Birinci Mertebeden Lineer Denklemler: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği
Birinci Mertebeden Lineer Denklemler: Alıştırmalar
Birinci mertebeden lineer denklem
\[ y'+p(x)y=q(x) \]
standart biçiminde okunur. İntegrasyon çarpanı
\[ \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx} \]
seçildiğinde sol taraf \((\mu y)'\) olur. Yöntemin güvenli işlemesi için önce \(y'\) katsayısı bire eşitlenmelidir.
Standart biçime getirme, integrasyon çarpanını bulma ve başlangıç koşulu uygulama basamaklarını ayrı ayrı çalıştıran altı soru üret. Her basamakta cevabımı bekle; yanlışsam sonraki basamağa geçme.
Standart Biçim
Örnek 1: Önce Bölme
\[ x^2y'+3xy=1,\qquad x\neq0. \]
\(x^2\) ile bölünür:
\[ y'+\frac3x y=\frac1{x^2}. \]
Dolayısıyla \(p(x)=3/x\), \(q(x)=1/x^2\) ve çalışma aralıkları \(x=0\)’ı geçemez.
İntegrasyon Çarpanı
Örnek 2: Sabit Katsayı
\[ y'+3y=e^{-2x}. \]
\[ \mu=e^{\int3\,dx}=e^{3x}. \]
Denklem \(e^{3x}\) ile çarpılınca
\[ (e^{3x}y)'=e^x. \]
İntegrasyon:
\[ e^{3x}y=e^x+C, \qquad y=e^{-2x}+Ce^{-3x}. \]
\(y(0)=1\) ise \(1=1+C\) ve \(C=0\) olur.
Örnek 3: \(\mu=x^{-1}\) Durumu
\[ xy'-y=x^2,\qquad x>0. \]
Standart biçim
\[ y'-\frac1x y=x \]
olur. İntegrasyon çarpanı
\[ \mu=e^{\int-1/x\,dx}=e^{-\ln x}=\frac1x. \]
Çarpınca
\[ \left(\frac yx\right)'=1, \]
\[ \frac yx=x+C,\qquad y=x^2+Cx. \]
Sol Tarafı Doğrulama
Örnek 4
\(\mu\) ile çarpımdan sonra
\[ \mu y'+\mu p y \]
ifadesi \((\mu y)'=\mu y'+\mu' y\) olmalıdır. Bu eşitlik \(\mu'=\mu p\) koşuluyla sağlanır; integrasyon çarpanı formülü buradan gelir.
Ek Çözümlü Örnekler
Örnek A: Değişken Katsayı ve Başlangıç Koşulu
\[ (1+x)y'+y=(1+x)^2,\qquad y(0)=1,\qquad x>-1. \]
Standart biçim.
\[ y'+\frac1{1+x}y=1+x. \]
İntegrasyon çarpanı ve tam türev.
\[ \mu=1+x,\qquad ((1+x)y)'=(1+x)^2. \]
İntegral ve koşul.
\[ (1+x)y=\frac{(1+x)^3}{3}+C, \qquad 1=\frac13+C. \]
\[ \boxed{y=\frac{(1+x)^2}{3}+\frac{2}{3(1+x)}}. \]
\(x=-1\) seçilen çözüm aralığının dışındadır.
Örnek B: Sol Taraf Zaten Tam Türev
\[ y'\cos x-y\sin x=1. \]
Sol taraf \((y\cos x)'\) olduğundan
\[ y\cos x=x+C, \qquad \boxed{y=(x+C)\sec x}. \]
Çözüm \(\cos x\)’in sıfır olmadığı tek bir bağlı aralıkta ele alınır.
Hata Avı
Örnek 5: \(y'\) Katsayısını Atlamak
\(2y'+4y=x\) denkleminde \(p=4\) değildir. Önce ikiye bölünür: \(y'+2y=x/2\); dolayısıyla \(p=2\)’dir.
Örnek 6: İntegrasyon Sabitini \(\mu\) İçine Katmak
\(e^{\int p\,dx}\) hesabında eklenen çarpımsal sabit gerekli değildir; sıfırdan farklı sabit bir integrasyon çarpanının katı yine aynı yöntemi verir.
Adım Adım İşlem Pratiği
Örnek 7
\[ y'+2xy=x \]
için \(\mu=e^{x^2}\):
\[ (e^{x^2}y)'=xe^{x^2}, \]
\[ e^{x^2}y=\frac12e^{x^2}+C, \qquad y=\frac12+Ce^{-x^2}. \]
\(y(0)=0\) ise \(C=-1/2\).
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\(3y'+6y=x\) denklemini standart biçime getirin; \(p\) ve \(q\)’yu belirleyin.
Soru 2
\(y'\cos x-y\sin x=1\) denklemini \(\cos x\neq0\) olan bir aralıkta standart biçime getirin.
Soru 3
\(y'+4y=e^x\) denklemini çözün.
Soru 4
\(y'+y=x,\ y(0)=2\) problemini çözün.
Soru 5
\(xy'+2y=x^3,\ x>0\) denklemini çözün.
Soru 6
\(y'-2xy=x\) denklemi için integrasyon çarpanını bulun ve çözümü kurun.
Soru 7
\((1+x)y'+y=e^x,\ x>-1\) denklemini çözün.
Soru 8
Bir öğrencinin \(2y'+y=0\) için \(\mu=e^x\) seçmesindeki hatayı bulun.
Soru 9
Bulduğunuz bir çözümü orijinal, standartlaştırılmamış denklemde doğrulayın.
Soru 10
Standart biçime geçerken bölülen ifadenin sıfır olduğu noktaların çözüm aralığına etkisini açıklayın.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümümü y’ katsayısını bire eşitleme, p ve q belirleme, integrasyon çarpanı, sol tarafın tam türev olması, integral, başlangıç koşulu ve çalışma aralığı açısından incele. Hata varsa sonraki adımı göstermeden ilk yanlış basamağı belirt.