel çarpan kendi anahtarlama zamanını taşır.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

Aşağıdaki fonksiyonu birim basamaklarla yazın ve Laplace dönüşümünü bulun:

\[ f(t)= \begin{cases} 0,&t<2,\\ 3,&2\le t<5,\\ 0,&t\ge5. \end{cases} \]

Soru 2

$u(t-3)(t-3)^2$ fonksiyonunu parçalı biçimde yazın ve Laplace dönüşümünü bulun.

Soru 3

\[ f(t)= \begin{cases} t,&0\le t<1,\\ 2t-1,&t\ge1 \end{cases} \]

fonksiyonunu birim basamak kullanarak tek satırda gösterin.

Soru 4

$\mathcal L\{u(t-4)\sin(t-4)\}$ dönüşümünü bulun. Gecikmenin hem özgün fonksiyonda hem dönüşümde nerede göründüğünü belirtin.

Soru 5

Bir öğrenci $\mathcal L\{u(t-2)t^2\}=e^{-2s}(2/s^3)$ yazıyor. İlk hatayı belirleyin ve dönüşümü doğru öteleme biçimine getirerek hesaplayın.

Soru 6

\[ y'+y=u(t-2),\q\quad y(0)=0 \]

başlangıç değer problemini Laplace dönüşümüyle çözün.

Soru 7

\[ F(s)=\frac{e^{-3s}}{s(s+1)} \]

ifadesinin ters Laplace dönüşümünü birim basamaklı biçimde bulun; ardından parçalı gösterimini yazın.

Soru 8

$2u(t-1)-5u(t-3)+3u(t-6)$ fonksiyonunun her anahtarlama aralığındaki değerini bulun ve grafiğinin temel biçimini çizerek doğrulayın.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Gösterimimi anahtarlama öncesi ve sonrası değerler, basamakla çarpılan fark, $f(t-a)$ kaydırması ve dönüşümdeki $e^{-as}$ çarpanı açısından incele. Hata varsa doğru formülü vermeden ilk yanlış zaman kaymasını belirt.

--- title: "Birim Basamak ve Parçalı Girdiler: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-24 description: "Tek anahtarlama zamanlı parçalı fonksiyonları birim basamakla yazma, ikinci öteleme kuralını kurma ve gecikmeli cevapları yorumlama pratiği." execute: echo: false --- # Birim Basamak ve Parçalı Girdiler: Alıştırmalar Birim basamak $u(t-a)$, bir girdinin $t=a$ anında devreye girmesini kodlar. İkinci öteleme kuralında gecikme hem basamakta hem fonksiyonun argümanında görünmelidir. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Parçalı fonksiyonu önce kendiniz basamak biçiminde yazın. Yapay zekâdan > yalnız anahtarlama öncesi ve sonrası değerleri yerine koyarak gösteriminizi > sınamasını; doğru formülü doğrudan vermemesini isteyin. ::: ## Tanıma ve Karar ### Örnek 1: Açılan Anahtar $$ f(t)= \begin{cases} 0,&t<2,\\ 1,&t\ge2 \end{cases} $$ fonksiyonu $u(t-2)$'dir. Dönüşümü $e^{-2s}/s$ olur. ### Örnek 2: Gecikmeli Rampa $$ u(t-3)(t-3) $$ $t=3$'e kadar sıfır, sonra sıfırdan başlayan eğimi $1$ olan rampadır. Dönüşümü $e^{-3s}/s^2$'dir. ### Örnek 3: Kaydırılmamış Çarpan $u(t-2)t$ ile $u(t-2)(t-2)$ aynı fonksiyon değildir. Birincisi $t=2$'de $2$ değerine sıçrar; ikincisi sıfırdan başlar. ### Örnek 4: Üstel Çarpanı Okuma $Y(s)=e^{-4s}F(s)$ biçimi, özgün tarafta $t=4$ gecikmesini gösterir. Ters dönüşüm $u(t-4)f(t-4)$'tür. ## Mekanizmayı Kurma ### Örnek 5: Parçalı Fonksiyonu Yazma $$ f(t)= \begin{cases} t,&0\le t<2,\\ 4-t,&t\ge2 \end{cases} $$ İlk parçayla başlayıp farkı açalım: $$ f(t)=t+(4-2t)u(t-2). $$ $t<2$ için basamak sıfırdır; $t\ge2$ için toplam $4-t$ olur. ### Örnek 6: Kuralın İstediği Biçim $u(t-2)t^2$ ifadesinde $t=(t-2)+2$ yazılır: $$ u(t-2)\bigl[(t-2)^2+4(t-2)+4\bigr]. $$ Bu nedenle dönüşüm $$ e^{-2s}\left(\frac2{s^3}+\frac4{s^2}+\frac4s\right) $$ olur. ## Temel Tam Çözümler ### Örnek 7: Parçalı Girdinin Dönüşümü $$ f(t)= \begin{cases} 0,&t<2,\\ t-2,&t\ge2 \end{cases} $$ Fonksiyon doğrudan $$ f(t)=u(t-2)(t-2) $$ biçimindedir. $\mathcal L\{t\}=1/s^2$ olduğundan ikinci öteleme kuralı $$ \boxed{F(s)=\frac{e^{-2s}}{s^2}} $$ verir. Anahtarlama anında rampa sıfırdan başladığı için gösterim süreklidir. ### Örnek 8: Sıçrayan Girdili Başlangıç Değeri $$ y'+y=u(t-2),\q\quad y(0)=0 $$ Dönüşüm alalım: $$ (s+1)Y=\frac{e^{-2s}}s,\q\quad Y=e^{-2s}\frac1{s(s+1)}. $$ Rasyonel kısmın ters dönüşümü $1-e^{-t}$'dir. Gecikmeyi uygulayınca $$ \boxed{y(t)=u(t-2)\bigl(1-e^{-(t-2)}\bigr)}. $$ $t<2$ için çıktı sıfırdır; $t=2$'den sonra $1$ dengesine yaklaşır. ## Hata Avı ### Örnek 9: İlk Hata Nerede? Bir öğrenci $$ \mathcal L^{-1}\left\{\frac{e^{-3s}}{s^2}\right\}=u(t-3)t $$ yazıyor. İlk hata, $f(t)$ içindeki zamanı kaydırmamaktır. Doğru gecikmeli fonksiyon $u(t-3)(t-3)$ olmalıdır. ## Karşılaştırma ### Örnek 10: Açılma ve Kapanma $u(t-1)$ girdiyi $t=1$'de açıp açık tutar. $u(t-1)-u(t-4)$ ise girdiyi $t=1$'de açar, $t=4$'te kapatır. İkinci gösterimde iki anahtarlama zamanı ve dönüşümde iki üstel çarpan bulunur. ## Hafif Karma Örnek ### Örnek 11: Sonlu Süreli Sabit Girdi $$ g(t)= \begin{cases} 0,&t<1,\\ 2,&1\le t<3,\\ 0,&t\ge3 \end{cases} $$ İki basamak yeterlidir: $$ g(t)=2u(t-1)-2u(t-3). $$ Lineerlikle $$ \boxed{G(s)=\frac{2e^{-s}-2e^{-3s}}s}. $$ Her üstel çarpan kendi anahtarlama zamanını taşır. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 Aşağıdaki fonksiyonu birim basamaklarla yazın ve Laplace dönüşümünü bulun: $$ f(t)= \begin{cases} 0,&t<2,\\ 3,&2\le t<5,\\ 0,&t\ge5. \end{cases} $$ ### Soru 2 $u(t-3)(t-3)^2$ fonksiyonunu parçalı biçimde yazın ve Laplace dönüşümünü bulun. ### Soru 3 $$ f(t)= \begin{cases} t,&0\le t<1,\\ 2t-1,&t\ge1 \end{cases} $$ fonksiyonunu birim basamak kullanarak tek satırda gösterin. ### Soru 4 $\mathcal L\{u(t-4)\sin(t-4)\}$ dönüşümünü bulun. Gecikmenin hem özgün fonksiyonda hem dönüşümde nerede göründüğünü belirtin. ### Soru 5 Bir öğrenci $\mathcal L\{u(t-2)t^2\}=e^{-2s}(2/s^3)$ yazıyor. İlk hatayı belirleyin ve dönüşümü doğru öteleme biçimine getirerek hesaplayın. ### Soru 6 $$ y'+y=u(t-2),\q\quad y(0)=0 $$ başlangıç değer problemini Laplace dönüşümüyle çözün. ### Soru 7 $$ F(s)=\frac{e^{-3s}}{s(s+1)} $$ ifadesinin ters Laplace dönüşümünü birim basamaklı biçimde bulun; ardından parçalı gösterimini yazın. ### Soru 8 $2u(t-1)-5u(t-3)+3u(t-6)$ fonksiyonunun her anahtarlama aralığındaki değerini bulun ve grafiğinin temel biçimini çizerek doğrulayın. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Gösterimimi anahtarlama öncesi ve sonrası değerler, basamakla çarpılan fark, > $f(t-a)$ kaydırması ve dönüşümdeki $e^{-as}$ çarpanı açısından incele. Hata > varsa doğru formülü vermeden ilk yanlış zaman kaymasını belirt.