Laplace: Temel Dönüşümler ve Kurallar — Alıştırmalar

Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği

Temel Laplace dönüşümlerini tanıma, lineerlik, türev ve birinci öteleme kurallarını doğru kurma pratiği.

Yazar

Öğr. Gör. Oktay Cesur

Yayınlanma Tarihi

24 Ağustos 2026

Laplace: Temel Dönüşümler ve Kurallar — Alıştırmalar

Laplace dönüşümünde küçük harf özgün fonksiyonu, büyük harf dönüşümünü gösterir. Temel tabloyu ezberden çoğaltmak yerine payın, paydanın ve kaymanın hangi özgün yapıya karşılık geldiğini okuyacağız.

Yapay zekâ desteğiyle çalışma

Dönüşümü önce tablo ve kurallarla kendiniz kurun. Yapay zekâdan sonucu hesaplamasını değil, seçtiğiniz tablo satırını, başlangıç koşulu terimlerini ve $s$ kaymasının bütün yerlere uygulanıp uygulanmadığını denetlemesini isteyin.

Tanıma ve Karar

Örnek 1: Tablo Satırını Seçme

$1$, $t^2$, $e^{-3t}$ ve $\sin4t$ sırasıyla sabit, kuvvet, üstel ve trigonometrik satırlara gider. Dönüşümleri

\[ \frac1s,\q\quad \frac{2}{s^3},\q\quad \frac1{s+3},\q\quad \frac4{s^2+16} \]

olur.

Örnek 2: Yakınsama Kararı

$e^{2t}$ fonksiyonunun dönüşümü $1/(s-2)$’dir ve integral $s>2$ için yakınsar. $e^{t^2}$ ise hiçbir sabit $s$ için üstel mertebeden değildir; bu ders kapsamındaki Laplace dönüşümü yoktur.

Örnek 3: Hangi Kural?

$e^{3t}\cos2t$ ifadesinde birinci öteleme; $y''$ ifadesinde türev kuralı; $t\sin t$ ifadesinde $t$ ile çarpma kuralı kullanılır.

Örnek 4: Sonucun Biçimini Okuma

\[ \frac{s+1}{(s+1)^2+9} \]

ifadesi $s$ ekseninde $-1$ kaydırılmış kosinüs kalıbıdır. Karşılığı $e^{-t}\cos3t$’dir.

Mekanizmayı Kurma

Örnek 5: Türevlerin Dönüşümü

$Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}$, $y(0)=2$ ve $y'(0)=-1$ olsun. Tam çözüm yapmadan

\[ \mathcal L\{y'\}=sY-2,\q\quad \mathcal L\{y''\}=s^2Y-2s+1 \]

yazılır. İkinci formüldeki $+1$, $-y'(0)$ teriminden gelir.

Örnek 6: Öteleme Kurulumu

\[ \mathcal L\{e^{2t}\cos3t\} \]

için önce $F(s)=s/(s^2+9)$ alınır, sonra $s$ görülen her yerde $s-2$ yazılır:

\[ \frac{s-2}{(s-2)^2+9}. \]

Temel Tam Çözümler

Örnek 7: Lineerlikle Dönüşüm

\[ f(t)=3-2e^{-t}+4\sin2t \]

Her terim ayrı dönüştürülür:

\[ \mathcal L\{3\}=\frac3s,\q\quad \mathcal L\{-2e^{-t}\}=-\frac2{s+1},\q\quad \mathcal L\{4\sin2t\}=\frac8{s^2+4}. \]

Dolayısıyla

\[ \boxed{F(s)=\frac3s-\frac2{s+1}+\frac8{s^2+4}},\q\quad s>0. \]

En kısıtlayıcı yakınsama koşulu $s>0$’dır.

Örnek 8: Üstel ile Çarpılmış Kuvvet

\[ f(t)=t^2e^{-t} \]

$\mathcal L\{t^2\}=2/s^3$ ve $a=-1$’dir. Birinci öteleme kuralı

\[ \boxed{\mathcal L\{t^2e^{-t}\}=\frac{2}{(s+1)^3}} \]

verir. Paydayı açmak, ters yönde okumayı zorlaştıracağı için gerekmez.

Hata Avı

Örnek 9: İlk Hata Nerede?

Bir öğrenci

\[ \mathcal L\{e^{2t}\cos3t\}=\frac{s}{(s-2)^2+9} \]

yazıyor. İlk hata, kaymayı yalnız paydaya uygulamaktır. Birinci ötelemede $F(s)$ içindeki bütün $s$’ler $s-2$ olur; pay $s-2$ olmalıdır.

Karşılaştırma

Örnek 10: İki Öteleme Görünümü

$e^{2t}f(t)$ özgün tarafta bir çarpımdır ve $F(s-2)$ üretir. Buna karşılık $e^{-2s}F(s)$ dönüşüm tarafındaki bir çarpımdır; özgün fonksiyonu $t=2$ kadar geciktirir ve birim basamak gerektirir. Üstelin hangi değişkende olduğuna bakmak iki kuralı ayırır.

Hafif Karma Örnek

Örnek 11: Dönüştürülmüş Denklemi Yazma

\[ y''+2y'+y=e^{-t},\q\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0 \]

Yalnız dönüşüm denklemini kuralım:

\[ (s^2Y-s)+2(sY-1)+Y=\frac1{s+1}. \]

Buradan

\[ (s+1)^2Y=s+2+\frac1{s+1} \]

çıkar. Bu sorunun hedefi ters dönüşüm değil, türev kurallarıyla başlangıç koşullarını doğru yere yerleştirmektir.

Karma Çalışma Soruları

Soru 1

$\mathcal L\{4-3t+2t^3\}$ dönüşümünü lineerlik ve temel tabloyla bulun.

Soru 2

$\mathcal L\{e^{-2t}\sin 5t\}$ dönüşümünü bulun; kaymanın pay ve paydada oluşturduğu değişikliği gösterin.

Soru 3

$\mathcal L\{e^{3t}\cos 2t\}$ dönüşümünü bulun ve yakınsama bölgesini belirtin.

Soru 4

$y(0)=2$, $y'(0)=-1$ olmak üzere $\mathcal L\{y''-4y'+3y\}$ ifadesini $Y(s)$ cinsinden yazın.

Soru 5

\[ y''+y'=t, \q\quad y(0)=0,\quad y'(0)=2 \]

probleminin yalnız dönüşüm uzayındaki cebirsel denklemini kurun; ters dönüşüm yapmayın.

Soru 6

Bir öğrenci $\mathcal L\{t^4\}=4/s^5$ yazıyor. Hatanın kaynağını açıklayın ve doğru dönüşümü bulun.

Soru 7

$\mathcal L\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$ kuralını kullanarak $\mathcal L\{\cos 3t\}$ dönüşümünü türev ilişkisi üzerinden yeniden elde edin.

Soru 8

Aşağıdaki dönüşümlerde kullanılan ana kuralı adlandırın ve sonucu bulun:

\[ \mathcal L\{2e^t-3\sin 4t\}, \q\quad \mathcal L\{e^{-t}(t^2+1)\}. \]

Çalışmanızı Kontrol Etme

Çözümümü tablo satırı, faktöriyel ve frekans çarpanları, yakınsama aralığı, türevlerdeki başlangıç koşulları ve ötelemede bütün $s$’lerin kaydırılması açısından incele. Hata varsa sonucu vermeden ilk yanlış kuralı belirt.

--- title: "Laplace: Temel Dönüşümler ve Kurallar — Alıştırmalar" subtitle: "Diferansiyel Denklemler — Kavram ve Yöntem Pratiği" type: handout author: "Öğr. Gör. Oktay Cesur" date: 2026-08-24 description: "Temel Laplace dönüşümlerini tanıma, lineerlik, türev ve birinci öteleme kurallarını doğru kurma pratiği." execute: echo: false --- # Laplace: Temel Dönüşümler ve Kurallar — Alıştırmalar Laplace dönüşümünde küçük harf özgün fonksiyonu, büyük harf dönüşümünü gösterir. Temel tabloyu ezberden çoğaltmak yerine payın, paydanın ve kaymanın hangi özgün yapıya karşılık geldiğini okuyacağız. ::: {.callout-note title="Yapay zekâ desteğiyle çalışma"} > Dönüşümü önce tablo ve kurallarla kendiniz kurun. Yapay zekâdan sonucu > hesaplamasını değil, seçtiğiniz tablo satırını, başlangıç koşulu terimlerini > ve $s$ kaymasının bütün yerlere uygulanıp uygulanmadığını denetlemesini > isteyin. ::: ## Tanıma ve Karar ### Örnek 1: Tablo Satırını Seçme $1$, $t^2$, $e^{-3t}$ ve $\sin4t$ sırasıyla sabit, kuvvet, üstel ve trigonometrik satırlara gider. Dönüşümleri $$ \frac1s,\q\quad \frac{2}{s^3},\q\quad \frac1{s+3},\q\quad \frac4{s^2+16} $$ olur. ### Örnek 2: Yakınsama Kararı $e^{2t}$ fonksiyonunun dönüşümü $1/(s-2)$'dir ve integral $s>2$ için yakınsar. $e^{t^2}$ ise hiçbir sabit $s$ için üstel mertebeden değildir; bu ders kapsamındaki Laplace dönüşümü yoktur. ### Örnek 3: Hangi Kural? $e^{3t}\cos2t$ ifadesinde birinci öteleme; $y''$ ifadesinde türev kuralı; $t\sin t$ ifadesinde $t$ ile çarpma kuralı kullanılır. ### Örnek 4: Sonucun Biçimini Okuma $$ \frac{s+1}{(s+1)^2+9} $$ ifadesi $s$ ekseninde $-1$ kaydırılmış kosinüs kalıbıdır. Karşılığı $e^{-t}\cos3t$'dir. ## Mekanizmayı Kurma ### Örnek 5: Türevlerin Dönüşümü $Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}$, $y(0)=2$ ve $y'(0)=-1$ olsun. Tam çözüm yapmadan $$ \mathcal L\{y'\}=sY-2,\q\quad \mathcal L\{y''\}=s^2Y-2s+1 $$ yazılır. İkinci formüldeki $+1$, $-y'(0)$ teriminden gelir. ### Örnek 6: Öteleme Kurulumu $$ \mathcal L\{e^{2t}\cos3t\} $$ için önce $F(s)=s/(s^2+9)$ alınır, sonra $s$ görülen her yerde $s-2$ yazılır: $$ \frac{s-2}{(s-2)^2+9}. $$ ## Temel Tam Çözümler ### Örnek 7: Lineerlikle Dönüşüm $$ f(t)=3-2e^{-t}+4\sin2t $$ Her terim ayrı dönüştürülür: $$ \mathcal L\{3\}=\frac3s,\q\quad \mathcal L\{-2e^{-t}\}=-\frac2{s+1},\q\quad \mathcal L\{4\sin2t\}=\frac8{s^2+4}. $$ Dolayısıyla $$ \boxed{F(s)=\frac3s-\frac2{s+1}+\frac8{s^2+4}},\q\quad s>0. $$ En kısıtlayıcı yakınsama koşulu $s>0$'dır. ### Örnek 8: Üstel ile Çarpılmış Kuvvet $$ f(t)=t^2e^{-t} $$ $\mathcal L\{t^2\}=2/s^3$ ve $a=-1$'dir. Birinci öteleme kuralı $$ \boxed{\mathcal L\{t^2e^{-t}\}=\frac{2}{(s+1)^3}} $$ verir. Paydayı açmak, ters yönde okumayı zorlaştıracağı için gerekmez. ## Hata Avı ### Örnek 9: İlk Hata Nerede? Bir öğrenci $$ \mathcal L\{e^{2t}\cos3t\}=\frac{s}{(s-2)^2+9} $$ yazıyor. İlk hata, kaymayı yalnız paydaya uygulamaktır. Birinci ötelemede $F(s)$ içindeki bütün $s$'ler $s-2$ olur; pay $s-2$ olmalıdır. ## Karşılaştırma ### Örnek 10: İki Öteleme Görünümü $e^{2t}f(t)$ özgün tarafta bir çarpımdır ve $F(s-2)$ üretir. Buna karşılık $e^{-2s}F(s)$ dönüşüm tarafındaki bir çarpımdır; özgün fonksiyonu $t=2$ kadar geciktirir ve birim basamak gerektirir. Üstelin hangi değişkende olduğuna bakmak iki kuralı ayırır. ## Hafif Karma Örnek ### Örnek 11: Dönüştürülmüş Denklemi Yazma $$ y''+2y'+y=e^{-t},\q\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0 $$ Yalnız dönüşüm denklemini kuralım: $$ (s^2Y-s)+2(sY-1)+Y=\frac1{s+1}. $$ Buradan $$ (s+1)^2Y=s+2+\frac1{s+1} $$ çıkar. Bu sorunun hedefi ters dönüşüm değil, türev kurallarıyla başlangıç koşullarını doğru yere yerleştirmektir. ## Karma Çalışma Soruları ### Soru 1 $\mathcal L\{4-3t+2t^3\}$ dönüşümünü lineerlik ve temel tabloyla bulun. ### Soru 2 $\mathcal L\{e^{-2t}\sin 5t\}$ dönüşümünü bulun; kaymanın pay ve paydada oluşturduğu değişikliği gösterin. ### Soru 3 $\mathcal L\{e^{3t}\cos 2t\}$ dönüşümünü bulun ve yakınsama bölgesini belirtin. ### Soru 4 $y(0)=2$, $y'(0)=-1$ olmak üzere $\mathcal L\{y''-4y'+3y\}$ ifadesini $Y(s)$ cinsinden yazın. ### Soru 5 $$ y''+y'=t, \q\quad y(0)=0,\quad y'(0)=2 $$ probleminin yalnız dönüşüm uzayındaki cebirsel denklemini kurun; ters dönüşüm yapmayın. ### Soru 6 Bir öğrenci $\mathcal L\{t^4\}=4/s^5$ yazıyor. Hatanın kaynağını açıklayın ve doğru dönüşümü bulun. ### Soru 7 $\mathcal L\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$ kuralını kullanarak $\mathcal L\{\cos 3t\}$ dönüşümünü türev ilişkisi üzerinden yeniden elde edin. ### Soru 8 Aşağıdaki dönüşümlerde kullanılan ana kuralı adlandırın ve sonucu bulun: $$ \mathcal L\{2e^t-3\sin 4t\}, \q\quad \mathcal L\{e^{-t}(t^2+1)\}. $$ ## Çalışmanızı Kontrol Etme > Çözümümü tablo satırı, faktöriyel ve frekans çarpanları, yakınsama aralığı, > türevlerdeki başlangıç koşulları ve ötelemede bütün $s$'lerin kaydırılması > açısından incele. Hata varsa sonucu vermeden ilk yanlış kuralı belirt.