Tam Diferansiyel Denklemler: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği
Tam Diferansiyel Denklemler: Alıştırmalar
\[ M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 \]
denkleminde bir \(F(x,y)\) fonksiyonu için \(F_x=M\) ve \(F_y=N\) bulunabiliyorsa denklem tamdır. Uygun düzgünlük koşulları altında pratik test \(M_y=N_x\) eşitliğidir. Çözüm \(F(x,y)=C\) biçiminde yazılır.
Dördü tam, ikisi tam olmayan altı M dx + N dy = 0 denklemi üret. Önce M_y ve N_x hesabımı bekle. Tam denklemlerde F’yi hangi terimden başlatacağımı bana seçtir; eksik tek değişkenli fonksiyonu doğrudan verme.
Tamlık Testi
Örnek 1
\[ (2xy-3)\,dx+(x^2+4y)\,dy=0. \]
\[ M_y=2x,\qquad N_x=2x. \]
Eşitlik sağlandığı için denklem tamdır.
Örnek 2: Tam Olmayan Denklem
\[ xy\,dx+(x+y)\,dy=0 \]
için \(M_y=x\), \(N_x=1\) olur. Genel olarak eşit olmadıklarından denklem tam değildir.
Potansiyel Fonksiyon
Örnek 3: \(M\)’yi İntegralleme
İlk örnekte
\[ F_x=2xy-3. \]
\(x\)’e göre integral:
\[ F=x^2y-3x+g(y). \]
\(y\)’ye göre türev alıp \(N\) ile karşılaştırılır:
\[ F_y=x^2+g'(y)=x^2+4y. \]
\(g'(y)=4y\), dolayısıyla \(g(y)=2y^2\). Çözüm
\[ \boxed{x^2y-3x+2y^2=C}. \]
Örnek 4: Örtük Çözümü Doğrulama
\(F(x,y)=C\) bağıntısının diferansiyeli
\[ F_x\,dx+F_y\,dy=0 \]
olur. Bulunan \(F_x\) ve \(F_y\) sırasıyla \(M\) ve \(N\) ise çözüm doğrulanır.
Ek Çözümlü Örnekler
Örnek A: Üstel ve Trigonometrik Terimler
\[ e^x\cos y\,dx+\bigl(-e^x\sin y+2y\bigr)\,dy=0. \]
Tamlık.
\[ M_y=-e^x\sin y,\qquad N_x=-e^x\sin y. \]
Potansiyel.
\[ F=\int e^x\cos y\,dx=e^x\cos y+g(y). \]
\[ F_y=-e^x\sin y+g'(y)=N \]
karşılaştırmasından \(g'(y)=2y\) ve \(g(y)=y^2\):
\[ \boxed{e^x\cos y+y^2=C}. \]
Toplam diferansiyel alınca başlangıç denklemi geri gelir.
Örnek B: Başlangıç Koşuluyla Sabit
\[ (3x^2+2y)\,dx+(2x+4y^3)\,dy=0,\qquad y(0)=1. \]
Tamlık testi geçer. Potansiyel
\[ F=x^3+2xy+y^4 \]
olur. Başlangıç koşulu \(C=1\) verdiğinden
\[ \boxed{x^3+2xy+y^4=1}. \]
Hata Avı
Örnek 5: Eksik Fonksiyonu Sabit Sanmak
\(M\)’yi \(x\)’e göre integrallerken integrasyon “sabiti” \(y\)’ye bağlı \(g(y)\) fonksiyonudur. Onu doğrudan sabit almak, \(N\) içindeki yalnız \(y\)’ye bağlı terimleri kaybettirir.
Örnek 6: Kısmi Türevde Yanlış Değişken
\(M_y\) alınırken \(x\) sabit, \(N_x\) alınırken \(y\) sabit tutulur.
Adım Adım İşlem Pratiği
Örnek 7
\[ (y^2+2x)\,dx+(2xy+3y^2)\,dy=0 \]
için \(M_y=2y\), \(N_x=2y\). Potansiyel
\[ F=xy^2+x^2+y^3 \]
ve çözüm \(F=C\)’dir.
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\((3x^2+2y)\,dx+(2x+4y^3)\,dy=0\) denkleminin tamlığını test edip çözün.
Soru 2
\((e^x\cos y)\,dx+(-e^x\sin y+2y)\,dy=0\) denklemini çözün.
Soru 3
\((y^2)\,dx+(2xy+1)\,dy=0\) denklemi için \(F(x,y)\)’yi bulun.
Soru 4
\((2x-y)\,dx+(3y-x)\,dy=0\) denkleminin tamlığını test edin.
Soru 5
\(F(x,y)=x^2y+\sin y\) verildiğinde karşılık gelen tam diferansiyel denklemi yazın.
Soru 6
Bir potansiyel fonksiyonu önce \(N\)’yi \(y\)’ye göre integralleyerek kurun.
Soru 7
Tamlık testinin geçerli olması için kısmi türevlerin tanımlı olduğu bölgenin neden dikkate alınması gerektiğini açıklayın.
Soru 8
Bulduğunuz bir örtük çözümü toplam diferansiyel alarak doğrulayın.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümümü M ve N seçimi, M_y=N_x testi, integrasyonda eksik tek değişkenli fonksiyon, karşılaştırma ve F=C doğrulaması açısından incele. Hata varsa doğru potansiyeli vermeden eksik veya fazla terimin hangi aşamada çıktığını belirt.