Sabitlerin Değişimi: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği
Sabitlerin Değişimi: Alıştırmalar
Standart biçimdeki
\[ y''+P(x)y'+Q(x)y=g(x) \]
denkleminde homojen çözümler \(y_1\) ve \(y_2\) biliniyorsa özel çözüm
\[ y_p=u_1y_1+u_2y_2, \qquad u_1'=-\frac{y_2\,g}{W}, \qquad u_2'=\frac{y_1\,g}{W} \]
ile kurulur. Burada \(W=W(y_1,y_2)\)’dir ve temel çözüm kümesinde hiçbir noktada sıfır olmaz.
Yöntem sağ tarafın tipine bakmaz; karşılığında iki integral ister.
Aday kalıbı yazılamayan sağ taraflara sahip beş denklem üret; ikisi değişken katsayılı olsun ve homojen çözümleri verilsin. Wronskian’ı ve integralleri benim almamı bekle. Standart biçim adımını atlarsam yalnız onu hatırlat.
Çözüm Hattı
Örnek 1: Aday Kalıbı Olmayan Sağ Taraf
\[ y''+y=\sec x,\qquad 0<x<\frac{\pi}{2}. \]
Homojen çözümler ve Wronskian.
\[ y_1=\cos x,\quad y_2=\sin x, \qquad W=\cos^2x+\sin^2x=1. \]
Türevler.
\[ u_1'=-\sin x\sec x=-\tan x, \qquad u_2'=\cos x\sec x=1. \]
İntegraller.
\[ u_1=\ln(\cos x), \qquad u_2=x. \]
\[ \boxed{y_p=\cos x\ln(\cos x)+x\sin x}. \]
Örnek 2: Aynı Denklem, Farklı Sağ Taraf
\[ y''+y=\csc x,\qquad 0<x<\pi. \]
\[ u_1'=-\sin x\csc x=-1, \qquad u_2'=\cos x\csc x=\cot x. \]
\[ u_1=-x, \qquad u_2=\ln(\sin x). \]
\[ \boxed{y_p=-x\cos x+\sin x\ln(\sin x)}. \]
Örnek 3: Katlı Kök ve Bölmeli Sağ Taraf
\[ y''-2y'+y=\frac{e^{x}}{x},\qquad x>0. \]
Çift kök \(r=1\) olduğundan \(y_1=e^{x}\), \(y_2=xe^{x}\) ve
\[ W=e^{x}(e^{x}+xe^{x})-e^{x}\cdot xe^{x}=e^{2x}. \]
\[ u_1'=-\frac{xe^{x}\cdot e^{x}/x}{e^{2x}}=-1, \qquad u_2'=\frac{e^{x}\cdot e^{x}/x}{e^{2x}}=\frac1x. \]
\[ u_1=-x, \qquad u_2=\ln x. \]
\[ \boxed{y_p=xe^{x}(\ln x-1)}. \]
Değişken Katsayılı Denklem
Örnek 4: Önce Standart Biçim
\[ x^2y''-2xy'+2y=x^3,\qquad x>0, \]
homojen çözümler \(y_1=x\), \(y_2=x^2\).
Standart biçim. \(x^2\)’ye bölünür:
\[ y''-\frac2xy'+\frac2{x^2}y=x \quad\Longrightarrow\quad g(x)=x. \]
Wronskian.
\[ W=x\cdot2x-1\cdot x^2=x^2. \]
\[ u_1'=-\frac{x^2\cdot x}{x^2}=-x, \qquad u_2'=\frac{x\cdot x}{x^2}=1. \]
\[ u_1=-\frac{x^2}2, \qquad u_2=x. \]
\[ y_p=-\frac{x^3}2+x^3, \qquad \boxed{y_p=\frac{x^3}2}. \]
Doğrulama. \(y_p'=\frac32x^2\), \(y_p''=3x\) ve \(x^2(3x)-2x\left(\frac32x^2\right)+2\left(\frac{x^3}2\right)=x^3\) ✓.
Örnek 5: Sabit Çarpanı Unutmamak
\[ 3y''+3y=\sec x. \]
Standart biçimde \(g=\frac13\sec x\)’tir. Örnek 1’in sonucu bu çarpanla ölçeklenir:
\[ \boxed{y_p=\tfrac13\bigl(\cos x\ln(\cos x)+x\sin x\bigr)}. \]
Hata Avı
Örnek 6: Çapraz Eşleşmeyi Kaçırmak
\(u_1'\) ifadesinin payında \(y_2\), \(u_2'\) ifadesinin payında \(y_1\) bulunur ve birincisi negatiftir. İşaret ya da eşleşme kayarsa bulunan \(y_p\) denklemi sağlamaz.
Örnek 7: \(u'\) Bulup İntegrali Unutmak
Sistemden çıkan \(u_1'\) ve \(u_2'\)’dür. \(y_p\) ancak integraller alındıktan sonra kurulur.
Örnek 8: Homojen Terimi Hata Sanmak
Bulunan \(y_p\) içinde \(C y_1\) ya da \(C y_2\) biçiminde bir terim çıkabilir. Bu terim genel çözümde \(C_1\) veya \(C_2\) tarafından soğurulur; atmak da tutmak da aynı çözüm ailesini verir.
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\(y''+y=\tan x\) denkleminin genel çözümünü \(\left(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right)\) aralığında bulun.
Soru 2
\(y''+4y=\sec2x\) denkleminin bir özel çözümünü bulun.
Soru 3
\(y''-y=\dfrac{1}{1+e^{x}}\) denkleminde \(u_1'\) ve \(u_2'\) ifadelerini yazın.
Soru 4
\(y''-3y'+2y=e^{x}\) denklemini sabitlerin değişimiyle çözün ve sonucu belirsiz katsayılar yönteminin verdiği \(y_p=-xe^{x}\) ile karşılaştırın.
Soru 5
\(x^2y''-3xy'+3y=x^2\), \(x>0\), \(y_1=x\), \(y_2=x^3\) için özel çözümü bulun.
Soru 6
\(y''+y=\sec x\) çözümünde \(W\)’yi \(y_1\) ve \(y_2\)’nin sırasını değiştirerek hesaplayın; sonucun neden değişmediğini açıklayın.
Soru 7
\(u_1'y_1+u_2'y_2=0\) kısıtının neden serbestçe seçilebildiğini açıklayın.
Soru 8
Hangi durumlarda sabitlerin değişimi yerine belirsiz katsayılar tercih edilir? İki örnek denklemle gerekçelendirin.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümümü standart biçim, homojen çözümlerin doğruluğu, Wronskian, \(u_1'\) ve \(u_2'\) ifadelerindeki işaret ve çapraz eşleşme, integraller ve son birleştirme açısından incele. Hata varsa doğru \(y_p\)’yi vermeden ilk yanlış adımı belirt.