Yüksek Mertebeli Sabit Katsayılı Denklemler: Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği

Yüksek mertebeli sabit katsayılı homojen denklemlerde karakteristik polinomu kurma, kök katlılıklarını sayma ve genel çözümü yazma pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

24 Ağustos 2026

Yüksek Mertebeli Sabit Katsayılı Denklemler: Alıştırmalar

Sabit katsayılı homojen denklemde $y=e^{rx}$ adayı mertebeden bağımsız olarak çalışır. Karakteristik polinomun kökleri, katlılıklarıyla birlikte denklemin mertebesi kadar çözüm üretmelidir.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Önce kök türlerini ve çözümde bulunması gereken terimleri kendiniz yazın. Sonra yapay zekâdan yalnız terim sayısını ve katlılıkları kontrol etmesini; eksik terim varsa hangisi olduğunu söylemeden kök sözlüğüne dönmenizi istemesini isteyin.

Tanıma ve Karar

Örnek 1: Yöntem Uygun mu?

\[ y'''-2y''+y'=0 \]

Denklem üçüncü mertebeden, lineer, homojen ve sabit katsayılıdır. Bu nedenle $y=e^{rx}$ adayı uygundur; karakteristik polinom üçüncü dereceden olmalıdır.

Örnek 2: Kaç Terim Gerekir?

\[ p(r)=(r-1)^2(r+2) \]

$r=1$ çift, $r=-2$ basit köktür. Çözümde $e^x$, $xe^x$ ve $e^{-2x}$ olmak üzere üç bağımsız terim bulunur.

Örnek 3: Sıfır ve Kompleks Kökler

\[ p(r)=r(r^2+4) \]

Kökler $0$ ve $pm2i$’dir. Karşılık gelen reel çözümler $1$, $\cos2x$ ve $\sin2x$ olur.

Örnek 4: Sayma Kontrolü

Dördüncü mertebeden bir denklemin çözümünde yalnız üç bağımsız fonksiyon bulunduysa çalışma tamamlanmamıştır. Ya bir kök atlanmış ya da bir kökün katlılığı eksik işlenmiştir.

Mekanizmayı Kurma

Örnek 5: Karakteristik Polinom

\[ 2y^{(4)}-3y''+5y'-y=0 \]

Türev mertebeleri doğrudan $r$ kuvvetlerine gider. Eksik $y'''$ teriminin katsayısı sıfırdır:

\[ 2r^4+0r^3-3r^2+5r-1=0. \]

Bu soru kök bulmayı değil, polinomu eksiksiz kurmayı ölçer.

Örnek 6: Kök Sözlüğünü Uygulama

\[ p(r)=r^2(r+1)(r^2+4) \]

Kökleri çözmeden doğrudan okuyabiliriz: $0$ çift, $-1$ basit, $pm2i$ basittir. Çözüm kalıbı

\[ y=C_1+C_2x+C_3e^{-x}+C_4\cos2x+C_5\sin2x \]

olur. Beş terim, polinomun beşinci derecesiyle uyumludur.

Temel Tam Çözümler

Örnek 7: Üç Ayrık Reel Kök

\[ y'''-y''-4y'+4y=0 \]

Sınıflandırma. Denklem üçüncü mertebeden, homojen ve sabit katsayılıdır.

Kurulum. Karakteristik denklem

\[ r^3-r^2-4r+4=0 \]

olur. Gruplayarak çarpanlara ayıralım:

\[ r^2(r-1)-4(r-1)=(r-1)(r-2)(r+2). \]

Kökler $1$, $2$ ve $-2$ olduğundan

\[ \boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}+C_3e^{-2x}}. \]

Her terim için $p(r)=0$ olduğundan yerine koyma doğrulaması sağlanır.

Örnek 8: İki Çift Kök

\[ y^{(4)}-2y''+y=0 \]

Karakteristik polinom

\[ r^4-2r^2+1=(r^2-1)^2=(r-1)^2(r+1)^2 \]

biçimindedir. Her kök çift olduğundan her üstel için bir de $x$ çarpanlı çözüm gerekir:

\[ \boxed{y=(C_1+C_2x)e^x+(C_3+C_4x)e^{-x}}. \]

Dört bağımsız terim, dördüncü mertebeyi karşılar.

Hata Avı

Örnek 9: İlk Hata Nerede?

Bir öğrenci

\[ p(r)=(r-2)^3(r+1) \]

için $y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+C_3e^{-x}$ yazıyor. İlk hata, üç katlı $r=2$ kökünün yalnız iki çözümle temsil edilmesidir. Eksik terim $x^2e^{2x}$’tir; genel çözümde toplam dört sabit bulunmalıdır.

Karşılaştırma

Örnek 10: İkinci ve Dördüncü Mertebe

$y''-y=0$ ile $y^{(4)}-2y''+y=0$ aynı $r=\pm1$ köklerini taşır. İlk polinomda kökler basit olduğu için $e^x,e^{-x}$ yeterlidir. İkinci polinomda ikisi de çift katlıdır; $xe^x$ ve $xe^{-x}$ eklenir. Fark yöntemde değil, köklerin katlılığındadır.

Hafif Karma Örnek

Örnek 11: Başlangıç Koşulları

\[ y'''-y'=0,\q\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=2 \]

Karakteristik denklem $r(r-1)(r+1)=0$ ve genel çözüm

\[ y=C_1+C_2e^x+C_3e^{-x} \]

olur. Koşullar

\[ C_1+C_2+C_3=1,\q\quad C_2-C_3=0,\q\quad C_2+C_3=2 \]

verir. Buradan $C_2=C_3=1$, $C_1=-1$ ve

\[ \boxed{y=-1+e^x+e^{-x}} \]

bulunur. Üç koşulun üç sabiti belirlemesi mertebe kontrolünü de doğrular.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

\[ y'''-3y''+2y'=0 \]

denkleminin karakteristik polinomunu çarpanlara ayırın ve genel çözümünü yazın.

Soru 2

\[ y^{(4)}-2y''+y=0 \]

denklemini kök katlılıklarını açıkça göstererek çözün.

Soru 3

Kökleri $0$ (iki katlı), $2$ ve $-1$ olan dördüncü mertebeden sabit katsayılı homojen bir diferansiyel denklem kurun ve genel çözümünü yazın.

Soru 4

\[ y^{(4)}+5y''+4y=0 \]

denkleminin reel genel çözümünü bulun.

Soru 5

\[ y'''-2y''+y'=0, \q\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=2 \]

başlangıç değer problemini çözün.

Soru 6

Bir öğrencinin $r^4-4r^3=0$ polinomundan yalnız $r=4$ kökünü aldığı çözümü inceleyin. Kayıp kökü, katlılığını ve eksik çözüm terimlerini belirleyin.

Soru 7

\[ y=C_1+C_2x+C_3e^{-x}+C_4xe^{-x} \]

genel çözüm ailesine karşılık gelen en düşük dereceli karakteristik polinomu ve diferansiyel denklemi bulun.

Soru 8

Beşinci mertebeden bir denklemin kökleri $1$ (üç katlı) ve $-2$ (iki katlı) olsun. Genel çözümü yazın ve bağımsız terim sayısını mertebeyle karşılaştırın.

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü karakteristik polinomun eksik kuvvetleri, köklerin katlılıkları, kompleks çiftlerin reel karşılıkları ve terim sayısının mertebeyle uyumu açısından incele. Doğru çözümü yazmadan ilk eksik kökü veya terimi belirt.

--- title: "Yüksek Mertebeli Sabit Katsayılı Denklemler: Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-24 description: "Yüksek mertebeli sabit katsayılı homojen denklemlerde karakteristik polinomu kurma, kök katlılıklarını sayma ve genel çözümü yazma pratiği." execute: echo: false --- # Yüksek Mertebeli Sabit Katsayılı Denklemler: Alıştırmalar Sabit katsayılı homojen denklemde $y=e^{rx}$ adayı mertebeden bağımsız olarak çalışır. Karakteristik polinomun kökleri, katlılıklarıyla birlikte denklemin mertebesi kadar çözüm üretmelidir. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Önce kök türlerini ve çözümde bulunması gereken terimleri kendiniz yazın. > Sonra yapay zekâdan yalnız terim sayısını ve katlılıkları kontrol etmesini; > eksik terim varsa hangisi olduğunu söylemeden kök sözlüğüne dönmenizi > istemesini isteyin. ::: ## Tanıma ve Karar ### Örnek 1: Yöntem Uygun mu? $$ y'''-2y''+y'=0 $$ Denklem üçüncü mertebeden, lineer, homojen ve sabit katsayılıdır. Bu nedenle $y=e^{rx}$ adayı uygundur; karakteristik polinom üçüncü dereceden olmalıdır. ### Örnek 2: Kaç Terim Gerekir? $$ p(r)=(r-1)^2(r+2) $$ $r=1$ çift, $r=-2$ basit köktür. Çözümde $e^x$, $xe^x$ ve $e^{-2x}$ olmak üzere üç bağımsız terim bulunur. ### Örnek 3: Sıfır ve Kompleks Kökler $$ p(r)=r(r^2+4) $$ Kökler $0$ ve $pm2i$'dir. Karşılık gelen reel çözümler $1$, $\cos2x$ ve $\sin2x$ olur. ### Örnek 4: Sayma Kontrolü Dördüncü mertebeden bir denklemin çözümünde yalnız üç bağımsız fonksiyon bulunduysa çalışma tamamlanmamıştır. Ya bir kök atlanmış ya da bir kökün katlılığı eksik işlenmiştir. ## Mekanizmayı Kurma ### Örnek 5: Karakteristik Polinom $$ 2y^{(4)}-3y''+5y'-y=0 $$ Türev mertebeleri doğrudan $r$ kuvvetlerine gider. Eksik $y'''$ teriminin katsayısı sıfırdır: $$ 2r^4+0r^3-3r^2+5r-1=0. $$ Bu soru kök bulmayı değil, polinomu eksiksiz kurmayı ölçer. ### Örnek 6: Kök Sözlüğünü Uygulama $$ p(r)=r^2(r+1)(r^2+4) $$ Kökleri çözmeden doğrudan okuyabiliriz: $0$ çift, $-1$ basit, $pm2i$ basittir. Çözüm kalıbı $$ y=C_1+C_2x+C_3e^{-x}+C_4\cos2x+C_5\sin2x $$ olur. Beş terim, polinomun beşinci derecesiyle uyumludur. ## Temel Tam Çözümler ### Örnek 7: Üç Ayrık Reel Kök $$ y'''-y''-4y'+4y=0 $$ **Sınıflandırma.** Denklem üçüncü mertebeden, homojen ve sabit katsayılıdır. **Kurulum.** Karakteristik denklem $$ r^3-r^2-4r+4=0 $$ olur. Gruplayarak çarpanlara ayıralım: $$ r^2(r-1)-4(r-1)=(r-1)(r-2)(r+2). $$ Kökler $1$, $2$ ve $-2$ olduğundan $$ \boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}+C_3e^{-2x}}. $$ Her terim için $p(r)=0$ olduğundan yerine koyma doğrulaması sağlanır. ### Örnek 8: İki Çift Kök $$ y^{(4)}-2y''+y=0 $$ Karakteristik polinom $$ r^4-2r^2+1=(r^2-1)^2=(r-1)^2(r+1)^2 $$ biçimindedir. Her kök çift olduğundan her üstel için bir de $x$ çarpanlı çözüm gerekir: $$ \boxed{y=(C_1+C_2x)e^x+(C_3+C_4x)e^{-x}}. $$ Dört bağımsız terim, dördüncü mertebeyi karşılar. ## Hata Avı ### Örnek 9: İlk Hata Nerede? Bir öğrenci $$ p(r)=(r-2)^3(r+1) $$ için $y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+C_3e^{-x}$ yazıyor. İlk hata, üç katlı $r=2$ kökünün yalnız iki çözümle temsil edilmesidir. Eksik terim $x^2e^{2x}$'tir; genel çözümde toplam dört sabit bulunmalıdır. ## Karşılaştırma ### Örnek 10: İkinci ve Dördüncü Mertebe $y''-y=0$ ile $y^{(4)}-2y''+y=0$ aynı $r=\pm1$ köklerini taşır. İlk polinomda kökler basit olduğu için $e^x,e^{-x}$ yeterlidir. İkinci polinomda ikisi de çift katlıdır; $xe^x$ ve $xe^{-x}$ eklenir. Fark yöntemde değil, köklerin katlılığındadır. ## Hafif Karma Örnek ### Örnek 11: Başlangıç Koşulları $$ y'''-y'=0,\q\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=2 $$ Karakteristik denklem $r(r-1)(r+1)=0$ ve genel çözüm $$ y=C_1+C_2e^x+C_3e^{-x} $$ olur. Koşullar $$ C_1+C_2+C_3=1,\q\quad C_2-C_3=0,\q\quad C_2+C_3=2 $$ verir. Buradan $C_2=C_3=1$, $C_1=-1$ ve $$ \boxed{y=-1+e^x+e^{-x}} $$ bulunur. Üç koşulun üç sabiti belirlemesi mertebe kontrolünü de doğrular. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 $$ y'''-3y''+2y'=0 $$ denkleminin karakteristik polinomunu çarpanlara ayırın ve genel çözümünü yazın. ### Soru 2 $$ y^{(4)}-2y''+y=0 $$ denklemini kök katlılıklarını açıkça göstererek çözün. ### Soru 3 Kökleri $0$ (iki katlı), $2$ ve $-1$ olan dördüncü mertebeden sabit katsayılı homojen bir diferansiyel denklem kurun ve genel çözümünü yazın. ### Soru 4 $$ y^{(4)}+5y''+4y=0 $$ denkleminin reel genel çözümünü bulun. ### Soru 5 $$ y'''-2y''+y'=0, \q\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=2 $$ başlangıç değer problemini çözün. ### Soru 6 Bir öğrencinin $r^4-4r^3=0$ polinomundan yalnız $r=4$ kökünü aldığı çözümü inceleyin. Kayıp kökü, katlılığını ve eksik çözüm terimlerini belirleyin. ### Soru 7 $$ y=C_1+C_2x+C_3e^{-x}+C_4xe^{-x} $$ genel çözüm ailesine karşılık gelen en düşük dereceli karakteristik polinomu ve diferansiyel denklemi bulun. ### Soru 8 Beşinci mertebeden bir denklemin kökleri $1$ (üç katlı) ve $-2$ (iki katlı) olsun. Genel çözümü yazın ve bağımsız terim sayısını mertebeyle karşılaştırın. ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü karakteristik polinomun eksik kuvvetleri, köklerin katlılıkları, > kompleks çiftlerin reel karşılıkları ve terim sayısının mertebeyle uyumu > açısından incele. Doğru çözümü yazmadan ilk eksik kökü veya terimi belirt.