Belirsiz Katsayılar: Alıştırmalar
Diferansiyel Denklemler — İşlem Pratiği
Belirsiz Katsayılar: Alıştırmalar
\[ ay''+by'+cy=g(x) \]
denkleminde genel çözüm \(y=y_h+y_p\)’dir. \(g(x)\) polinom, üstel, sinüs–kosinüs veya bunların çarpımıysa \(y_p\) için aynı aileden bir aday yazılır ve katsayıları denklem belirler.
Aday \(y_h\)’nin bir bileşeniyle çakışıyorsa, çakışma kalmayana kadar \(x\) ile çarpılır.
Sabit katsayılı sekiz homojen olmayan denklem üret. İkisinde sağ taraf homojen çözümle çakışsın. Aday kalıbını ve katsayıları benim yazmamı bekle; çakışmayı önceden söyleme.
Çözüm Hattı
Örnek 1: Polinom Sağ Taraf
\[ y''-y'-2y=4x^2. \]
Homojen çözüm.
\[ r^2-r-2=(r-2)(r+1)=0, \qquad y_h=C_1e^{2x}+C_2e^{-x}. \]
Aday. Sağ taraf ikinci dereceden; ara dereceler de yazılır:
\[ y_p=Ax^2+Bx+C. \]
Yerine koyma.
\[ 2A-(2Ax+B)-2(Ax^2+Bx+C)=4x^2. \]
Katsayı eşleştirme.
\[ -2A=4, \qquad -2A-2B=0, \qquad 2A-B-2C=0. \]
\(A=-2\), \(B=2\), \(C=-3\):
\[ \boxed{y_p=-2x^2+2x-3}. \]
Örnek 2: Üstel Sağ Taraf
\[ y''-y'-2y=4e^{3x}. \]
\(3\) karakteristik denklemin kökü değil, çakışma yok. \(y_p=Ae^{3x}\):
\[ (9-3-2)A=4A=4. \]
\[ \boxed{y_p=e^{3x}}. \]
Örnek 3: Trigonometrik Sağ Taraf
\[ y''-y'-2y=10\cos x. \]
Sağ tarafta yalnız kosinüs olsa da aday çifttir:
\[ y_p=A\cos x+B\sin x. \]
Yerine koyup katsayıları toplayınca
\[ (-3A-B)\cos x+(A-3B)\sin x=10\cos x. \]
\(-3A-B=10\) ve \(A-3B=0\) sisteminden \(A=-3\), \(B=-1\):
\[ \boxed{y_p=-3\cos x-\sin x}. \]
Çakışma Durumu
Örnek 4: Basit Kökle Çakışma
\[ y''-y'-2y=e^{2x}. \]
\(2\) bir köktür; \(Ae^{2x}\) homojen çözümdür. Aday bir kez \(x\) ile çarpılır:
\[ y_p=Axe^{2x}. \]
\[ y_p'=A(1+2x)e^{2x}, \qquad y_p''=A(4+4x)e^{2x}. \]
\[ A\bigl[(4+4x)-(1+2x)-2x\bigr]=3A=1. \]
\[ \boxed{y_p=\tfrac13xe^{2x}}. \]
Örnek 5: Çift Kökle Çakışma
\[ y''-4y'+4y=e^{2x}. \]
\(r=2\) çift köktür; hem \(e^{2x}\) hem \(xe^{2x}\) homojen çözümdür. Aday iki kez çarpılır:
\[ y_p=Ax^2e^{2x}. \]
\[ y_p'=A(2x+2x^2)e^{2x}, \qquad y_p''=A(2+8x+4x^2)e^{2x}. \]
Yerine koyunca \(x\)’li terimler tamamen sadeleşir:
\[ 2A=1, \qquad \boxed{y_p=\tfrac12x^2e^{2x}}. \]
Başlangıç Koşulları
Örnek 6
\[ y''-y'-2y=4x^2,\qquad y(0)=0,\quad y'(0)=2. \]
Genel çözüm Örnek 1’den:
\[ y=C_1e^{2x}+C_2e^{-x}-2x^2+2x-3. \]
\[ y'=2C_1e^{2x}-C_2e^{-x}-4x+2. \]
\(x=0\) için
\[ C_1+C_2-3=0, \qquad 2C_1-C_2+2=2. \]
\(C_1=1\), \(C_2=2\):
\[ \boxed{y=e^{2x}+2e^{-x}-2x^2+2x-3}. \]
Hata Avı
Örnek 7: Ara Dereceleri Atlamak
\(g=4x^2\) için \(y_p=Ax^2\) denenirse, türevlerden gelen birinci dereceli ve sabit terimlerin dengelenecek eşi kalmaz ve sistem çözümsüz çıkar. Polinom adayı bütün ara dereceleri taşır.
Örnek 8: Çakışmayı Kontrol Etmemek
\(y''-y'-2y=e^{2x}\) denkleminde \(y_p=Ae^{2x}\) denenirse yerine koyma \(0=e^{2x}\) verir. Bu, hesap hatası değil, adayın homojen çözüm olduğunun işaretidir.
Örnek 9: Başlangıç Koşullarını \(y_h\)’ye Uygulamak
Sabitler yalnız \(y_h+y_p\) toplamına uygulanarak belirlenir. \(y_p\) de başlangıç noktasında bir değer ve bir eğim taşır.
Karma Çalışma Soruları
Soru 1
\(y''+y'-6y=12x\) denkleminin genel çözümünü bulun.
Soru 2
\(y''-4y=6e^{x}\) denkleminin genel çözümünü bulun.
Soru 3
\(y''+y=4\sin2x\) denkleminin bir özel çözümünü bulun.
Soru 4
\(y''-y=e^{x}\) denkleminde çakışmayı belirleyip özel çözümü bulun.
Soru 5
\(y''+4y=\cos2x\) denkleminde aday kalıbını gerekçesiyle yazın ve çözün.
Soru 6
\(y''-2y'+y=6xe^{x}\) için yalnız aday kalıbını yazın; katsayıları hesaplamayın.
Soru 7
\(y''-3y'+2y=4x+6e^{4x}\) denklemini süperpozisyonla, iki parçaya ayırarak çözün.
Soru 8
\(y''+y'-2y=8\), \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\) problemini çözün.
Çalışmanızı Kontrol Etme
Çözümümü homojen çözüm, çakışma kontrolü, aday kalıbının eksiksizliği, katsayı eşleştirme ve başlangıç koşullarının genel çözüme uygulanması açısından incele. Hata varsa doğru katsayıları vermeden ilk yanlış adımı belirt.