Denge Çözümleri ve Kararlılık: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği

Otonom denklemlerde denge çözümlerini, işaret çizelgesini ve kararlılığı belirleme pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

26 Temmuz 2026

Denge Çözümleri ve Kararlılık: Alıştırmalar

Otonom $y'=f(y)$ denkleminde $f(y_*)=0$ sağlayan sabit $y=y_*$ bir denge çözümüdür. Denge noktalarının arasındaki aralıklarda $f(y)$’nin işareti, çözümlerin yukarı mı aşağı mı hareket ettiğini gösterir.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Çarpanlarına ayrılmış beş otonom denklem üret. Denge noktalarını ve işaret çizelgesini benim kurmamı bekle. Kararlılık kararım yanlışsa çözümü söyleme; yalnız hangi aralıktaki okun yönünü ters okuduğumu belirt.

Denge Noktalarını Bulma

Örnek 1: Lojistik Yapı

\[ y'=y(3-y) \]

için $f(y)=0$ denklemi $y=0$ ve $y=3$ dengelerini verir.

$y<0$: $f(y)<0$.
$0<y<3$: $f(y)>0$.
$y>3$: $f(y)<0$.

Oklar $y=3$’e iki taraftan yaklaştığı için $y=3$ kararlı; $y=0$’dan iki tarafta uzaklaştığı için $y=0$ kararsızdır.

İşaret Çizelgesi

Örnek 2: Üç Denge

\[ y'=y-y^3=y(1-y)(1+y). \]

Dengeler $-1$, $0$ ve $1$’dir. Test değerleriyle işaretler sırasıyla

\[ (+),\quad(-),\quad(+),\quad(-) \]

olur. Buna göre $y=-1$ ve $y=1$ kararlı, $y=0$ kararsızdır.

Örnek 3: Yarı Kararlı Denge

\[ y'=(y-1)^2. \]

$y=1$ tek dengedir. Her iki tarafta $f(y)>0$ olduğundan oklar yukarı yönlüdür: alttan dengeye yaklaşılır, üstten uzaklaşılır. Denge bir taraftan çekici, diğer taraftan iticidir; yarı kararlıdır.

Hata Avı

Örnek 4: Yalnız Kök Çokluğuna Bakmak

Tek katlı kökün daima kararlı olduğu söylenemez. Kararlılık, $f(y)$ işaretinin kökün iki yanında nasıl değiştiğine bağlıdır.

Örnek 5: $f'(y_*)=0$ Durumu

Türev testi $f'(y_*)<0$ için kararlı, $f'(y_*)>0$ için kararsız sonuç verir. $f'(y_*)=0$ olduğunda karar vermez; işaret çizelgesine dönmek gerekir.

Adım Adım İşlem Pratiği

Örnek 6

\[ y'=(y-1)(y-3) \]

için işaretler $+$, $-$, $+$ olur. $y=1$ kararlı, $y=3$ kararsızdır.

Örnek 7

\[ y'=-y(y-2) \]

için işaretler $-$, $+$, $-$ olur. $y=0$ kararsız, $y=2$ kararlıdır.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

$y'=y(4-y)$ denkleminin dengelerini ve kararlılıklarını bulun.

Soru 2

$y'=(y+2)(y-1)$ için faz çizgisini kurun.

Soru 3

$y'=-y(y-1)(y-3)$ denkleminin bütün dengelerini sınıflandırın.

Soru 4

$y'=(y+1)^2(y-2)$ denkleminde yarı kararlı bir denge olup olmadığını inceleyin.

Soru 5

$y'=1-y^2$ için $y(0)=0$, $y(0)=2$ ve $y(0)=-2$ çözümlerinin uzun dönem davranışlarını formül bulmadan açıklayın.

Soru 6

$y'=y^2$ denkleminde $y=0$ dengesinin iki taraftaki davranışını inceleyin.

Soru 7

$f'(y_*)$ testini $y'=y(3-y)$ denklemine uygulayıp işaret çizelgesiyle karşılaştırın.

Soru 8

Bir kararlı, bir kararsız ve bir yarı kararlı denge taşıyan çarpanlara ayrılmış bir $f(y)$ örneği kurun.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü denge kökleri, kökler arasındaki test değerleri, ok yönleri ve kararlılık kararı açısından incele. Türev testinin kararsız kaldığı durumlarda işaret çizelgesini kullanıp kullanmadığımı kontrol et.

--- title: "Denge Çözümleri ve Kararlılık: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-07-26 description: "Otonom denklemlerde denge çözümlerini, işaret çizelgesini ve kararlılığı belirleme pratiği." execute: echo: false --- # Denge Çözümleri ve Kararlılık: Alıştırmalar Otonom $y'=f(y)$ denkleminde $f(y_*)=0$ sağlayan sabit $y=y_*$ bir denge çözümüdür. Denge noktalarının arasındaki aralıklarda $f(y)$'nin işareti, çözümlerin yukarı mı aşağı mı hareket ettiğini gösterir. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Çarpanlarına ayrılmış beş otonom denklem üret. Denge noktalarını ve işaret > çizelgesini benim kurmamı bekle. Kararlılık kararım yanlışsa çözümü söyleme; > yalnız hangi aralıktaki okun yönünü ters okuduğumu belirt. ::: ## Denge Noktalarını Bulma ### Örnek 1: Lojistik Yapı $$ y'=y(3-y) $$ için $f(y)=0$ denklemi $y=0$ ve $y=3$ dengelerini verir. - $y<0$: $f(y)<0$. - $0<y<3$: $f(y)>0$. - $y>3$: $f(y)<0$. Oklar $y=3$'e iki taraftan yaklaştığı için $y=3$ kararlı; $y=0$'dan iki tarafta uzaklaştığı için $y=0$ kararsızdır. ## İşaret Çizelgesi ### Örnek 2: Üç Denge $$ y'=y-y^3=y(1-y)(1+y). $$ Dengeler $-1$, $0$ ve $1$'dir. Test değerleriyle işaretler sırasıyla $$ (+),\quad(-),\quad(+),\quad(-) $$ olur. Buna göre $y=-1$ ve $y=1$ kararlı, $y=0$ kararsızdır. ### Örnek 3: Yarı Kararlı Denge $$ y'=(y-1)^2. $$ $y=1$ tek dengedir. Her iki tarafta $f(y)>0$ olduğundan oklar yukarı yönlüdür: alttan dengeye yaklaşılır, üstten uzaklaşılır. Denge bir taraftan çekici, diğer taraftan iticidir; yarı kararlıdır. ## Hata Avı ### Örnek 4: Yalnız Kök Çokluğuna Bakmak Tek katlı kökün daima kararlı olduğu söylenemez. Kararlılık, $f(y)$ işaretinin kökün iki yanında nasıl değiştiğine bağlıdır. ### Örnek 5: $f'(y_*)=0$ Durumu Türev testi $f'(y_*)<0$ için kararlı, $f'(y_*)>0$ için kararsız sonuç verir. $f'(y_*)=0$ olduğunda karar vermez; işaret çizelgesine dönmek gerekir. ## Adım Adım İşlem Pratiği ### Örnek 6 $$ y'=(y-1)(y-3) $$ için işaretler $+$, $-$, $+$ olur. $y=1$ kararlı, $y=3$ kararsızdır. ### Örnek 7 $$ y'=-y(y-2) $$ için işaretler $-$, $+$, $-$ olur. $y=0$ kararsız, $y=2$ kararlıdır. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 $y'=y(4-y)$ denkleminin dengelerini ve kararlılıklarını bulun. ### Soru 2 $y'=(y+2)(y-1)$ için faz çizgisini kurun. ### Soru 3 $y'=-y(y-1)(y-3)$ denkleminin bütün dengelerini sınıflandırın. ### Soru 4 $y'=(y+1)^2(y-2)$ denkleminde yarı kararlı bir denge olup olmadığını inceleyin. ### Soru 5 $y'=1-y^2$ için $y(0)=0$, $y(0)=2$ ve $y(0)=-2$ çözümlerinin uzun dönem davranışlarını formül bulmadan açıklayın. ### Soru 6 $y'=y^2$ denkleminde $y=0$ dengesinin iki taraftaki davranışını inceleyin. ### Soru 7 $f'(y_*)$ testini $y'=y(3-y)$ denklemine uygulayıp işaret çizelgesiyle karşılaştırın. ### Soru 8 Bir kararlı, bir kararsız ve bir yarı kararlı denge taşıyan çarpanlara ayrılmış bir $f(y)$ örneği kurun. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü denge kökleri, kökler arasındaki test değerleri, ok yönleri ve > kararlılık kararı açısından incele. Türev testinin kararsız kaldığı > durumlarda işaret çizelgesini kullanıp kullanmadığımı kontrol et.

Denge Çözümleri ve Kararlılık: Alıştırmalar

Denge Noktalarını Bulma

Örnek 1: Lojistik Yapı

İşaret Çizelgesi

Örnek 2: Üç Denge

Örnek 3: Yarı Kararlı Denge

Hata Avı

Örnek 4: Yalnız Kök Çokluğuna Bakmak

Örnek 5: \(f'(y_*)=0\) Durumu

Adım Adım İşlem Pratiği

Örnek 6

Örnek 7

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

Soru 2

Soru 3

Soru 4

Soru 5

Soru 6

Soru 7

Soru 8

Çalışmanızı Kontrol Etme